2024年新高一数学初升高衔接《用二分法求方程的近似解》含答案解析

数学PAGE1数学第19讲用二分法求方程的近似解模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件；2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解；3．会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解.知识点1二分法1、二分法的定义：对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到近似值的方法．2、二分法要点辨析：（1）二分法的求解原理是函数零点存在定理；（2）函数图象在零点附近连续不断；（3）用二分法只能求变号零点，即零点在左右两侧的函数值的符号相反，比如，该函数有零点0，但不能用二分法求解．知识点2二分法求零点近似值1、给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤（1）确定零点的初始区间，验证；（2）求区间的中点；（3）计算，进一步确定零点所在的区间：=1\*GB3①若（此时），则就是函数的零点；=2\*GB3②若（此时），则令；=3\*GB3③若（此时），则令.（4）判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4）【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点．2、关于精确度（1）“精确度”与“精确到”不是一回事，这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值，即；“精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位，如计算，精确到0.01，即0.33（2）精确度表示当区间的长度小于时停止二分；此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值．考点一：判断二分法的适用条件例1．（23-24高一上·天津·月考）下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是下图中的（

）A．B．C．D．【变式1-1】（22-23高一上·陕西咸阳·月考）已知函数的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求其零点近似值的个数分别是（

）A．4，4 B．3，4 C．4，3 D．5，4【变式1-2】（23-24高一上·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（

）A． B．C． D．【变式1-3】（23-24高一上·广东东莞·月考）（多选）下列方程中能用二分法求近似解的为（

）A． B．C． D．考点二：二分法的具体步骤例2.（23-24高一下·江苏扬州·月考）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（

）A．， B．，C．， D．，【变式2-1】（23-24高一上·湖南长沙·期末）设，用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为（

）A．或都可以 B．C． D．不能确定【变式2-2】（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知增函数的图象在上是一条连续不断的曲线，在用二分法求该函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，则的值是（

）A． B． C． D．【变式2-3】（23-24高一上·湖南·期末）用二分法求函数的一个正零点的近似值（精确度为时，依次计算得到如下数据；，关于下一步的说法正确的是（

）A．已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值B．已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值C．没有达到精确度的要求，应该接着计算D．没有达到精确度的要求，应该接着计算考点三：二分法次数的确定例3.（23-24高一上·湖北襄阳·期末）已知函数在区间内存在一个零点，用二分法求方程近似解时，至少需要求（

）次中点值可以求得近似解（精确度为0.01）.A．5 B．6 C．7 D．8【变式3-1】（23-24高一上·河北石家庄·月考）已知函数为上的连续函数，且，使用二分法求函数零点，要求近似值的精确度达到0.1，则需对区间至少二分的次数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【变式3-2】（23-24高一上·湖南株洲·期末）用二分法求函数在区间的零点，若要求精确度，则至少进行次二分.【变式3-3】（23-24高一上·江西抚州·期末）在用二分法求方程的正实数跟的近似解（精确度）时，若我们选取初始区间是，为达到精确度要求至少需要计算的次数是．考点四：用二分法求零点近似值例4.（23-24高一上·江苏苏州·期末）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程的一个近似根精确度为可以是（）A． B． C． D．【变式4-1】（23-24高一上·浙江温州·期末）（多选）设，某同学用二分法求方程的近似解精确度为，列出了对应值表如下：依据此表格中的数据，方程的近似解不可能为（

）A． B． C． D．【变式4-2】（23-24高一上·湖北黄冈·月考）（多选）某同学求函数的零点时,用计算器算得部分函数值如表所示:则方程的近似解(精确度)可取为（

）A． B． C． D．【变式4-3】（23-24高一上·江苏·课后作业）已知函数.(1)求证：在上为增函数.(2)若，求方程的正根（精确度为0.01）.一、单选题1．（223-24高一上·浙江杭州·月考）设函数，用二分法求方程近似解的过程中，计算得到，则方程的近似解落在区间（

）A． B． C． D．2．（23-24高一上·江西吉安·期末）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算发现，，可得其中一个零点，则第二次还需计算函数值（

）A． B． C． D．3．（23-24高一上·上海虹口·期末）若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，则实数和分别等于（

）A． B．2，3 C． D．4．（23-24高一上·云南昆明·期末）若函数的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：，，，，，，那么方程的一个近似根（精确度）为（

）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.55．（23-24高一上·安徽·月考）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示：010.50.750.6250.56250.68750.656250.67187510.17190.01245若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（

）A．4，0.7 B．5，0.7 C．4，0.65 D．5，0.656．（23-24高一上·湖北恩施·期末）下列方程中，不能用二分法求近似解的为（

）A． B． C． D．二、多选题7．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）在用“二分法”求函数零点的近似值时，若第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是（

）A． B． C． D．8．（23-24高一上·广东广州·期末）教材中用二分法求方程的近似解时，设函数来研究，通过计算列出了它的对应值表1.251.3751.406251.4221.43751.50.020.33分析表中数据，则下列说法正确的是：（

