2024年新高一数学初升高衔接《指数函数及其性质》含答案解析

数学PAGE1数学第15讲指数函数及其性质模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念；2．能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象；3．探索并理解指数函数的单调性与特殊点.知识点1指数函数的概念1、定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数．2、指数函数的结构特征指数函数表达式中，需满足：（1）系数必须为1；（2）自变量出现在指数位置上；（3）底数为大于0，且不等于1的常数，不能是自变量；（4）整个式子仅有一项，例如就不是指数函数．3、注意事项：指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由：（1）如果，当（2）如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在．（3）如果，是一个常量，对它就没有研究的必要．为了避免上述各种情况，所以规定且．知识点2指数函数的图象与性质1、指数函数的图象与性质图象性质定义域值域过定点单调性在上是增函数在上是减函数奇偶性非奇非偶函数2、底数a对指数函数图象的影响函数，，和，，的图象如图所示．（1）当且时，底数越大，图象越“陡”；当且时，底数越小，图象越“陡”．（2）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”．知识点3指数函数的图象变换已知指数函数（且）1、平移变换；；；．规律总结：上加下减（针对函数值），左加右减（针对自变量）．2、对称变换；；．3、翻折变换；．知识点4常用方法与技巧1、比较指数幂的大小（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．2、简单指数不等式的解法（1）形如的不等式，可借助的单调性求解；（2）形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解；（3）形如的不等式，可借助两函数，的图象求解。考点一：指数函数的概念辨析例1．（23-24高一上·吉林延边·月考）给出下列函数，其中是指数函数的是（

）A． B． C． D．【变式1-1】（23-24高一上·宁夏吴忠·月考）给出下列函数，其中为指数函数的是（

）A． B． C． D．【变式1-2】（23-24高一上·江西新余·期中）下列函数是指数函数的是（

）A． B． C． D．【变式1-3】（23-24高一上·陕西·期中）（多选）下列命题是真命题的是（

）A．是幂函数 B．不是指数函数C．不是幂函数 D．是指数函数考点二：利用指数函数的概念求参例2.（23-24高一上·青海西宁·期中）函数是指数函数，则有（

）A．或 B． C． D．且【变式2-1】（23-24高一上·天津河西·期末）若函数是指数函数，则的值为（

）A．2 B．1 C．1或 D．【变式2-2】（23-24高一上·江苏·专题练习）若函数是指数函数，则（

）A．或 B． C． D．且【变式2-3】（23-24高一上·吉林长春·期中）函数是指数函数，则有（

）A．或 B． C． D．，且考点三：求指数函数的解析式例3.（23-24高一下·青海海东·月考）已知函数的图象过点，则（

）A． B． C． D．【变式3-1】（23-24高一上·陕西西安·月考）若指数函数的图象过点，则的解析式为（

）A． B． C． D．【变式3-2】（23-24高一上·山东泰安·月考）已知指数函数的图像经过点，则（

）A．4 B．1 C．2 D．【变式3-3】（23-24高一上·山东枣庄·期末）若指数函数的图象经过点，则．考点四：指数函数过定点问题例4.（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知函数的图象恒过定点P，则P点的坐标为（

）.A． B． C． D．【变式4-1】（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）当时，的图像恒过点（

）A． B． C． D．【变式4-2】（23-24高一上·河南南阳·期中）已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（

）A． B． C． D．【变式4-3】（23-24高一上·四川宜宾·期末）函数的图象恒过定点，且点的坐标满足方程，其中，，则的最小值为（

）A．7 B．6 C． D．考点五：指数函数的图象辨析例5.（23-24高一上·福建泉州·期末）若函数与函数的图象关于直线对称，则的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

