内蒙古赤峰市名校2024-2025学年高三上学期期中联考数学试题（含解析）

绝密★启用前高三数学考试注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：集合，常用逻辑用语，不等式，函数与导函数，三角函数，平面向量，复数，数列.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.在二十四节气中，冬季的节气有立冬､小雪､大雪､冬至､小寒和大寒，则“甲出生在冬至”是“甲出生在冬季”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.（）A.B.C.D.4.位于某海域处的甲船获悉：在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船北偏东且与甲船相距30海里的处的乙船，让乙船也前往救援，则乙船至少需要航行的海里数为（）A.B.C.D.5.箕舌线是平面曲线的一种，因其状如舌而得名.若箕舌线的部分图象如图所示，则的解析式可能为（）A.B.C.D.6.已知函数在上单调递增，则的最小值为（）A.B.3C.D.67.若点关于直线对称的点为，则（）A.B.2C.D.8.已知，且，则的最小值为（）A.1B.2C.3D.4二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（）A.B.C.与的图象关于直线对称D.与的图象在上有公共点10.已知向量，则（）A.B.C.数列是周期数列D.数列的前100项和为20011.已知函数的定义域为，其导函数为，且，当时，，则（）A.的图象关于直线对称B.在上单调递增C.是的一个极小值点D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.复数的实部与虚部之和为__________.13.《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于牲畜买卖的问题.假设一只鸡与一只狗､一只狗与一只羊､一只羊与一头驴的价格之差均相等，一只羊与两只鸡的价格总数为200钱，一头驴的价格为一只狗的2倍.按照这个价格，甲买了一只鸡与一只狗，则甲花费的钱数为__________.14.已知函数在上恰有4个零点，则的最大值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若函数的图象经过点，求的最大值.16.（15分）已知是等比数列，是常数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）求的前项和.17.（15分）如图，在四边形中，平分.（1）若，求；（2）若，求的面积.18.（17分）已知函数.（1）若曲线在处的切线的斜率为3，求.（2）已知恰有两个零点.①求的取值范围；②证明：.19.（17分）设为一个非空的二元有序数组的集合，集合为非空数集.若按照某种确定的对应关系，使得中任意一个元素，在中都有唯一确定的实数与之对应，则称对应关系为定义在上的二元函数，记作.已知二元函数满足，且.（1）求的值；（2）求的解析式；（3）已知数列满足，数列的前项和为，证明：.高三数学考试参考答案1.A【解析】本题考查集合的并集，考查数学运算的核心素养.由题意得，则.2.B【解析】本题结合二十四节气考查充分条件与必要条件，考查逻辑推理的核心素养.“甲出生在冬至”可以推出“甲出生在冬季”，“甲出生在冬季”不能推出“甲出生在冬至”，所以“甲出生在冬至”是“甲出生在冬季”的充分不必要条件.3.D【解析】本题考查向量的线性运算，考查数学运算的核心素养..4.A【解析】本题考查余弦定理的应用，考查直观想象的核心素养和应用意识.如图，由题可知.在中，由余弦定理可得海里，所以乙船至少需要航行的海里数为.5.B【解析】本题考查函数的图象，考查直观想象的核心素养.，排除A.既不是奇函数，也不是偶函数，排除D.在上单调递减，排除C.的图象符合题中图象，B正确.6.C【解析】本题考查函数的单调性与基本不等式的综合应用，考查逻辑推理的核心素养.由题意得对恒成立.因为6，当且仅当，即时，等号成立，所以，即.7.D【解析】本题考查三角恒等变换，考查数学运算的核心素养.由题意得，则，得.故.8.C【解析】本题考查导数的应用，考查数学建模的核心素养和化归与转化的数学思想.由，得，得，则.设函数，则.易知在上单调递增，.当时，单调递减，当时，单调递增，所以.故当时，取得最小值，最小值为3.9.BC【解析】本题考查三角函数的性质与图象的变换，考查直观想象的核心素养.由题意得，则，A错误，B正确.，C正确.当时，，则，D错误.10.ABD【解析】本题考查向量､三角函数与数列的综合应用，考查逻辑推理的核心素养.因为，所以，即，所以，A，B正确.易得数列不是周期数列，C错误.因为，所以数列的前100项和为，D正确.11.ACD【解析】本题考查导数的构造，考查数学抽象和数学建模的核心素养.由，得，所以的图象关于直线对称，A正确.当时，令，则.因为，所以.由，得，所以，即，则.令，得，舍去，当时，，单调递减，当时，单调递增，B错误.因为的图象关于直线对称，所以的一个极小值点为，C正确.因为，所以，D正确.12.5【解析】本题考查复数的模和复数的概念，考查数学运算的核心素养.由题意得，所以复数的实部与虚部之和为5.13.120【解析】本题以《九章算术》中的牲畜买卖为背景，考查等差数列的性质，考查数学建模的核心素养和应用意识.由题意得购买一只鸡､一只狗､一只羊､一头驴的钱数依次成等差数列，设该数列为，公差为，则一只鸡､一只狗､一只羊､一头驴的价格依次为，由题意得解得故甲花费的钱数为.14.【解析】本题考查三角函数的零点，考查逻辑推理与直观想象的核心素养.由，得，即或.由，得.设在上的零点依次为.不妨令，则，此时要使得最大，则需满足两项相减得，即.当时，同理可得的最大值.故的最大值为.15.【解析】本题考查对数运算与对数函数的性质，考查数学运算和逻辑推理的核心素养.解：（1）由，得.由，得，即，所以不等式的解集为.（2）由题意得.由，得，即.因为，函数是增函数，所以，即的最大值为（或）.评分细则：在第（1）问中，求的解析式也可以这样解答：令，则，得，即16.【解析】本题考查等比数列的性质与数列的前项和，考查数学运算和逻辑推理的核心素养.解：（1）设.由是等比数列，得，即，解得，即.数列的首项为，公比为，则，即.（2）由题意得.17.【解析】本题考查正弦､余弦定理，考查直观想象和数学运算的核心素养.解：（1）在中，由余弦定理得.因为，所以.故.（2）设.在中，由正弦定理，得，得，即.在中，由正弦定理，得.由得.因为，所以，则，得.易知，则，得.故的面积为.评分细则：在第（2）问中，在求出后，还可以这样求的面积：在中，由余弦定理得，得，得（负根已舍去）.故的面积为.18.【解析】本题考查一元函数的导数及其应用，考查直观想象和逻辑推理的核心素养.（1）解：由题意得.由，得.（2）①解：令，得.令，则.当时，单调递增；当时，单调递减.故.当时，，又，所以，即的取值范围为.②证明：由①可得，则两式相加得.由，得.要证，只需证.设，则.当时，单调递减，当时，单调递增，则，即.因为，所以，即.又，所以，所以，从而得证.评分细则：在第（2）①问中，还可以这样解答：由题意得.若，则单调递减，所以在上不可能有两个零点.若，