数学素材：平面直角坐标系中的基本公式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精教材习题点拨思考与讨论设M点坐标为x0，则AM＝x0－x1，MB＝x2－x0.又AM＝MB，所以x0－x1＝x2－x0,所以2x0＝x1＋x2。即x0＝eq\f（x1＋x2，2)。应当指出，数轴上两点的中点坐标公式x0＝eq\f（x1＋x2，2),这个公式应用也相当广泛,这个公式在今后的学习中,会逐步地加以拓展，望同学们加以重视，系统掌握．练习A1．解：（1）如图所示．(2）如图所示，与M(2)的距离是3的两点为A(－1)、B(5）．2．解：（1）a＞b。（2)A（－3)位于B(－4）的右侧;B(4)位于A（3)的右侧；B(4）位于A(－3)的右侧；A（3)位于B（－4）的右侧．3．解：当a＞0时，－a＜a，A（a)位于B(－a)的右侧;当a＝0时,A(0)与B(0）重合；当a＜0时，－a＞a,A(a）位于B(－a）的左侧．所以不能说点A（a)一定位于点B(－a）的右侧．评注:对于题目中的字母，要注意其范围．需要时要分类讨论．4．略．5．解：（1)AB＝5－2＝3,｜AB｜＝3；(2)AB＝3－（－2)＝5，｜AB|＝5;（3)AB＝－5－(－2)＝－3，|AB｜＝3；(4)AB＝－2－3＝－5，｜AB｜＝5.练习B1．解:当x＞0时，eq\f（|x｜，x)＝eq\f(x，x)＝1；当x＜0时,eq\f(｜x｜,x）＝eq\f（－x，x)＝－1。因此,eq\f(|x|,x）表示的点如图所示．2．解：（1）由|x｜＝2，得x＝±2，∴P(－2)或P(2），如图．(2)由｜x|＞3知，x＞3或x＜－3，如图所示．3．解：设所求的一点为M（x)，则｜MA|＝2｜MB|，即｜－9－x｜＝2|－3－x|，解得x＝3或x＝－5.∴所求点的坐标为M（3)或M(－5）．4．解:（1）如图，P(x)区间为（4，10）．（2)如图，P(x）区间为（－∞，1）或（3,＋∞)．(3)如图，P(－6)或P(0）．练习A1．解：（1)∵x1＝6,y1＝2，x2＝－2，y2＝5，∴Δx＝x2－x1＝－2－6＝－8，Δy＝y2－y1＝5－2＝3.∴d（A，B）＝eq\r（Δx2＋Δy2)＝eq\r((－8）2＋32)＝eq\r(73)。（2)仿(1),d（C,D）＝eq\r(61）。(3)仿（1)，d(E，F)＝3。(4)仿（1），d(G,H)＝eq\r(13).评注：初学两点间的距离公式，可以按照课本介绍的四个步骤进行，当对两点间距离公式比较熟悉以后，可以直接计算d（A，B)＝eq\r(（x2－x1)2＋(y2－y1)2）.2．证明：∵d（A，B)＝eq\r（（－11－3)2＋（3－8)2）＝eq\r(221)，d(B，C)＝eq\r(（－8＋11）2＋（－2－3）2）＝eq\r（34),d（A,C）＝eq\r(（－8－3)2＋（－2－8)2)＝eq\r（221)，∴|AB|＝|AC|。又∵A、B、C三点不共线,∴△ABC是等腰三角形．3．解：设线段AB中点坐标为(x,y)．(1）x＝eq\f（3－3，2)＝0，y＝eq\f(4＋2，2）＝3，∴线段AB的中点坐标为(0，3)．（2）x＝eq\f（－8＋5,2）＝－eq\f（3，2)，y＝eq\f(－3－3，2）＝－3，∴线段AB的中点坐标为eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（3,2)，－3)）.4．解:设M(x1，y1）关于原点（0，0)的对称点为N(x2，y2）,由中点坐标公式，得0＝eq\f(x1＋x2,2)，0＝eq\f（y1＋y2,2）.∴x2＝－x1，y2＝－y1。∴A(2，3)关于原点的对称点为A′(－2，－3），B（－3,5)关于原点的对称点为B′(3，－5），C（－2,－4）关于原点的对称点为C′(2，4)，D（3，－5）关于原点的对称点为D′（－3,5)，P(a，b）关于原点的对称点为P′(－a,－b）．练习B1．解：d(A，B)＝eq\r（（0－a）2＋（10－0)2)＝eq\r（a2＋100)＝17，解得a＝±3eq\r(21)。2．解：设顶点D的坐标为(x，y）．∵对角线AC和BD互相平分,∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（\f(－1＋0，2）＝\f（3＋x,2），,\f(－2＋2，2）＝\f(1＋y，2)。）)解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－4，，y＝－1。）)∴顶点D的坐标为(－4，－1)．3．解：设A关于M的中心对称点为A′(x,y），则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(x＋2,2）＝－2,,\f(y－3,2）＝1，））∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝－6，，y＝5.))∴A′(－6,5)．同理可得B′（－5，－1)，C′（－3，5)，D′(－1，－3）．作图略．4．略．习题21A1．解：AB＝2，BC＝1，CD＝－4，EA＝－4。评注：注意AB是向量eq\x\to（AB)的数量，有正负．