【变式5-1】（23-24高一下·广东茂名·月考）函数与的图象（

）A．关于轴对称 B．关于轴对称C．关于原点对称 D．关于直线对称【变式5-2】（22-23高一上·广东·月考）（多选）函数的图象如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【变式5-3】（23-24高一上·河南南阳·月考）四个指数函数，，的图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和B．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和C．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和D．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和考点六：比较指数幂大小例6.（23-24高一上·广东中山·月考）下列式子正确的是（

）A． B． C． D．【变式6-1】（23-24高一下·安徽·月考）已知，，，则（

）A． B． C． D．【变式6-2】（23-24高一上·广东汕头·月考）已知，，，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【变式6-3】（23-24高一上·广东韶关·月考）（多选）已知，，，则（

）A． B． C． D．考点七：解指数型不等式例7.（23-24高一上·江西上饶·期中）已知指数函数经过点(2,9)，则不等式的解集为．【变式7-1】（23-24高一下·贵州遵义·月考）不等式的解集是.【变式7-2】（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知函数，则的解集为．【变式7-3】（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）不等式的解集是.考点八：指数型复合函数的单调性例8.（23-24高一上·江苏无锡·月考）计算：函数的单调递减区间为.【变式8-1】（23-24高一上·河北石家庄·月考）函数的单调递增区间为.【变式8-2】（23-24高一上·山东泰安·月考）函数的单调递增区间为.【变式8-3】（23-24高一上·山东济南·月考）设函数在上单调递减，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．考点九：指数型复合函数的奇偶性例9.（23-24高一下·上海·月考）函数在定义域上是（

）A．严格增的奇函数 B．严格增的偶函数C．严格减的奇函数 D．严格减的偶函数【变式9-1】（23-24高一上·河南·期中）已知函数（且）是奇函数，则（

）A．2 B． C． D．【变式9-2】（23-24高一上·贵州安顺·月考）若为奇函数，则（

）A．1 B．0 C． D．【变式9-3】（23-24高一上·河北保定·期中）若为奇函数，则.考点十：指数型复合函数的值域例10.（23-24高一上·天津红桥·月考）函数的值域为（

）A． B． C． D．【变式10-1】（23-24高一上·广东江门·月考）函数在上的值域为．【变式10-2】（23-24高一上·贵州·月考）若函数（且）在上的值域为，则（

）A．3或 B．或 C．或 D．或【变式10-3】（23-24高一上·湖北黄冈·月考）函数在区间上的最小值是，则的值是.一、单选题1．23-24高一上·江苏·专题练习）给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．42．（23-24高一上·江西宜春·期中）已知函数的图象过点，则（

）A．3 B．-3 C． D．3．（23-24高一上·湖北恩施·月考）函数与的图象（

）A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称4．（23-24高一上·广东广州·月考）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．5．（23-24高一上·江苏连云港·月考）设，，，则（

）A． B． C． D．6．（22-23高一上·河北张家口·月考）若满足不等式，则函数的值域是（

）A． B． C． D．二、多选题7．（23-24高一上·广西·月考）下列说法正确的是（

）A．函数与的图象关于轴对称B．函数与的图象关于轴对称C．函数与的图象关于原点对称D．函数与的图象关于轴对称8．（23-24高一上·山西临汾·月考）已知函数，函数，则下列选项中正确的有（

