第十二讲 相干照明衍射受限系统的成像分析课件

第十二讲相干照明衍射受限系统的成像分析第十二讲相干照明衍射受限系统的成像分析

第十二讲相干照明衍射受限系统的成像分析一透镜的孔径效应

输入面紧贴透镜的情况比较简单，可直接利用透镜孔径作为变换积分域进行计算。对于物在透镜后方，物面上被照明的区域是透镜的孔径沿会聚光锥在物面上的投影。透镜孔径的衍射效应可以用在物面上孔径投影的衍射效应做等效替代。被积函数增加一个因子：

物在透镜前时，用几何光学近似，也就是考虑物面与透镜之间的距离相对于透径直径而言不是很大的情况。这时光波从物到透镜之间的传播可看做直线传播，并忽略透镜的孔径衍射。这样的条件，在实用的绝大多数问题中都是能得到满足的。于是有

第十二讲相干照明衍射受限系统的成像分析课堂练习采用下图所示的光路对某一维物体作空间频谱分析，它所包含的最低空间频率为20周/mm，最高空间频率为200周/mm，照明光波长为0.6微米,若希望谱面上最低空间频率与最高空间频率之间间隔为50mm,透镜的焦距应取多大?第十二讲相干照明衍射受限系统的成像分析课堂练习解答第十二讲相干照明衍射受限系统的成像分析

成像系统的普遍模型

任意成像系统都可以分成三个部分：1、从物平面到入瞳平面为第一部分；2、从入瞳平面到出瞳平面为第二部分；3、从出瞳平面到像平面为第三部分。光波在一、三两部分空间的传播可按菲涅耳衍射处理。第二部分的透镜系统，在等晕条件下可当做一个“黑箱”来处理黑箱的两个边端分别是入瞳和出瞳，只要能够确定这黑箱的两个边端的性质，整个系统的性质便可确定，不必深究其内部结构。

第十二讲相干照明衍射受限系统的成像分析光学系统“黑箱”的边端性质

为了确定系统的脉冲响应，需要知道这个黑箱对点光源发出的球面波的变换作用，即当入瞳平面上输入发射球面波时，出瞳平面透射的波场特性。对于实际光组，这一边端性质千差万别，但总可以分成两类：衍射受限系统和有像差的系统

当像差很小或者系统的孔径和视场都不大，实际光学系统就可近似看做衍射受限系统。这时的边端性质就比较简单，物面上任一点源发出的发散球面波投射到入瞳上，被光组变换为出瞳上的会聚球面波。

有像差系统的边端条件是，点光源发出的发散球面波投射到入瞳上，出瞳处的透射波场明显偏离理想球面波，偏离程度由波像差决定。

阿贝认为衍射效应是由于有限的入瞳大小引起的，瑞利提出衍射效应来自有限大小的出瞳。由于一个光瞳只不过是另一个光瞳的几何像，这两种看法是等价的。衍射效应可以归结为入瞳或出瞳对于成像光波的限制，本书采用瑞利的说法。

第十二讲相干照明衍射受限系统的成像分析二相干照明衍射受限系统的成像分析

任何平面物场分布都可以看做是无数小面元的组合，而每个小面元都可看做一个加权的函数。对于一个透镜或一个成像系统，如果能清楚地了解物平面上任一小面元的光振动通过成像系统后，在像平面上所造成的光振动分布情况，通过线性叠加，原则上便能求得任何物面光场分布通过系统后所形成的像面光场分布，进而求得像面强度分布。这就是相干照明下的成像过程。这里关键是求出任意小面元的光振动所对应的像场分布。

第十二讲相干照明衍射受限系统的成像分析任意小面元的光振动所对应的像场分布

--点扩散函数

当该面元的光振动为单位脉冲即δ函数时，像场分布函数叫做点扩散函数或脉冲响应

通常用

表示物平面上点的单位脉冲通过成像系统后在像平面上点产生的光场分布首先研究在相干照明下，一个消像差的正薄透镜对透明物成实像的情况推导透镜点扩散函数的简图

第十二讲相干照明衍射受限系统的成像分析讨论方法物体放在透镜前距离为的输入平面上，在透镜后距离为的共轭面上观察成像情况。假定紧靠物体后的复振幅分布为，点处发出的单位脉冲为。沿光波传播方向，逐面计算三个特定平面上的场分布：紧靠透镜前的平面上的场分布紧靠透镜后的平面上的场分布观察平面上的场分布这样就可最终导出一个点源的输入输出关系。

第十二讲相干照明衍射受限系统的成像分析紧靠透镜前后的光场复振幅分布利用菲涅耳公式，紧靠透镜前的平面上的场分布为

省去撇号，略去常数相位因子，上式可写

此波面通过孔径函数为焦距为的透镜后，复振幅为

第十二讲相干照明衍射受限系统的成像分析单位脉冲引起的复振幅分布即点扩散函数

由透镜后表面到观察面，光场的传播满足菲涅耳衍射，于是物平面上的单位脉冲在观察面上引起的复振幅分布即点扩散函数可写作将的表达式代入并略去包括-1在内的常数相位因子得