2．解:（1）d（A，B）＝|x2－x1|＝｜3－8｜＝5；（2）d(A,B）＝｜－5－(－3）｜＝2；(3）d（A,B)＝｜－23－15｜＝38；(4)d（A，B)＝｜－7－（－13）｜＝6。3．解：d（A，B）＝eq\r（（－2＋1）2＋（3－3）2）＝1,d（B,C）＝eq\r（（0＋2）2＋(1－3）2）＝2eq\r(2），d（A,C）＝eq\r（（0＋1）2＋（1－3）2）＝eq\r（5）.4．解：设P点的坐标为（x,0），由d(P，A）＝13，得eq\r（(x－4）2＋122）＝13，解得x＝－1或x＝9，∴P（－1，0）或P(9，0)．5．解：设M(x,0）,由d(M，A)＝d（M，B)，得eq\r(（x－1)2＋(0－5）2)＝eq\r（(x－5）2＋（0＋2）2)，解得x＝eq\f(3,8），∴Meq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（3,8），0）).6．解:由d(P，Q)＝10,得eq\r((－1－7)2＋(5－y）2）＝10，解得y＝－1或y＝11.7．解：(1)d(A,B)＝eq\r((3－7)2＋(2－4）2）＝2eq\r(5），由中点坐标公式得eq\f(7＋3，2）＝5，eq\f（4＋2,2）＝3，∴A、B的对称中心为(5,3）．（2)d(C，D）＝eq\r((－2－6）2＋（－2＋4）2）＝2eq\r（17)，由中点坐标公式得eq\f（6－2,2）＝2，eq\f(－4－2,2)＝－3，即C、D的对称中心为(2,－3）．（3）d（E，F）＝eq\r(（2＋3）2＋(1－1)2）＝5，由中点坐标公式得eq\f(－3＋2，2)＝－eq\f（1，2)，eq\f（1＋1，2)＝1，即E、F的对称中心为eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（1,2)，1））.评注：对称中心是两点连线的中点．8．解：AB的中点D的坐标为（0,2），因此，中线CD的长度为d（C,D）＝eq\r（（0－0)2＋(2＋1)2)＝3；BC的中点E的坐标为(－1,1），因此,中线AE的长度为d(A,E)＝eq\r(（－1－2）2＋(1－1)2)＝3；AC的中点F的坐标为(1,0),因此，中线BF的长度为d(B，F)＝eq\r((1＋2）2＋(0－3)2)＝3eq\r(2)。习题21B1．解：①在x轴上取点C(x,0）,使d(C,A)＝d（C，B），则eq\r(（x－1)2＋（0－2)2）＝eq\r(（x－5）2＋(0＋2)2），解得x＝3，即所求点C的坐标为(3,0)．②在y轴上取一点D(0,y），使d（D，A）＝d（D，B),则eq\r（（0－1)2＋（y－2）2)＝eq\r((0－5）2＋(y＋2)2)，解得y＝－3，即所求点D的坐标为(0,－3）．2．解:设经过A，B两点的函数解析式为y＝kx＋b。由于A(4,1)，B（－3,2）在该函数的图象上，∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(4k＋b＝1，，－3k＋b＝2））⇒eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（k＝－\f（1,7），，b＝\f（11，7）.））∴函数的表达式为y＝－eq\f(1，7)x＋eq\f（11,7)。令x＝0，则y＝eq\f(11，7），即直线AB与y轴的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（0,\f(11,7)）).设该点为D，又设点C的坐标为（0,y），如图所示．则S△ABC＝S△ACD＋S△BCD＝eq\f(1，2)×4×|CD｜＋eq\f(1,2）×|－3|×|CD｜＝eq\f(7,2）｜CD｜＝12,∴|CD|＝eq\f（24，7)。又∵|CD|＝｜y－eq\f（11，7)｜＝eq\f（24,7），解得y＝5或y＝－eq\f（13，7）。∴点C坐标为(0,5)或eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（0，－\f(13，7））)。3．解：由中点坐标公式得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(1＝\f（x＋3,2),,1＝\f(3＋y,2)。)）解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1,,y＝－1。）)4．解：∵d（A，B)＝eq\r((3－1）2＋(3＋1)2）＝2eq\r（5），d(B，C）＝eq\r（（4－3)2＋（5－3）2)＝eq\r(5），d（A，C)＝eq\r(（4－1)2＋(5＋1)2)＝3eq\r（5)，∴d(A，B）＋d(B，C）＝d（A，C)，∴A、B、C三点在一条直线上．评注:本题给出了证明三点共线的一种途径——利用距离公式去证，还有其他证明方法,今后会陆续学到．5．解：d(A，B)＝eq\r((5－1）2＋(3－1）2）＝2eq\r(5)，d(B，C）＝eq\r（(0－5）2＋（3－3）2)＝5，d(A，C)＝eq\r((0－1)2＋(3－1）2）＝e