）A．B．方程有实数解C．若精确度到0.1，则近似解可取为1.375D．若精确度为0.01，则近似解可取为1.4375三、填空题9．（23-24高一下·四川眉山·开学考试）用“二分法”研究函数的零点时，第一次经计算可知，说明该函数在区间内存在零点，下一次应计算，则．10．（23-24高一上·上海·期末）若函数在区间的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下：那么方程的一个近似解为（精确到0.1）11．（23-24高一上·山东临沂·期末）用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过次二分后精确度达到0.1.四、解答题12．（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知函数．(1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明；(2)用二分法求方程在区间上的一个近似解（精确度为0.1）．13．（23-24高一上·山东青岛·月考）已知.(1)通过二分法且满足精确度为0.5，求方程的近似解（精确到0.1）(2)设，求证：.第19讲用二分法求方程的近似解模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件；2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解；3．会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解.知识点1二分法1、二分法的定义：对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到近似值的方法．2、二分法要点辨析：（1）二分法的求解原理是函数零点存在定理；（2）函数图象在零点附近连续不断；（3）用二分法只能求变号零点，即零点在左右两侧的函数值的符号相反，比如，该函数有零点0，但不能用二分法求解．知识点2二分法求零点近似值1、给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤（1）确定零点的初始区间，验证；（2）求区间的中点；（3）计算，进一步确定零点所在的区间：=1\*GB3①若（此时），则就是函数的零点；=2\*GB3②若（此时），则令；=3\*GB3③若（此时），则令.（4）判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4）【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点．2、关于精确度（1）“精确度”与“精确到”不是一回事，这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值，即；“精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位，如计算，精确到0.01，即0.33（2）精确度表示当区间的长度小于时停止二分；此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值．考点一：判断二分法的适用条件例1．（23-24高一上·天津·月考）下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是下图中的（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据零点存在定理可知，能用二分法求零点的函数，在零点左右两侧的函数值应该是正负符号相反，对于A，两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标；对于B，两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标；对于C，图象与x轴有交点，图象在x轴及其上方，两侧函数值符号相同，故不可用二分法求交点横坐标；对于D，两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标；故选：C【变式1-1】（22-23高一上·陕西咸阳·月考）已知函数的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求其零点近似值的个数分别是（

）A．4，4 B．3，4 C．4，3 D．5，4【答案】C【解析】图象与轴有4个交点，所以零点的个数为4，左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3.故选：C【变式1-2】（23-24高一上·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】不能用二分法求零点的函数，要么没有零点，要么零点两侧同号；对于A，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；对于B，有唯一零点，但恒成立，故不可用二分法求零点；对于C，有两个不同零点，且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分法求零点；对于D，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点.故选：B.【变式1-3】（23-24高一上·广东东莞·月考）（多选）下列方程中能用二分法求近似解的为（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】对于A项，设，则，，所以，，且的图象是一条连续不断的曲线.根据零点的存在定理可知，，使得，故A正确；对于B项，设，则，，所以，，且的图象是一条连续不断的曲线..根据零点的存在定理可知，，使得，故B正确；对于C项，设，则，，所以，，且的图象是一条连续不断的曲线..根据零点的存在定理可知，，使得，故C正确；对于D项，设，因为恒成立，不存在函数值异号区间，所以不满足二分法的条件，故D错误.故选：ABC.考点二：二分法的具体步骤例2.（23-24高一下·江苏扬州·月考）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】因为，由零点存在性知：零点，根据二分法，第二次应计算，即.故选：B.【变式2-1】（23-24高一上·湖南长沙·期末）设，用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为（

）A．或都可以 B．C． D．不能确定【答案】B【解析】，，第一次取，有，故第二次取，有，故此时可确定近似解所在区间为.故选：B.【变式2-2】（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知增函数的图象在上是一条连续不断的曲线，在用二分法求该函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为依次确定了零点所在区间为，，，可得，即，解得.所以.故选：B.【变式2-3】（23-24高一上·湖南·期末）用二分法求函数的一个正零点的近似值（精确度为时，依次计算得到如下数据；，关于下一步的说法正确的是（

）A．已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值B．已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值C．没有达到精确度的要求，应该接着计算D．没有达到精确度的要求，应该接着计算【答案】C【解析】由二分法的定义，可得正零点所在区间不断缩小，时的区间长度为，故没有达到精确的要求，应该接着计算的值.故选：C考点三：二分法次数的确定例3.（23-24高一上·湖北襄阳·期末）已知函数在区间内存在一个零点，用二分法求方程近似解时，至少需要求（

