2024年新高一数学初升高衔接《函数的奇偶性》含答案解析

数学PAGE1数学第11讲函数的奇偶性模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解奇函数、偶函数的定义，了解奇函数、偶函数图象的特征；2．掌握判断函数奇偶性的方法，会根据函数奇偶性求函数值或函数的解析式；3．能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的综合问题.知识点1函数的奇偶性1、奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数，图象关于原点对称．2、偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数，图象关于轴对称．偶函数的性质：，可避免讨论．3、奇函数、偶函数图象对称性的推广在定义域内恒满足的图象的对称轴（中心）直线直线直线点点点知识点2判断奇偶性的常用方法1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等.【注意】判断与的关系时，也可以使用如下结论：（1）如果或，则函数为偶函数；（2）如果或，则函数为奇函数．2、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称．3、性质法：设，的定义域分别是，，在它们的公共定义域上，一般具有下列结论：偶偶偶偶偶偶奇不确定奇偶奇偶不确定奇偶奇奇奇偶奇【注意】在中，的值域是定义域的子集．4、分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较．知识点3函数奇偶性的应用函数奇偶性的定义既是判断函数奇偶性的一种方法，又是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用．1、由函数的奇偶性求参数若函数解析式中含参数，则根据或，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数．2、由函数的奇偶性求函数值由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，一般续利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值．3、由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤（1）在哪个区间上求解析是，就设在哪个区间上；（2）把对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得；（3）利用函数的奇偶性把改写成，从而求出．知识点函数奇偶性与单调性的综合应用1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．2、区间和关于原点对称（1）若为奇函数，且在上有最大值，则在上最小值；（2）若为偶函数，且在上有最大值，则在上最大值．3、利用函数的奇偶性与单调性比较函数值或自变量的大小，关键是利用奇偶性把自变量转化到函数的同一个单调区间内，然后利用单调性比较．【注意】由或及函数的单调性列出不等式（组）时，要注意定义域对参数的影响．考点一：判断函数的奇偶性例1．（23-24高一上·广东·期末）下列函数是奇函数的是（

）A． B．C． D．【变式1-1】（23-24高一上·辽宁大连·期末）下列函数为偶函数的是（

）A． B． C． D．【变式1-2】（23-24高一上·全国·课后作业）函数的奇偶性是（

）A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数【变式1-3】（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）设函数，则下列函数是奇函数的是（

）A． B． C． D．考点二：利用奇偶性求函数值例2.（23-24高一上·上海·月考）已知函数在R上是奇函数，且当时，，则（

）A． B．1 C．0 D．【变式2-1】（23-24高一上·四川雅安·月考）已知是偶函数，当时，，则（

）A． B． C．7 D．5【变式2-2】（22-23高一上·浙江台州·期中）已知，，则（

）A．3 B．1 C．-1 D．-5【变式2-3】（23-24高一上·安徽亳州·期中）如果函数是奇函数，则（

）A． B．2 C．3 D．考点三：利用奇偶性求参数例3.（23-24高一上·辽宁阜新·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（

）A． B． C． D．2【变式3-1】（23-24高一上·山西长治·期末）若为奇函数，则的值为（

）A． B．0 C．1 D．2【变式3-2】（23-24高一下·贵州贵阳·月考）若函数是定义在上的偶函数，则（

）A． B． C． D．【变式3-3】（23-24高一上·浙江宁波·期末）若函数为偶函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．或考点四：利用奇偶性求解析式例4.（23-24高一上·北京·期中）设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（

）A． B．C． D．【变式4-1】（23-24高一上·广东深圳·月考）已知函数是奇函数且满足，当时，恒成立，设，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【变式4-2】（22-23高一上·北京海淀·月考）设函数的定义域为，若在上单调递减，且为偶函数，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【变式4-3】（23-24高一下·湖南长沙·月考）已知函数是定义在上的偶函数，函数是定义在上的奇函数，且，在上单调递减，则（）A． B．C． D．考点五：利用奇偶性与单调性比大小例5.（23-24高一下·云南·月考）已知偶函数，当时，，则当时，（

