高一数学期中真题必刷常考60题全解全析-2024-2025学年高一上学期期中考点大串讲（人教B版2019必修第一册）

第第页期中真题必刷常考60题（23个考点专练）一、集合的表示方法1．（23-24高一上·四川乐山·期中）集合用列举法表示为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】列举法表示集合【分析】利用不等式性质进行计算的结果【详解】由得，则．故选：C2．（23-24高一上·青海西宁·期中）集合用列举法表示为.【答案】【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合【分析】观察集合中的式子，给赋值，即可求解.【详解】时，；时，；时，；时，；可得.故答案为：3．（23-24高一上·河北石家庄·期中）用区间表示为；用区间表示为．【答案】【知识点】区间的定义与表示【分析】根据区间的定义直接得到答案.【详解】，.故答案为：；.二、元素和集合的关系4．（23-24高一上·福建三明·期中）下列元素与集合的关系中，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】判断元素与集合的关系、常用数集或数集关系应用【分析】根据元素与集合的关系、常见数集的定义判断即可.【详解】表示全体实数组成的集合，则，故A错误；表示全体有理数组成的集合，则，故B错误；表示全体正整数组成的集合，则，故C正确；表示全体自然数组成的集合，则，故D错误.故选：C.根据元素与集合的关系求参数5．（23-24高一上·湖北孝感·期中）已知集合，且，则（

）A． B．或 C． D．【答案】D【知识点】根据元素与集合的关系求参数【分析】根据元素与集合的关系可得出关于的等式，结合集合元素满足互异性可求得实数的值.【详解】因为集合，且，所以，或，解得或，当时，，集合中的元素不满足互异性；当时，，符合题意．综上，．故选：D．四、集合与集合的关系6．（23-24高一上·四川成都·期中）集合（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】列举法表示集合【分析】先解不等式，再根据元素是自然数求出集合内的元素即可.【详解】解不等式，解得，又因为，所以满足的的值有，所以集合为，故选：C7．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】判断两个集合的包含关系【分析】利用集合包含关系判断即可.【详解】因为任意，都有，故，则B正确，A错误；但，故CD错误.故选：B8．（24-25高三上·辽宁丹东·开学考试）已知集合，则集合的真子集的个数为（

）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】C【知识点】列举法表示集合、判断集合的子集（真子集）的个数【分析】利用列举法表示集合A，即可求得真子集个数.【详解】集合，其真子集有：，，，，，，，共7个.故选：C五、根据两个集合相等求参数9．（23-24高一上·贵州铜仁·期中）已知集合，，若，则集合.【答案】【知识点】根据两个集合相等求参数【分析】由集合相等的条件可得m的值，再结合集合中元素的互异性进行验证即可.【详解】当时，；当，即时，集合B中元素不满足互异性.故答案为：.六、集合的运算关系10．（23-24高一下·广东湛江·开学考试）已知全集，集合，则（）A． B．C．或 D．【答案】D【知识点】补集的概念及运算【分析】利用集合的补集运算即可得解.【详解】因为，，所以.故选：D.11．（23-24高一上·北京·期中）设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】交集的概念及运算【分析】利用集合的交集运算即可得解.【详解】因为，，所以.故选：B.12．（23-24高一上·福建三明·期中）已知集合或，，则集合中元素的个数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，求得，结合集合交集的运算，得到集合，即可求解.【详解】由集合或，可得，又由，可得，所以集合中元素的个数为.故选：B.13．（23-24高一上·广东江门·期中）已知全集，集合.(1)求；(2)求.【答案】(1)(2)【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、补集的概念及运算【分析】（1）利用并集的概念计算即可;（2）利用交集和补集的概念计算即可.【详解】（1）已知集合，所以.（2）由已知得，又全集，所以.七、根据两个集合包含关系求参数14．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知集合且，则a等于（