）A．函数是奇函数 B．函数的最小值为1C． D．三、填空题9．（23-24高一下·上海·月考）已知函数的图象经过定点，则.10．（23-24高一上·福建泉州·月考）已知函数的图象不过第二象限，则实数的取值范围是.11．（23-24高一上·四川成都·月考）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是.四、解答题12．（23-24高一上·河南三门峡·月考）已知函数.(1)若时，求函数的值域．(2)若时，求函数的单调递增区间．13．（23-24高一上·安徽芜湖·月考）已知函数(1)判断函数的奇偶性；(2)证明：函数在区间上单调递增；(3)令（其中），求函数的值域.第15讲指数函数及其性质模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念；2．能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象；3．探索并理解指数函数的单调性与特殊点.知识点1指数函数的概念1、定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数．2、指数函数的结构特征指数函数表达式中，需满足：（1）系数必须为1；（2）自变量出现在指数位置上；（3）底数为大于0，且不等于1的常数，不能是自变量；（4）整个式子仅有一项，例如就不是指数函数．3、注意事项：指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由：（1）如果，当（2）如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在．（3）如果，是一个常量，对它就没有研究的必要．为了避免上述各种情况，所以规定且．知识点2指数函数的图象与性质1、指数函数的图象与性质图象性质定义域值域过定点单调性在上是增函数在上是减函数奇偶性非奇非偶函数2、底数a对指数函数图象的影响函数，，和，，的图象如图所示．（1）当且时，底数越大，图象越“陡”；当且时，底数越小，图象越“陡”．（2）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”．知识点3指数函数的图象变换已知指数函数（且）1、平移变换；；；．规律总结：上加下减（针对函数值），左加右减（针对自变量）．2、对称变换；；．3、翻折变换；．知识点4常用方法与技巧1、比较指数幂的大小（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．2、简单指数不等式的解法（1）形如的不等式，可借助的单调性求解；（2）形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解；（3）形如的不等式，可借助两函数，的图象求解。考点一：指数函数的概念辨析例1．（23-24高一上·吉林延边·月考）给出下列函数，其中是指数函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A，是幂函数，故错误，对于B，显然前面系数不为1，故错误，对于C，显然前面系数不为1，故错误，对于D，符合指数函数定义，故正确.故选：D【变式1-1】（23-24高一上·宁夏吴忠·月考）给出下列函数，其中为指数函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为指数函数的形式为且，所以是指数函数，即C正确；而ABD中的函数都不满足要求，故ABD错误.故选：C.【变式1-2】（23-24高一上·江西新余·期中）下列函数是指数函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据指数函数的定义：形如（且）的函数叫做指数函数，结合选项从而可判断选项D正确．故选：D．【变式1-3】（23-24高一上·陕西·期中）（多选）下列命题是真命题的是（

）A．是幂函数 B．不是指数函数C．不是幂函数 D．是指数函数【答案】ACD【解析】由幂函数的定义可知：是幂函数，不是幂函数，即A、C正确；因为，所以由指数函数的定义可知：都是指数函数，即B错误，D正确．故选：ACD考点二：利用指数函数的概念求参例2.（23-24高一上·青海西宁·期中）函数是指数函数，则有（

）A．或 B．C． D．且【答案】C【解析】由已知得，即得.故选：C【变式2-1】（23-24高一上·天津河西·期末）若函数是指数函数，则的值为（

）A．2 B．1 C．1或 D．【答案】D【解析】因为函数是指数函数，且，，由解得或，，故选：D.【变式2-2】（23-24高一上·江苏·专题练习）若函数是指数函数，则（

）A．或 B． C． D．且【答案】C【解析】因为函数是指数函数，所以，解得.故选：C.【变式2-3】（23-24高一上·吉林长春·期中）函数是指数函数，则有（

）A．或 B． C． D．，且【答案】B【解析】由指数函数的概念，得且，解得．故选：B考点三：求指数函数的解析式例3.（23-24高一下·青海海东·月考）已知函数的图象过点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可知，所以，故选：C.【变式3-1】（23-24高一上·陕西西安·月考）若指数函数的图象过点，则的解析式为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，因的图象过点，则，得，所以，故选：C.【变式3-2】（23-24高一上·山东泰安·月考）已知指数函数的图像经过点，则（

）A．4 B．1 C．2 D．【答案】A【解析】由指数函数的图象经过点，可得，解得，所以，故选：A.【变式3-3】（23-24高一上·山东枣庄·期末）若指数函数的图象经过点，则．【答案】/【解析】设指数函数且，过点，，解得：，，.故答案为：.考点四：指数函数过定点问题例4.（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知函数的图象恒过定点P，则P点的坐标为（