）A． B． C． D．【变式5-1】（23-24高一上·江苏徐州·期中）设为奇函数，且当时，，则当时，（

）A． B． C． D．【变式5-2】（23-24高一上·广东韶关·期中）如果函数是奇函数，那么（）A． B． C． D．【变式5-3】（23-24高一上·云南昆明·月考）已知函数为奇函数，函数为偶函数，，则（

）A． B． C．1 D．2考点六：利用奇偶性与单调性解不等式例6.（2024·江西·模拟预测）已知奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【变式6-1】（22-23高一上·北京·月考）若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式6-2】（23-24高一下·河北张家口·开学考试）已知是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【变式6-3】（23-24高一上·重庆·期中）已知函数，且，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．一、单选题1．（22-23高一上·天津北辰·月考）下列函数中，为偶函数的是（

）A．= B．= C．=+ D．=x+2．（23-24高一上·江苏镇江·月考）函数为定义在上的偶函数，则实数等于（

）A． B．1 C．0 D．无法确定3．（23-24高一下·安徽阜阳·月考）已知奇函数的定义域为，且当时，；当时，，则（

）A．7 B．9 C．-7 D．-94．（23-24高一上·广东中山·月考）若偶函数在上单调递增，则（

）．A． B．C． D．5．（23-24高一上·贵州毕节·月考）函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（

）A． B． C． D．6．（23-24高一上·北京·期中）已知定义在上的偶函数在上为减函数，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题7．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·月考）是定义在上的奇函数，下列结论中，正确的是（

）A． B．C． D．8．（22-23高一下·河南·月考）已知函数为奇函数，则下列说法正确的为（

）A． B．C． D．的单调递增区间为三、填空题9．（23-24高一上·北京·期中）已知函数，且，则．10．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，则．11．（23-24高一上·陕西西安·月考）已知函数对一切实数都满足，且当时，，则．四、解答题12．（23-24高一上·重庆璧山·月考）已知是定义在上的奇函数，且；当时，.(1)求的值；(2)求函数在上的解析式；(3)解方程；13．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，.(1)判断函数的奇偶性；(2)用定义法证明：函数在上单调递增；(3)求不等式的解集.第11讲函数的奇偶性模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解奇函数、偶函数的定义，了解奇函数、偶函数图象的特征；2．掌握判断函数奇偶性的方法，会根据函数奇偶性求函数值或函数的解析式；3．能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的综合问题.知识点1函数的奇偶性1、奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数，图象关于原点对称．2、偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数，图象关于轴对称．偶函数的性质：，可避免讨论．3、奇函数、偶函数图象对称性的推广在定义域内恒满足的图象的对称轴（中心）直线直线直线点点点知识点2判断奇偶性的常用方法1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等.【注意】判断与的关系时，也可以使用如下结论：（1）如果或，则函数为偶函数；（2）如果或，则函数为奇函数．2、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称．3、性质法：设，的定义域分别是，，在它们的公共定义域上，一般具有下列结论：偶偶偶偶偶偶奇不确定奇偶奇偶不确定奇偶奇奇奇偶奇【注意】在中，的值域是定义域的子集．4、分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较．知识点3函数奇偶性的应用函数奇偶性的定义既是判断函数奇偶性的一种方法，又是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用．1、由函数的奇偶性求参数若函数解析式中含参数，则根据或，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数．2、由函数的奇偶性求函数值由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，一般续利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值．3、由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤（1）在哪个区间上求解析是，就设在哪个区间上；（2）把对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得；（3）利用函数的奇偶性把改写成，从而求出．知识点函数奇偶性与单调性的综合应用1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．2、区间和关于原点对称（1）若为奇函数，且在上有最大值，则在上最小值；（2）若为偶函数，且在上有最大值，则在上最大值．3、利用函数的奇偶性与单调性比较函数值或自变量的大小，关键是利用奇偶性把自变量转化到函数的同一个单调区间内，然后利用单调性比较．【注意】由或及函数的单调性列出不等式（组）时，要注意定义域对参数的影响．考点一：判断函数的奇偶性例1．（23-24高一上·广东·期末）下列函数是奇函数的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A，因为的定义域为，且，所以为偶函数；对于B，因为的定义域为，且，所以不是奇函数；对于C，因为的定义域为，且，所以为奇函数；对于D，因为的定义域为，且，所以为偶函数；故选：.【变式1-1】（23-24高一上·辽宁大连·期末）下列函数为偶函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A，的定义域为，它不关于原点对称，故A不符合题意；对于B，对于而言，，故B不符合题意；对于C，对于而言，，故C不符合题意；对于D，对于而言，其定义域为全体实数，关于原点对称，且，故D符合题意.故选：D.【变式1-2】（23-24高一上·全国·课后作业）函数的奇偶性是（