）A．1 B． C． D．2【答案】D【知识点】根据集合的包含关系求参数【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系列式计算即得.【详解】由集合且，得，所以.故选：D八、根据集合的运算求集合或参数15．（23-24高一上·山西大同·）已知全集U=R，集合，，若，则实数m的取值范围为.【答案】【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据补集运算确定集合或参数、解不含参数的一元二次不等式【分析】根据一元二次不等式化简集合A，根据列出不等式求出m的范围，再根据补集运算求解即可.【详解】集合，且，若，则或，解得或，即，故当时，实数m的取值范围为.故答案为：.16．（23-24高一上·新疆喀什·期中）已知集合，，若，求m取值范围.【答案】或【知识点】根据并集结果求集合或参数、一元二次方程根的分布问题【分析】由知，再分别考虑为空集，单元素集和双元素集即可.【详解】因为，所以，①若，由得，解得；②若，当A是单元素集时，由得，此时方程为的解为，所以，不合题意；当A含两个元素时，，和是方程的两个根，即，节得，综上所述的取值范围为取值范围为或.九、全称量词命题与存在量词命题的否定17．（23-24高一上·四川内江·期中）已知命题p：，的否定（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【知识点】特称命题的否定及其真假判断【分析】直接利用存在量词命题的否定是全称量词命题，即可求出结果．【详解】命题，，则，．故选：A．18．（23-24高一上·四川达州·期中）命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．，使得 D．，使得【答案】D【知识点】全称命题的否定及其真假判断【分析】根据全称量词命题的否定的定义判断.【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，故命题，的否定是，使得.故选：D．十、充分条件、必要条件、充要条件的判断与探求19．（23-24高一上·江西新余·期中）若，则的一个必要不充分条件为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】判断命题的必要不充分条件【分析】的一个必要不充分条件是指由能推出的条件，但反之不能推出.【详解】设的一个必要不充分条件为，则且，故只有B选项成立.故选：B20．（23-24高一上·北京·期中）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【知识点】判断命题的充分不必要条件、解不含参数的一元二次不等式【分析】由不等式的性质得出的充要条件，结合充分不必要条件的定义即可得解.【详解】，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.21．（23-24高一上·江苏徐州·期中）“”是“”的.（选“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”之一填空）【答案】充分不必要条件【知识点】判断命题的充分不必要条件【分析】根据充分不必要条件的定义推断即可.【详解】若，则成立，所以“”是“”的充分条件；若，例如满足，但，即必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要条件22．（23-24高一上·安徽安庆·期中）已知条件，写出的一个必要不充分条件为（填一个即可）【答案】（答案不唯一）【知识点】根据必要不充分条件求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题【分析】由，可得，则m的范围可求，再结合必要不充分条件的概念即可得答案.【详解】因为，所以，，，本题答案不唯一，写出的的取值集合包含区间即可，如：.故答案为：，答案不唯一.十一、根据条件与结论关系求参数23．（23-24高一上·江西南昌·期中）设集合.(1)若，试求；(2)若是的充分条件，求实数的取值范围.【答案】(1)或；(2)【知识点】交并补混合运算、根据充分不必要条件求参数【分析】（1）将代入可得，再根据补集及交集运算即可求得结果；（2）依题意可知，通过限定集合端点处的取值解不等式即可求得.【详解】（1）根据题意由可得，所以或x>1，因此或；（2）由是的充分条件可得，即，解得，所以实数的取值范围是.十二、等式24．（23-24高一上·北京房山·期中）若是一元二次方程的两个根，则的值为，的值为．【答案】【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系【分析】根据韦达定理可求得，再根据即可求解.【详解】因为是一元二次方程的两个根，则，所以.故答案为：；.十三、不等式的性质25．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知a，b为非零实数，且，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小【分析】对ABD举反例即可判断，对C利用作差法即可判断.【详解】对A，当时，不等式不成立，所以A不正确；对B，当时，满足，但，所以B不正确；对C，因为，因为，且，可得，所以，所以C正确；对D，举例，则，则，所以D不正确.故选：C.26．（多选）（23-24高一上·福建福州·期中）下列说法中，正确的是（

）A．若，，则 B．若，则C．若，，则 D．若，，则【答案】BCD【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小【分析】利用不等式的性质一一判定选项即可.【详解】对于A，若，则，故A错误；对于B，可知，不等式两侧同乘以，有，故B正确；对于C，利用作差法知，由，，知，即，故C正确；对于D，由，知，由不等式同向可加性的性质知D正确.故选：BCD十四、一元二次不等式27．（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知函数，若的解集为，则（