）.A． B． C． D．【答案】B【解析】令，解得，则，即过定点.故选：B【变式4-1】（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）当时，的图像恒过点（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】对于函数，令，解得，则，所以的图像恒过点.故选：C【变式4-2】（23-24高一上·河南南阳·期中）已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为是幂函数，所以，解得或．当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，故，此时，当时，，即的图象过定点．故选：A【变式4-3】（23-24高一上·四川宜宾·期末）函数的图象恒过定点，且点的坐标满足方程，其中，，则的最小值为（

）A．7 B．6 C． D．【答案】C【解析】在中，当时，，故，将代入直线方程中，化简得，故，当且仅当‘’时取等，即的最小值为.故选：C考点五：指数函数的图象辨析例5.（23-24高一上·福建泉州·期末）若函数与函数的图象关于直线对称，则的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】由题意函数与函数互为反函数，所以，解得，它在定义域内单调递增，且过定点，对比选项可知A符合题意.故选：A.【变式5-1】（23-24高一下·广东茂名·月考）函数与的图象（

）A．关于轴对称 B．关于轴对称C．关于原点对称 D．关于直线对称【答案】C【解析】因为，即，所以函数与的图象关于原点对称.故选：C．【变式5-2】（22-23高一上·广东·月考）（多选）函数的图象如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】由的图象可以观察出函数在定义域上单调递减，所以，函数的图象是在的图象的基础上向左平移得到的，所以.故选：AC【变式5-3】（23-24高一上·河南南阳·月考）四个指数函数，，的图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和B．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和C．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和D．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和【答案】D【解析】当时，，所以图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和，故选:D.考点六：比较指数幂大小例6.（23-24高一上·广东中山·月考）下列式子正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于选项A:由在单调递增，且，所以，故选项A错误；对于选项B:由在单调递增，所以，由在单调递减，所以，故，故选项B错误；对于选项C:由,在单调递减，且在第一象限底大图高，所以,故选项C错误；对于选项D:由在单调递增，且，所以,故选项D正确；故选：D.【变式6-1】（23-24高一下·安徽·月考）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为在第一象限为增函数，，所以，因为在第一象限为增函数，，所以，所以，故选：B.【变式6-2】（23-24高一上·广东汕头·月考）已知，，，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为函数为上的增函数，，所以，即.因为函数为上的减函数，，所以，即.综上可得：.故选：D.【变式6-3】（23-24高一上·广东韶关·月考）（多选）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】因为指数函数是减函数，所以，即；因为幂函数在上单调递增，所以，即；因为指数函数是减函数，所以，即.故选：ABD.考点七：解指数型不等式例7.（23-24高一上·江西上饶·期中）已知指数函数经过点(2,9)，则不等式的解集为．【答案】(1,2)【解析】设且，所以有，解得，即，因此函数为R上的增函数，因为，所以，解得，故答案为：.【变式7-1】（23-24高一下·贵州遵义·月考）不等式的解集是.【答案】【解析】由题意知，，又指数函数在R上单调递增，所以，解得，即原不等式的解集为.故答案为：【变式7-2】（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知函数，则的解集为．【答案】【解析】由函数，可得其定义域为，且，所以为偶函数，当时，，可得在上单调递增，根据偶函数的性质，不等式，即为，可得，整理得，解得，所以的解集为．故答案为：．【变式7-3】（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）不等式的解集是.【答案】【解析】由可得，可得或，又因为函数为上的增函数，则有或，故原不等式的解集为.故答案为：.考点八：指数型复合函数的单调性例8.（23-24高一上·江苏无锡·月考）计算：函数的单调递减区间为.【答案】【解析】，的定义域为，根据“同增异减”法则：求函数的单调递减区间，即求的单调递减区间，而要求函数的单调递减区间，即要求函数的单调递增区间，的对称轴为，的单调递增区间为，故的单调递减区间为.故答案为：.【变式8-1】（23-24高一上·河北石家庄·月考）函数的单调递增区间为.【答案】【解析】函数的定义域为R，令，则函数在上单调递增，在上单调递减，而函数在R上单调递增，因此函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数的单调递增区间为.故答案为：【变式8-2】（23-24高一上·山东泰安·月考）函数的单调递增区间为.【答案】/【解析】由，令，则，因为为增函数，的增区间为，所以的单调递增区间为.故答案为：【变式8-3】（23-24高一上·山东济南·月考）设函数在上单调递减，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，可得，因为函数在定义域上为单调递减函数，要使得在上单调递减，则满足，解得，所以实数的取值范围为.故选：D.考点九：指数型复合函数的奇偶性例9.（23-24高一下·上海·月考）函数在定义域上是（