）A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数【答案】A【解析】若，则，则；若，则，则.又，满足.所以，又函数的定义域为，关于原点对称，因此，函数为奇函数.故选：A.【变式1-3】（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）设函数，则下列函数是奇函数的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，对于A选项，，令，该函数的定义域为，，则为奇函数，A满足要求；对于B选项，，令，该函数的定义域为，则，所以，函数不是奇函数，B不满足条件；对于C选项，，令，该函数的定义域为，则，所以，函数不是奇函数，C不满足条件；对于D选项，，令，该函数的定义域为，则，所以，函数不是奇函数，D不满足要求.故选：A.考点二：利用奇偶性求函数值例2.（23-24高一上·上海·月考）已知函数在R上是奇函数，且当时，，则（

）A． B．1 C．0 D．【答案】B【解析】，又在R上是奇函数，故.故选：B【变式2-1】（23-24高一上·四川雅安·月考）已知是偶函数，当时，，则（

）A． B． C．7 D．5【答案】B【解析】是偶函数，当时，，则.故选：B【变式2-2】（22-23高一上·浙江台州·期中）已知，，则（

）A．3 B．1 C．-1 D．-5【答案】B【解析】设，定义域为，则，故为奇函数，又，则，所以.故选：B【变式2-3】（23-24高一上·安徽亳州·期中）如果函数是奇函数，则（

）A． B．2 C．3 D．【答案】D【解析】记，因为为奇函数，所以，又，，所以.故选：D考点三：利用奇偶性求参数例3.（23-24高一上·辽宁阜新·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（