）A． B．C． D．【答案】A【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次方程的解集及其根与系数的关系【分析】由题意可得，且是方程的两个根，然后利用根与系数的关系求解即可.【详解】因为的解集为，所以，且是方程的两个根，所以，所以，所以，故选：A.28.（23-24高一上·北京·期中）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题【分析】分和讨论，结合恒成立问题分析求解即可.【详解】当时，原不等式为：，对恒成立；当时，原不等式恒成立，需，解得，综上得．故选：C．29．（多选）（23-24高一上·云南昆明·期中）命题：R，是假命题，则实数的值可能是（

）A． B．C． D．【答案】CD【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、特称命题的否定及其真假判断、一元二次不等式在实数集上恒成立问题【分析】先由p是假命题，得到是真命题，求出b的范围，对四个选项一一验证.【详解】由，，得，.由于命题p是假命题，可知是真命题，所以在时恒成立，则，解得.故选：CD.30．（多选）（23-24高一上·江苏常州·期中）已知关于的不等式的解集为，则（

）A．B．不等式的解集是C．D．不等式的解集为【答案】AB【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数【分析】一元二次不等式的解集可判断AB：用表示代入可判断CD.【详解】不等式的解集为，所以是的两个根，且，故A正确；对于B，所以，可得，所以，所以不等式的解集是，故B正确；对于C，因为，，可得，故C错误；对于D，因为，即解，解得，故D错误.故选：AB.十五、“三个二次”综合问题31．（23-24高一上·山东济宁·期中）设，且，则的解集为（）A． B． C． D．【答案】B【知识点】二次函数的图象分析与判断、解不含参数的一元二次不等式、由函数对称性求函数值或参数【分析】已知，由二次函数图像的对称性求出的值，解二次不等式即可.【详解】二次函数，，则，得，即，解得.故选：B．32．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）已知函数，若不等式的解集是，则实数的值为．【答案】【知识点】由一元二次不等式的解确定参数【分析】根据题意，可得一元二次不等式的解集是，由此列式算出实数的值．【详解】，即，解集是，所以，且是方程的两个实数根，于是由韦达定理可得，解得不符合题意，舍去）．故答案为：．33．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知二次函数，且.(1)求函数的解析式；(2)解关于的不等式.【答案】(1)(2)答案见解析【知识点】求二次函数的解析式、解含有参数的一元二次不等式【分析】（1）结合条件，代入解析式求解即可；（2）将问题转化为求的解集，讨论的范围即可求解.【详解】（1）因为，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，所以，即.（2）由，可得不等式，即，当，即时，不等式的解集为，当，即时，不等式的解集为，当，即时，不等式的解集为，综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为；十六、基本不等式及其应用34．（23-24高一上·北京·期中）如果，那么的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】基本不等式求和的最小值【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值即得.【详解】，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为4.故选：C35．（23-24高一上·浙江杭州·期中）2023年8月29日，华为在官方网站发布了Mate60系列手机，全系搭载麒麟芯片强势回归，5G技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”.发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】基本（均值）不等式的应用【分析】根据给定条件，列出等式，再利用基本不等式求解判断即可.【详解】依题意，，而，因此，当且仅当时取等号，所以.故选：B.36．（多选）（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）下面命题是真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】ACD【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小、基本（均值）不等式的应用【分析】对A，B，利用不等式性质可判断；对C，利用基本不等式判断；对D，利用作差比较法判断.【详解】对于A，，，则，即，故A正确；对于B，，，又，所以，故B错误；对于C，，，即，故C正确；对于D，，，，，，则，即，故D正确.故选：ACD.37．（多选）（19-20高一上·山东济南·阶段练习）（多选）设正实数满足，则下列说法中正确的有（