利用物像平面的共轭关系满足高斯公式，得到

第十二讲相干照明衍射受限系统的成像分析点扩散函数的化简条件积分号前的相位因子

不影响最终探测的强度分布，可以略去与物面坐标有关的相位因子在求物面上各点对像面光场的贡献时，要参与积分，不可随意略去当透镜的孔径比较大时，物面上每一物点产生的脉冲响应是一个很小的像斑，能够对于像面上点光场产生有意义贡献的，必定是物面上以几何成像所对应的以物点为中心的微小区域。在这个区域内可近似地认为坐标值不变，其大小与点的共轭物坐标相同，即可作以下近似式中，是成像透镜的横向放大率第十二讲相干照明衍射受限系统的成像分析点扩散函数的最后形式

通过近似后的两个相位因子都不再依赖于物面坐标，因此不会影响像平面上的强度分布，全可以略去。这样一来，点扩散函数的形式成为

将横向放大率代入，则

式中，

，是物点对应的像点坐标第十二讲相干照明衍射受限系统的成像分析点扩散函数的物理意义（1）在近轴成像条件下，点扩散函数只与像面坐标差有关，这说明透镜成像系统是空不变的，即

因此，透镜的脉冲响应就等于透镜孔径的夫琅和费衍射图样，其中心位于理想像点处。透镜孔径的衍射作用明显与否，是由孔径线度相对于波长和像距的比例决定的，为此对孔径平面上的坐标做如下变换，令代入点扩散函数表达式得

第十二讲相干照明衍射受限系统的成像分析点扩散函数的物理意义（2）当孔径大小比

大得多时，在坐标中，在无限大的区域内的值均为1。这样一来

这时物点成像为一个像点，即几何光学理想像，因此几何光学是波动光学的极限情况，“无限大”孔径的情况第十二讲相干照明衍射受限系统的成像分析衍射受限系统的点扩散函数

透镜的点扩散函数，是一般光学系统的特殊情况，下面我们将其推广到衍射受限光学系统所谓衍射受限是指不考虑系统的几何像差，仅仅考虑系统的衍射限制如果忽略衍射效应的话，点物通过系统后形成一个理想的点像。一般的衍射受限系统可由若干共轴球面透镜组成，这些透镜既可以是正透镜，也可以是负透镜，而且透镜也不一定是薄的系统对光束大小的限制是由系统的孔径光阑决定的，也就是说在考察衍射受限系统时，实际上主要是考察孔径光阑的衍射作用。孔径光阑在物空间所成的像称为入射光瞳，简称入瞳；孔径光阑在像空间所成的像称为出射光瞳，简称出瞳。对整个光学系统而言，入瞳和出瞳保持物像共轭关系。由入射光瞳限制的物方光束必定能全部通过系统，成为被出射光瞳所限制的像方光束。下面我们为这样的系统建立一个普遍模型

第十二讲相干照明衍射受限系统的成像分析

成像系统的普遍模型

任意成像系统都可以分成三个部分：1、从物平面到入瞳平面为第一部分；2、从入瞳平面到出瞳平面为第二部分；3、从出瞳平面到像平面为第三部分。光波在一、三两部分空间的传播可按菲涅耳衍射处理。第二部分的透镜系统，在等晕条件下可当做一个“黑箱”来处理黑箱的两个边端分别是入瞳和出瞳，只要能够确定这黑箱的两个边端的性质，整个系统的性质便可确定，不必深究其内部结构。

第十二讲相干照明衍射受限系统的成像分析光学系统“黑箱”的边端性质

为了确定系统的脉冲响应，需要知道这个黑箱对点光源发出的球面波的变换作用，即当入瞳平面上输入发射球面波时，出瞳平面透射的波场特性。对于实际光组，这一边端性质千差万别，但总可以分成两类：衍射受限系统和有像差的系统

当像差很小或者系统的孔径和视场都不大，实际光学系统就可近似看做衍射受限系统。这时的边端性质就比较简单，物面上任一点源发出的发散球面波投射到入瞳上，被光组变换为出瞳上的会聚球面波。

有像差系统的边端条件是，点光源发出的发散球面波投射到入瞳上，出瞳处的透射波场明显偏离理想球面波，偏离程度由波像差决定。

阿贝认为衍射效应是由于有限的入瞳大小引起的，瑞利提出衍射效应来自有限大小的出瞳。由于一个光瞳只不过是另一个光瞳的几何像，这两种看法是等价的。衍射效应可以归结为入瞳或出瞳对于成像光波的限制，本书采用瑞利的说法。

