2024年新高一数学初升高衔接《集合的概念》含答案解析

数学PAGE1数学第01讲集合的概念模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．通过实例了解集合的含义；2．理解集合中元素的特征；3．体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用.知识点1集合的含义1、元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．2、集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．3、对集合概念的理解：（1）描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样，都只是描述性的说明．（2）整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象．（3）广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等．知识点2元素与集合1、元素与集合的关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A，读作a属于A．（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A，读作a不属于A．【注意】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向．2、集合中元素的三大特性（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．【注意】如果元素的界限不明确，即不能构成集合．例如：著名的科学家、比较高的人、好人、很难的题目等．（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．（3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．3、集合相等：根据集合中元素的无序性，我们可以判断两个集合是否相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称两个集合是相等的。集合A与集合B相等记作A=B.【注意】（1）两个集合相等时，这两个集合的元素个数相等；（2）两个集合是否相等，不能只从集合的形式上看，比如构成的集合与构成的集合相等．知识点3集合的表示方法与分类1、常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法或2、集合的表示方法（1）自然语言法：用文字叙述的形式表述集合的方法。如小于10的所有的自然数组成的集合．N+（2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．【注意】（1）元素与元素之间必须用“，”隔开；（2）集合中的元素必须是明确的．（3）集合中的元素不能重复；（4）集合中的元素可以是任何事物．（3）描述法：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．【注意】用描述法表示集合时，注意区分是数集还是点集．区分的关键在于代表元素．（4）图示法（Venn图法）：用平面上封闭曲线的内部表示集合的方法。3、集合的分类按照集合中元素的个数的多少，可将集合分为有限集和无限集（1）有限集：含有有限个元素的集合．例如，集合是有限集．（2）无限集：含有无限个元素的集合．例如，所有自然数组成的集合是无限集．有限集常用列举法表示，一目了然，有些无限集也可以用列举法表示，如．而描述法更适用于无限集或元素个数较多的集合，如可表示为．考点一：判断元素是否构成集合例1．（23-24高一上·新疆·月考）下列对象中不能构成一个集合的是（

）A．某校比较出名的教师 B．方程的根C．不小于3的自然数 D．所有锐角三角形【变式1-1】（23-24高一上·重庆·期中）下列叙述能组成集合的是（

）A．接近0的数 B．数学成绩好的同学C．中国古代四大发明 D．跑得快的运动员【变式1-2】（23-24高一上·天津南开·期中）下列给出的对象能构成集合的有（

）①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值；③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-3】（23-24高一上·全国·专题练习）(多选)下列各组对象能组成集合的是（

）A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题C．被3除余2的所有整数 D．函数图象上所有的点考点二：元素与集合关系的判断例2.（23-24高一上·全国·专题练习）下列关系中，正确的个数为（

）①；②；③；④；⑤；⑥.A．6 B．5 C．4 D．3【变式2-1】（23-24高一上·湖南株洲·月考）下列元素与集合的关系中，正确的是（

）A． B． C． D．【变式2-2】（23-24高一上·四川·月考）已知，则（

）A． B． C． D．【变式2-3】（23-24高一上·湖北咸宁·月考）（多选）已知为非零实数，代数式的值组成的集合A，下列判断正确的是（

）A． B． C． D．考点三：集合中元素特性的应用例3.（23-24高一上·山东临沂·期中）已知集合有三个元素.若，则实数的值为（

）A． B．1 C．或1 D．0或1【变式3-1】（23-24高一上·广东韶关·月考）已知集合，若，则实数的值为（

）A．2 B． C．2或 D．4【变式3-2】（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合，其中且，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式3-3】（23-24高一上·重庆·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．考点四：用列举法表示集合例4.（23-24高一上·重庆·期中）将集合用列举法可以表示为（

）A．1，2 B． C． D．【变式4-1】（23-24高一上·全国·专题练习）已知集合，用列举法表示为.【变式4-2】（23-24高一上·上海徐汇·期中）集合可用列举法表示为．【变式4-3】（23-24高一上·江苏·专题练习）用列举法表示下列给定的集合：（1）大于1且小于6的整数组成的集合A；（2）方程的实数根组成的集合B；（3）一次函数与的图象的交点组成的集合C.考点五：用描述法表示集合例5.（23-24高一上·河北·月考）用性质描述法表示平面内第二象限的点构成的集合，正确的是（