）A．严格增的奇函数 B．严格增的偶函数C．严格减的奇函数 D．严格减的偶函数【答案】A【解析】令，任取，则，因为是上的严格增函数，所以，则，所以，则函数是上的严格增函数；又，即函数为奇函数，所以函数在定义域上是严格增的奇函数.故选：A【变式9-1】（23-24高一上·河南·期中）已知函数（且）是奇函数，则（

）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】的定义域为，是奇函数，所以，即，两边乘以得，两边乘以得，不恒为，则恒为，由得恒成立，所以，由于且，所以.故选：C【变式9-2】（23-24高一上·贵州安顺·月考）若为奇函数，则（

）A．1 B．0 C． D．【答案】D【解析】由解析式知：函数定义域为R，又为奇函数，所以，故，由，为奇函数，满足题设.所以.故选：D【变式9-3】（23-24高一上·河北保定·期中）若为奇函数，则.【答案】【解析】为奇函数，定义域关于原点对称得，而当时，也满足，由以上分析知此时的定义域也关于原点对称，综上所述，若为奇函数，则当且仅当.故答案为：.考点十：指数型复合函数的值域例10.（23-24高一上·天津红桥·月考）函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，则，所以的值域为.故选：C【变式10-1】（23-24高一上·广东江门·月考）函数在上的值域为．【答案】【解析】；；时，取最小值时，取最大值67；的值域为．故答案为：．【变式10-2】（23-24高一上·贵州·月考）若函数（且）在上的值域为，则（

）A．3或 B．或 C．或 D．或【答案】C【解析】当时，在上单调递减，则，解得，此时.当时，在上单调递增，则，解得或（舍去），此时综上可得：为或.故选：C【变式10-3】（23-24高一上·湖北黄冈·月考）函数在区间上的最小值是，则的值是.【答案】或【解析】令，则，其对称轴为，当时，因为，所以，所以函数在上单调递减，所以当时，，解得，当时，因为，所以，所以函数在上单调递减，所以当时，，解得.综上，所以或.故答案为：或一、单选题1．23-24高一上·江苏·专题练习）给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】B【解析】①中，的系数是－1，故①不是指数函数；②中，的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有一项，故③是指数函数；④中，的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．⑤中，底数，不是指数函数．综上，指数函数的个数为1，故选：B.2．（23-24高一上·江西宜春·期中）已知函数的图象过点，则（

）A．3 B．-3 C． D．【答案】C【解析】由题意可知，所以.故选：C3．（23-24高一上·湖北恩施·月考）函数与的图象（

）A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称【答案】C【解析】相当于的图象先沿y轴对称翻折，再沿着x轴对称翻折，故翻折后的图象与原图象关于原点对称．故选：C.4．（23-24高一上·广东广州·月考）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，在上递减，在上递增，而在定义域上单调递增，故在上递减.故选：B5．（23-24高一上·江苏连云港·月考）设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，因为在上单调递减，所以，所以，所以，因为在上单调递增，由，可得，所以，故.故选：D.6．（22-23高一上·河北张家口·月考）若满足不等式，则函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得，因为在上单调递增，所以即，解得：，所以，即函