）次中点值可以求得近似解（精确度为0.01）.A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】由所给区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为，故需，解得，所以至少需要操作7次.故选：C【变式3-1】（23-24高一上·河北石家庄·月考）已知函数为上的连续函数，且，使用二分法求函数零点，要求近似值的精确度达到0.1，则需对区间至少二分的次数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】区间的长度为1，没经过一次操作，区间长度变成原来的一半，经过次后，区间长度变成，则，即，故对区间只需要分4次即可．故选：C.【变式3-2】（23-24高一上·湖南株洲·期末）用二分法求函数在区间的零点，若要求精确度，则至少进行次二分.【答案】8【解析】根据题意，原来区间的长度等于2，每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半，则经过次操作后，区间的长度为，若，即，故最少为8次.故答案为：8.【变式3-3】（23-24高一上·江西抚州·期末）在用二分法求方程的正实数跟的近似解（精确度）时，若我们选取初始区间是，为达到精确度要求至少需要计算的次数是．【答案】7【解析】设至少需要计算次，则满足，即，由于，故要达到精确度要求至少需要计算7次.故答案为：7考点四：用二分法求零点近似值例4.（23-24高一上·江苏苏州·期末）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程的一个近似根精确度为可以是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为因为，所以，所以函数在内有零点，因为，满足精确度为，所以方程的一个近似根精确度为可以是区间内任意一个值包括端点值.故选：C.【变式4-1】（23-24高一上·浙江温州·期末）（多选）设，某同学用二分法求方程的近似解精确度为，列出了对应值表如下：依据此表格中的数据，方程的近似解不可能为（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】由题中参考数据可得根在区间内，故通过观察四个选项，符合要求的方程近似解可能为，不可能为ABD选项．故选：ABD．【变式4-2】（23-24高一上·湖北黄冈·月考）（多选）某同学求函数的零点时,用计算器算得部分函数值如表所示:则方程的近似解(精确度)可取为（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】由函数在上单调递增，要使得精确度为，结合表格可知：，，此时，所以方程的近似解在区间内.故选：AB.【变式4-3】（23-24高一上·江苏·课后作业）已知函数.(1)求证：在上为增函数.(2)若，求方程的正根（精确度为0.01）.【答案】(1)证明见解析；(2)0.2734375【解析】（1）证明：设，，，，，，；，且，，，，即，函数在上为增函数；（2）由（1）知，当时，在上为增函数，故在上也单调递增，因此的正根仅有一个，以下用二分法求这一正根，由于，，取为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表：区间中点中点函数值0.50.7320.250.3750.3220.31250.1240.281250.0210.2656250.2734375由于，原方程的根的近似值为0.2734375，即的正根约为0.2734375.一、单选题1．（223-24高一上·浙江杭州·月考）设函数，用二分法求方程近似解的过程中，计算得到，则方程的近似解落在区间（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由函数，且，可得，所以，根据零点的存在性定理，可得方程的近似解落在区间为.故选：A.2．（23-24高一上·江西吉安·期末）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算发现，，可得其中一个零点，则第二次还需计算函数值（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，第一次经过计算发现，，可得其中一个零点，由于，则第二次需计算，故选：C．3．（23-24高一上·上海虹口·期末）若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，则实数和分别等于（

）A． B．2，3 C． D．【答案】A【解析】由函数，根据指数函数与反比例函数的性质，可得函数在上为单调递增函数，所以函数在至多有一个零点，又由依次确定了零点所在区间为，可得，即，解得.故选：A.4．（23-24高一上·云南昆明·期末）若函数的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：，，，，，，那么方程的一个近似根（精确度）为（

）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5【答案】C【解析】因为，所以不必考虑端点；因为，所以不必考虑端点和；因为，，所以，所以函数在内有零点，因为，所以满足精确度0.1；所以方程的一个近似根（精确度0.1）是区间内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知：.故选：C.5．（23-24高一上·安徽·月考）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示：010.50.750.6250.56250.68750.656250.67187510.17190.01245若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（

）A．4，0.7 B．5，0.7 C．4，0.65 D．5，0.65【答案】C【解析】由题意可知，对区间内，设零点为，因为，，，所以，精确度为，又，，，精确度为，又，，，精确度为又，，，精确度为，需要求解的值，然后达到零点的近似值精确到0.1，所以零点的近似解为0.65，共计算4次.故选：C6．（23-24高一上·湖北恩施·期末）下列方程中，不能用二分法求近似解的为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】对于A，在上单调递增，且，可以使用二分法，故A错误；对于B，在R上连续且单调递增，且，可以使用二分法，故B错误；对于C，，故不可以使用二分法，故C正确；对于D，在上单调递增，且，可以使用二分法，故D错误.故选：C二、多选题7．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）在用“二分法”求函数零点的近似值时，若第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】由题知第一次所取区间为，取中间值，则第二次所取区间可能是或.故选：BD.8．（23-24高一上·广东广州·期末）教材中用二分法求方程的近似解时，设函数来研究，通过计算列出了它的对应值表1.251.3751.406251.4221.43751.50.020.33分析表中数据，则下列说法正确的是：（

）A．B．方程有实数解C．若精确度到0.1，则近似解可取为1.375D．若精确度为0.01，则近似解可取为1.4375【答案】BC【解析】∵与都是R上的单调递增函数，∴是R上的单调递增函数，∴在R上至多有一个零点，由表格中的数据可知：，，∴在R上有唯一零点，零点所在的区间为，∴，A错误；方程有实数解，B正确；，即精确度到0.