）A．有最大值B．有最大值4C．有最大值D．有最小值【答案】ACD【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】利用基本不等式可判断各选项的正误.【详解】对于A选项，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，A选项正确；对于B选项，由基本不等式可得，当且仅当，即时,等号成立，即的最小值是4，B不正确；对于C选项，，则，当且仅当时，等号成立，C选项正确.对于D选项，，所以，，当且仅当时，等号成立，D选项正确；故选：ACD.38．（23-24高一上·山东济宁·期中）若a与b均为正数，且，求的最小值．【答案】3【知识点】基本不等式求和的最小值【分析】利用基本不等式求和的最小值.【详解】a与b均为正数，且，则，当且仅当，即，时取等号．所以的最小值为3.39．（23-24高一上·北京·期中）用20cm长度的铁丝围成一个矩形，当矩形的边长为多少cm时面积最大？最大为多少？【答案】矩形的长为cm，宽为cm时，面积有最大值，最大值为【知识点】基本不等式求积的最大值【分析】设矩形的长为cm，宽为cm，求出矩形的面积利用基本不等式可得答案.【详解】设矩形的长为cm，则宽为cm，则矩形的面积为，因为，所以，当且仅当即时，即矩形的长为cm，宽为cm，矩形面积有最大值，最大值为.十七、相等函数的判断40．（23-24高一上·天津·期中）下列函数中与函数相等的函数是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】判断两个函数是否相等【分析】根据相等函数的要求一一判定即可.【详解】两函数若相等，则需其定义域与对应关系均相等，易知函数的定义域为R，对于函数，其定义域为，对于函数，其定义域为，显然定义域不同，故A、D错误；对于函数，定义域为R，符合相等函数的要求，即B正确；对于函数，对应关系不同，即C错误.故选：B41．（23-24高一上·安徽淮北·期中）下列各组函数是同一组函数的是（

）A．与B．与C．与D．与【答案】C【知识点】判断两个函数是否相等【分析】根据题意，利用同一函数的判定方法，结合函数的定义域与对应关系，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由函数的定义为，函数的定义域为

，两个函数的定义域不同，所以不是同一组函数，所以A不符合题意；对于B中，由函数与函数，其中两个函数的定义域不同，所以不是同一组函数，所以B不符合题意；对于C中，函数与，两个函数的定义域与对应关系都相同，所以两个函数是同一组函数，所以C符合题意；对于D中，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一组函数，所以D不符合题意.故选：C.十八、函数的定义域、值域42．（23-24高一上·北京·期中）函数的定义域是（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】具体函数的定义域【分析】由函数有意义的条件求定义域.【详解】函数有意义，则有，解得且，所以函数定义域为.故选：D43．（多选）（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若函数的值域为，则的可能取值为（

）A． B． C． D．0【答案】BCD【分析】对进行分类讨论，结合判别式求得的取值范围.【详解】①时，，值域为，满足题意；②时，若的值域为，则；综上，．故选：BCD44.（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）已知，则函数的值域为.【答案】【分析】令，换元求出函数的解析式，进而可得值域.【详解】令，则，所以函数的值域为.故答案为：.45．（23-24高一上·北京·期中）函数的定义域是．【答案】且【知识点】具体函数的定义域【分析】依据条件列出不等式组求解即可.【详解】要使函数有意义，只需，解得：且.故答案为：且十九、函数及其表示方法46．（23-24高一上·北京·期中）设，则=（

）A．3 B．5 C．-1 D．1【答案】A【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、求分段函数值【分析】根据分段函数的定义区间和解析式，求函数值.【详解】，则.故选：A47.（23-24高一上·天津北辰·期中）已知函数，若则a的值为．【答案】-2或1【知识点】已知函数值求自变量或参数【分析】把a代入函数表达式解方程即可得出结果.【详解】由，解得或者，故答案为：-2或1.48．（22-23高一下·浙江杭州·期中）设函数，则；若，则的取值范围是【答案】【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、解分段函数不等式【分析】将代入相应段解析式求解即可得；对于求，按的值分和两种情况求解即可.【详解】由题，若，则或，解得或，若，则的取值范围是.故答案为：；二十、函数的单调性及其应用49．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，在上单调递增的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性【分析】利用基本函数的性质，分别判断选项中各函数在区间内的单调性即可.【详解】由二次函数性质可知，函数在上单调递减，A选项错误；反比例函数定义域为，不合题意，B选项错误；一次函数在上单调递增，C选项正确；时，函数，在上单调递减，D选项错误.故选：C50．（23-24高一上·甘肃白银·期中）函数是定义在上的增函数，则满足的的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】根据函数的单调性解不等式【分析】根据函数的单调性，可得关于x的不等式，即可求得答案.【详解】由题意知函数是定义在上的增函数，则由，得，解得，即，故选：D51．（23-24高一上·天津·期中）已知函数是上是减函数，则a的取值范围【答案】【知识点】根据分段函数的单调性求参数【分析】根据函数是上的减函数，则每一段都是减函数且左侧的函数值不小于右侧的函数值.【详解】函数是上的减函数，所以，解得.故答案为：.二十一、函数的奇偶性及其应用52．（多选）（23-24高一上·四川内江·期中）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（