）A．且 B．且C．且 D．且【变式5-1】（23-24高一上·全国·专题练习）所有正偶数组成的集合是．【变式5-2】（23-24高一·全国·随堂练习）用描述法表示下列集合：（1）；（2）36的所有因数组成的集合．【变式5-3】（2022高一上·全国·专题练习）用描述法表示下列集合：（1）不等式的解组成的集合；（2）被除余的正整数的集合；（3）；（4）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合．考点六：集合与方程的综合应用例6.（23-24高一上·全国·专题练习）集合中只有一个元素，则实数的值是.【变式6-1】（23-24高一上·全国·专题练习）已知集合．（1）若A中没有元素，求的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；（3）若A中至少有一个元素，求的取值范围．【变式6-2】（22-23高一上·上海奉贤·期末）集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是.【变式6-3】（23-24高一上·辽宁丹东·月考）（多选）关于的方程的解集是单元素集，则的可能值是（

）A．0 B．27 C．2 D．一、单选题1．（23-24高一上·河北·月考）下列对象能构成集合的是（

）A．本班成绩较好的同学全体 B．与10接近的实数全体C．绝对值小于5的整数全体 D．本班兴趣广泛的学生2．（23-24高一上·北京·期中）集合可化简为（

）A． B． C． D．3．（23-24高一上·湖南长沙·月考）已知集合，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（23-24高一·浙江·期末）已知集合，集合A中至少有3个元素，则（

）A． B． C． D．5．（23-24高一上·全国·专题练习）已知集合，若集合A中至多有一个元素，则实数a应满足（

）A． B． C．或 D．不确定6．（23-24高一上·江苏连云港·月考）（多选）已知集合，则下列表示正确的是（

）A． B． C． D．二、多选题7．（23-24高一上·广东汕头·月考）下列结论正确的是（

）A． B． C． D．8．（23-24高一上·江苏苏州·月考）已知集合，则满足中有8个元素的的值可能为（

）A．6 B．7 C．8 D．9三、填空题9．（23-24高一上·云南曲靖·月考）用列举法表示集合可以是．10．（23-24高一上·河北·月考）如图，坐标系中矩形及其内部的点构成的集合可表示为.11．（23-24高一上·四川德阳·期末）若，则．四、解答题12．（23-24高一上·新疆·期中）用描述法表示下列集合；（1）不等式的解集．（2）所有的偶数组成的集合．13．（23-24高一上·宁夏吴忠·月考）已知集合，其中.（1）若集合中有且仅有一个元素，求实数组成的集合.（2）若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围.第01讲集合的概念模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．通过实例了解集合的含义；2．理解集合中元素的特征；3．体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用.知识点1集合的含义1、元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．2、集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．3、对集合概念的理解：（1）描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样，都只是描述性的说明．（2）整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象．（3）广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等．知识点2元素与集合1、元素与集合的关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A，读作a属于A．（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A，读作a不属于A．【注意】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向．2、集合中元素的三大特性（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．【注意】如果元素的界限不明确，即不能构成集合．例如：著名的科学家、比较高的人、好人、很难的题目等．（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．（3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．3、集合相等：根据集合中元素的无序性，我们可以判断两个集合是否相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称两个集合是相等的。集合A与集合B相等记作A=B.【注意】（1）两个集合相等时，这两个集合的元素个数相等；（2）两个集合是否相等，不能只从集合的形式上看，比如构成的集合与构成的集合相等．知识点3集合的表示方法与分类1、常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法或2、集合的表示方法（1）自然语言法：用文字叙述的形式表述集合的方法。如小于10的所有的自然数组成的集合．N+（2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．【注意】（1）元素与元素之间必须用“，”隔开；（2）集合中的元素必须是明确的．（3）集合中的元素不能重复；（4）集合中的元素可以是任何事物．（3）描述法：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．【注意】用描述法表示集合时，注意区分是数集还是点集．区分的关键在于代表元素．（4）图示法（Venn图法）：用平面上封闭曲线的内部表示集合的方法。3、集合的分类按照集合中元素的个数的多少，可将集合分为有限集和无限集（1）有限集：含有有限个元素的集合．例如，集合是有限集．（2）无限集：含有无限个元素的集合．例如，所有自然数组成的集合是无限集．有限集常用列举法表示，一目了然，有些无限集也可以用列举法表示，如．而描述法更适用于无限集或元素个数较多的集合，如可表示为．考点一：判断元素是否构成集合例1．（23-24高一上·新疆·月考）下列对象中不能构成一个集合的是（