）A． B． C． D．2【答案】D【解析】因为函数是定义在上的偶函数，所以且，则，所以，则.故选：D．【变式3-1】（23-24高一上·山西长治·期末）若为奇函数，则的值为（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【解析】由函数为奇函数，可得，可得，解得，经检验，当时，，满足，符合题意，所以.故选：D.【变式3-2】（23-24高一下·贵州贵阳·月考）若函数是定义在上的偶函数，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为是定义在上的偶函数，所以，得到，显然，由图象关于轴对称，得到，解得，所以，满足要求，得到.故选：A.【变式3-3】（23-24高一上·浙江宁波·期末）若函数为偶函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．或【答案】A【解析】函数为偶函数，的定义域为，且为偶函数，在(或其子集)上为偶函数，恒成立，恒成立，故选:A.考点四：利用奇偶性求解析式例4.（23-24高一上·北京·期中）设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由是上的偶函数，得，又在上单调递增，则，所以.故选：A【变式4-1】（23-24高一上·广东深圳·月考）已知函数是奇函数且满足，当时，恒成立，设，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，故在上单调递增，因为为奇函数，所以在上单调递增，因为，所以，，因为，所以，即.故选：B【变式4-2】（22-23高一上·北京海淀·月考）设函数的定义域为，若在上单调递减，且为偶函数，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为函数为偶函数，所以函数的图像关于y轴对称，故函数的图像关于直线对称，且，又在上单调递减，故在上单调递增，，，即故选：C【变式4-3】（23-24高一下·湖南长沙·月考）已知函数是定义在上的偶函数，函数是定义在上的奇函数，且，在上单调递减，则（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，在上单调递减，是偶函数，是奇函数，所以在上单调递减，在上单调递增，对于A中，由，但无法判断的正负，所以A不正确；对于B中，因为是定义在上的奇函数，可得，又因为在上单调递减，可得，因为在上单调递减，且为偶函数，所以在上为增函数，所以，所以B不正确；对于C中，由，在上单调递减，所以，所以C不正确；对于D中，由，在上单调递减，，所以D正确.故选：D.考点五：利用奇偶性与单调性比大小例5.（23-24高一下·云南·月考）已知偶函数，当时，，则当时，（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】当，则，，又为偶函数，所以，当时，．故选：D.【变式5-1】（23-24高一上·江苏徐州·期中）设为奇函数，且当时，，则当时，（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】为奇函数，当时，，则当时，，.故选：D【变式5-2】（23-24高一上·广东韶关·期中）如果函数是奇函数，那么（）A． B． C． D．【答案】A【解析】当时，，所以，又因为为奇函数，所以，所以，即，所以当时，.故选：A.【变式5-3】（23-24高一上·云南昆明·月考）已知函数为奇函数，函数为偶函数，，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【解析】根据题意，由①得，因为为奇函数，为偶函数，所以，，所以②，由①②得，所以，则.故选：A.考点六：利用奇偶性与单调性解不等式例6.（2024·江西·模拟预测）已知奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，可得，因为是奇函数，且，所以，因为在上单调递增，所以，故不等式的解集为．故选：D【变式6-1】（22-23高一上·北京·月考）若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】为上的奇函数，且在单调递减，，，，且在上单调递减，所以或，或，可得，或，即或，即，故选：B.【变式6-2】（23-24高一下·河北张家口·开学考试）已知是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为是定义在上的偶函数，所以，又因为是在区间单调递减，所以，即，于是有，解得或，故不等式的解集为.故选：A.【变式6-3】（23-24高一上·重庆·期中）已知函数，且，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】函数的定义域为R，令函数，则显然，函数在R上都单调递增，因此在R上单调递增，不等式化为，即，于是，即，解得，所以实数的取值范围是.故选：A一、单选题1．（22-23高一上·天津北辰·月考）下列函数中，为偶函数的是（

）A．= B．= C．=+ D．=x+【答案】B【解析】选项A中，函数定义域是，函数没有奇偶性；选项B中，函数定义域是，，是偶函数；选项C中，函数定义域是，函数没有奇偶性；选项D中，函数定义域是，，函数是奇函数．故选：B．2．（23-24高一上·江苏镇江·月考）函数为定义在上的偶函数，则实数等于（

）A． B．1 C．0 D．无法确定【答案】C【解析】因为为定义在上的偶函数，所以，解得.故选：C.3．（23-24高一下·安徽阜阳·月考）已知奇函数的定义域为，且当时，；当时，，则（

）A．7 B．9 C．-7 D．-9【答案】B【解析】因为是定义域为的奇函数，所以，，，所以．故选：B．4．（23-24高一上·广东中山·月考）若偶函数在上单调递增，则（

）．A． B．C． D．【答案】D【解析】由偶函数知：，又在上单调递增且，所以，即.故选：D5．（23-24高一上·贵州毕节·月考）函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为为奇函数且在上单调递减，且，可得，则不等式，等价于，解得，所以实数的取值范围为.故选：A.6．（23-24高一上·北京·期中）已知定义在上的偶函数在上为减函数，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为为定义在上的