）A． B．C． D．【答案】BC【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性【分析】逐项判断各个函数的奇偶性及在上的单调性即可.【详解】对于A，的定义域为，且，即为奇函数，A错误；对于B，的定义域为，，则为偶函数，当时，函数在上单调递增，B正确；对于C，的定义域为，，即为偶函数，函数在上单调递增，C正确；对于D，的定义域为，且，为偶函数，在上单调递减，D错误.故选：BC53．（多选）（23-24高一上·四川乐山·期中）定义域为的函数满足，，且时，，则（

）A．为奇函数 B．在单调递增C． D．不等式的解集为【答案】ABD【知识点】根据函数的单调性解不等式、抽象函数的奇偶性、函数奇偶性的定义与判断、定义法判断或证明函数的单调性【分析】对于A，令，求出，然后令结合函数奇偶的定义判断，对于B，设，则由题意可得，再结合奇函数的性质进行判断，对于C，令求出，再利用奇函数的定义可求得，对于D，由题意可得，将不等式转化为，再利用其单调性求解即可.【详解】对于A，由题，，于是，令，则，即f−x=−fx对于B，设，则有，即，即有，所以在上单调递增，由于，为奇函数，可知在上单调递增，B正确；对于C，由，得，又为奇函数，则，C错误；对于D，由题意得，，则等价于，则有，即，D正确．故选：ABD54．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若是偶函数，则【答案】【知识点】由奇偶性求参数【分析】根据偶函数的对称性以及二次函数对称性分析求解.【详解】因为，则，若是偶函数，可知关于y轴对称，则，解得.故答案为：.二十二、函数性质的综合应用55．（23-24高一上·福建莆田·期末）已知偶函数在区间上是增函数，则满足的取值范围是.【答案】【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式【分析】根据函数的奇偶性与单调性将函数不等式等价转化为，解得即可.【详解】因为偶函数在区间上是增函数，所以在区间上单调递减，不等式等价于，等价于，即，解得，即满足的取值范围是.故答案为：56．（23-24高一上·北京·期中）已知函数．(1)判断并证明的奇偶性；(2)证明在上是增函数；(3)求在上的最大值及最小值．【答案】(1)奇函数，证明见解析；(2)证明见解析；(3)最大值、最小值分别为.【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域、函数奇偶性的定义与判断【分析】（1）直接利用函数的奇偶性定义判断并证明.（2）利用单调性定义进行判断证明：取值、作差、定号、得结论.（3）利用（2）的结论，求出函数在区间上的最值．【详解】（1）函数的定义域为，是奇函数，对任意的，，所以函数为奇函数.（2）对区间上的任意两个数，且，则，由，则，，，从而，即，所以函数在区间上为增函数.（3）由（2）知，函数在上单调递增，，，所以函数在上的最大值、最小值分别为.57．（23-24高一上·新疆伊犁·期中）已知二次函数.(1)若，求在上的值域；(2)当时，在上恒成立，求b的取值范围.【答案】(1)(2)【知识点】函数基本性质的综合应用、求二次函数的值域或最值、二次函数的图象分析与判断【分析】（1）根据题意，列出方程组，求得的值，得到函数的解析式，结合二次函数的性质，即可求解；（2）根据题意，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解.【详解】（1）解：因为，可得，解得，所以，可得图象的对称轴为直线，且开口向上，所以在上单调递增，又因为，所以在上的值域为.（2）解：当时，可得.因为在上恒成立，则满足，解得，所以实数的取值范围为.58．（23-24高一上·北京·期中）已知为上的奇函数，当时，．(1)求的值；(2)求的解析式．(3)写出解不等式的解集．【答案】(1)(2)(3)【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用、解分段函数不等式【分析】（1）利用奇函数的性质可求得的值；（2）设，则，利用奇函数的性质可得出函数在时的解析式，再由