）A．某校比较出名的教师 B．方程的根C．不小于3的自然数 D．所有锐角三角形【答案】A【解析】A：比较出名的标准不清，故不能构成集合；B：，方程根确定，可构成集合；C：不小于3的自然数可表示为，可构成集合；D：所有锐角三角形内角和确定且各角范围确定，可构成集合.故选：A【变式1-1】（23-24高一上·重庆·期中）下列叙述能组成集合的是（

）A．接近0的数 B．数学成绩好的同学C．中国古代四大发明 D．跑得快的运动员【答案】C【解析】对于选项ABD：缺乏统一的判断标准，均不满足确定性，故ABD错误；对于选项C：中国古代四大发明是确定的，符合确定性，所以能构成集合，故C正确.故选：C.【变式1-2】（23-24高一上·天津南开·期中）下列给出的对象能构成集合的有（

）①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值；③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】对于①：某校2023年入学的全体高一年级新生，对象确定，能构成集合，故①正确；对于②：的所有近似值，根据精确度不一样得到的近似值不一样，对象不确定，故不能构成集合，故②错误；对于③：某个班级中学习成绩较好是相对的，故这些学生对象不确定，不能构成集合，故③错误；对于④：不等式的所有正整数解有、、，能构成集合，故④正确；故选：B【变式1-3】（23-24高一上·全国·专题练习）(多选)下列各组对象能组成集合的是（

）A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题C．被3除余2的所有整数 D．函数图象上所有的点【答案】ACD【解析】选项A、C、D中的元素符合集合中元素的确定性；而选项B中，“难题”没有标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合．故选：ACD考点二：元素与集合关系的判断例2.（23-24高一上·全国·专题练习）下列关系中，正确的个数为（

）①；②；③；④；⑤；⑥.A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【解析】由元素与集合的关系，得：在①中，，故①正确；在②中，，故②正确；在③中，不正确，故③错误；在④中，，故④错误；在⑤中，，故⑤错误；在⑥中，，故⑥正确.所以正确的个数为3.故选：D.【变式2-1】（23-24高一上·湖南株洲·月考）下列元素与集合的关系中，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】对于选项A，因不是正整数，故A项错误；对于选项B，是无理数，故必是实数，故B项正确；对于选项C，是分数，故不是整数，故C项错误；对于选项D，是自然数，故D项错误.故选：B.【变式2-2】（23-24高一上·四川·月考）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，故当时，，从而点在抛物线上，即.故选:C.【变式2-3】（23-24高一上·湖北咸宁·月考）（多选）已知为非零实数，代数式的值组成的集合A，下列判断正确的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】依题意，当都为正数，代数值等于4；当中只有一个负数两个正数，代数值为0；当中只有一个正数两个负数，代数值为0；当都为负数，代数值为.故选：CD考点三：集合中元素特性的应用例3.（23-24高一上·山东临沂·期中）已知集合有三个元素.若，则实数的值为（

）A． B．1 C．或1 D．0或1【答案】C【解析】因为，所以或.当即时，，满足题意；当即时，若，则，满足题意；若，则，不满足题意；综上，实数的值为或1.故选：C【变式3-1】（23-24高一上·广东韶关·月考）已知集合，若，则实数的值为（

）A．2 B． C．2或 D．4【答案】B【解析】由，若，则，不符合集合元素的互异性；若，则或（舍），，此时符合集合元素的特性；若，即，则不符合集合元素的互异性.故.故选：B.【变式3-2】（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合，其中且，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可得，解得.故选：A.【变式3-3】（23-24高一上·重庆·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可知：，解得，所以实数的取值范围是.故选：A.考点四：用列举法表示集合例4.（23-24高一上·重庆·期中）将集合用列举法可以表示为（

）A．1，2 B． C． D．【答案】C【解析】对于方程，解得或，所以，故C正确，ABD错误.故选：C.【变式4-1】（23-24高一上·全国·专题练习）已知集合，用列举法表示为.【答案】【解析】.【变式4-2】（23-24高一上·上海徐汇·期中）集合可用列举法表示为．【答案】【解析】由可知，所以只能取，又，所以，即集合中的元素为，故列举法表示为.【变式4-3】（23-24高一上·江苏·专题练习）用列举法表示下列给定的集合：（1）大于1且小于6的整数组成的集合A；（2）方程的实数根组成的集合B；（3）一次函数与的图象的交点组成的集合C.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以.（2）因为方程的实数根为，所以.（3）联立，解得，所以一次函数与的交点为，所以.考点五：用描述法表示集合例5.（23-24高一上·河北·月考）用性质描述法表示平面内第二象限的点构成的集合，正确的是（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】D【解析】表示平面内第二象限的点构成的集合为且.故选：D.【变式5-1】（23-24高一上·全国·专题练习）所有正偶数组成的集合是．【答案】【解析】所有正偶数组成的集合是．【变式5-2】（23-24高一·全国·随堂练习）用描述法表示下列集合：（1）；（2）36的所有因数组成的集合．【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据题意可知，；（2）根据题意可知，36的所有因数组成的集合为．【变式5-3】（2022高一上·全国·专题练习）用描述法表示下列集合：（1）不等式的解组成的集合；（2）被除余的正整数的集合；（3）；（4）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）因为不等式的解组成的集合为，则集合中的元素是数.设代表元素为x，则x满足，所以，即．（2）设被3除余2的数为x，则．又因为元素为正整数，故．所以被3除余2的正整数的集合（3）设偶数为x，则．但元素是2，4，6，8，10，所以．所以．（4）因为平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即，故第二象限内的点的集合为．考点六：集合与方程的综合应用例6.（23-24高一上·全国·专题练习）集合中只有一个元素，则实数的值是.【答案】【解析】因为集合中只有一个元素，则，解得.【变式6-1】（23-24高一上·全国·专题练习）已知集合．（1）若A中没有元素，求的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；（3）若A中至少有一个元素，求的取值范围．【答案】（1）；（2）当时，集合，当时，集合；（3）【解析】（1）中没有元素，且，，解得，所以的取值范围为：；（2）①当时，集合，②当时，，，解得，此时集合，综上所述，当时，集合，当时，集合；（3）中至少有一个元素，则当中只有一个元素时，或；当中有2个元素时，则且，即，解得且；综上可得，时中至少有一个元素，即.【变式6-2】（22-23高一上·上海奉贤·期末）集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是.【答案】或【解析】由方程，则或，当存在两个相等的实数根时，，解得，此时方程的解为，符合题意；当存在两个不相等的实数根且其中一个根为时，，解得，此时，则方程另一个解为，符合题意.综上所述，当或时，集合中恰有两个元素.【变式6-3】（23-24高一上·辽宁丹东·月考）（多选）关于的方程的解集是单元素集，则的可能值是（

）A．0 B．27 C．2 D．【答案】BD【解析】由，得，即，因为方程的解集为单元素集，所以，或方程有一个根为3，当时，得，此时方程的解为，符合题意，当方程有一个根为3时，得，此时方程为，，解得（舍去），或，符合题意，综上，或，故选：BD.1．（23-24高一上·河北·月考）下列对象能构成集合的是（

）A．本班成绩较好的同学全体 B．与10接近的实数全体C．绝对值小于5的整数全体 D．本班兴趣广泛的学生【答案】C【解析】对于A，成绩较好不是一个确定的概念，不能构成集合，故A不符合；对于B，与10接近的不是一个确定的概念，不能构成集合，故B不符合；对于C，绝对值小于5的整数全体是个明确的概念，并且给定一个元素能确定是否属于这个整体，故能构成集合，故C符合；对于D，兴趣广泛的不是一个确定的概念，不能构成集合，故D不符合.故选：C.2．（23-24高一上·北京·期中）集合可化简为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，解得或，又因为，所以，所以集合可化简为.故选：C3．（23-24高一上·湖南长沙·月考）已知集合，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，，解得，所以实数的取值范围是.故选：D4．（23-24高一·浙江·期末）已知集合，集合A中至少有3个元素，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】且集合A中至少有3个元素，.故选：C.5．（23-24高一上·全国·专题练习）已知集合，若集合A中至多有一个元素，则实数