第十二讲相干照明衍射受限系统的成像分析出射光瞳决定的点扩散函数

由物点发出的球面波，在像方得到的将是一个被出射光瞳所限制的球面波，这个球面波是以理想像点为中心的。由于出射光瞳的限制作用，在像平面上将产生以理想像点为中心的出瞳孔径的夫琅和费衍射花样

物面上点的单位脉冲通过衍射受限系统后在与物面共轭的像面上的复振幅分布，即点扩散函数为

式中，是与和无关的复常数；是出瞳函数（常称光瞳函数），在光瞳内其值为1，在光瞳外其值为零；是光瞳面到像面的距离，已不是通常意义下的像距。还要说明，在推导公式时，同样略去了关于和的二次相位因子

出瞳的夫琅和费衍射图样中心在几何光学的理想像点处

第十二讲相干照明衍射受限系统的成像分析衍射受限系统的点扩散函数的普遍表达式

同样对物平面上的坐标和光瞳平面上的坐标做坐标变换，令得到如果光瞳对于足够大时，坐标中，在无限大区域内光瞳函数都为1，点扩散函数变成

当可以忽略光瞳的衍射时，点的脉冲通过衍射受限系统后在像面上得到的仍然是点脉冲，这便是几何光学理想成像情况像点位于第十二讲相干照明衍射受限系统的成像分析相干照明下衍射受限系统的成像规律

一个确定的物分布总可以很方便地分解成无数函数的线性组合，而每个函数可按点扩散函数式求出其响应，因此成像规律不难得到然而，在像平面上将这些无数个脉冲响应合成的结果和物面照明情况有关物面上照明是相干的，则这无数个脉冲在像平面上的响应便是相干叠加本节先讨论相干照明情况，非相干照明情况留在下面去讨论像的复振幅分布可以按叠加积分公式表达为物的复振幅分布与脉冲响应函数的叠加积分

但是，在这个叠加积分出现了三组坐标，并不是严格意义上的卷积

第十二讲相干照明衍射受限系统的成像分析理想成像的像分布上述卷积积分中的三组坐标之间是有联系的，因此卷积积分可改写为实际上，这个坐标的转换意义是使物面上的坐标和像面上坐标归一化用理想成像的脉冲响应

代入卷积积分便可得到理想成像的像分布理想像的分布形式与物的分布形式是一样的，只是放大了M倍。第十二讲相干照明衍射受限系统的成像分析衍射受限成像系统的卷积积分

为将成像过程用标准的卷积形式表示，先将点扩散函数重新定义一下代入卷积积分就变成因此，物通过衍射受限系统后的像分布是的理想像和点扩散函数的卷积，这就表明，对于更普遍的情形，衍射受限成像系统仍可看成线性空不变系统

第十二讲相干照明衍射受限系统的成像分析点扩散函数与光瞳函数的关系对于经过坐标变换的点扩散函数有这说明点扩散函数是光瞳函数的傅里叶变换，由此可见光瞳函数对于衍射受限系统成像的重要性

由于是空不变的，可以用原点处的脉冲响应表示成像系统的特性，即

第十二讲相干照明衍射受限系统的成像分析小结本节的目的在于建立一个比较严格的理论基础，从而是光学传递函数的应用能够更加可靠而且更加易于推广，易于被广泛接受严格的理论涉及的主要有两个方面，一是由于积分内的变量必须的近似，二是由于物像坐标不同必须的坐标变换使用的研究方法是上一节给出的会聚光照明的菲涅耳衍射的结果就是孔径的傅里叶变换结果得到，物通过衍射受限系统后的像分布是的理想像和点扩散函数的卷积。这就表明，对于更普遍的情形，衍射受限成像系统仍可看成线性空不变系统对于相干光照明衍射受限系统来讲，点扩散函数是光瞳函数的傅里叶变换，由此可见光瞳函数对于衍射受限系统成像的重要性

第十二讲相干照明衍射受限系统的成像分析例题

一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为放在如图所示成像系统的物面上，用单色光倾斜照明，平面波传播方向在平面内，与Z轴夹角为。透镜焦距为，孔径为。（1）求物体透射光场的频谱；（2）使像平面出现条纹的最大角等于多少？求此时的像面强度分布。第十二讲相干照明衍射受限系统的成像分析解答

(1)单色倾斜照明光可以表示为物体透射光场则可以表示为物体透射光场的频谱为第十二讲相干照明衍射受限系统的成像分析解答续一

(2)求像面强度分布可以应用成像的卷积公式由于在本题光路中放大率为一，上式中几何像可表示为

点扩散函数则为式中光瞳函数的自变量实际上就是空间频率，或者说这里的光瞳函数已经是以空间频率为自变量的光瞳函数。归一化的点扩散函数是以空间频率为自变量的光瞳函数的傅氏变换。第十二讲相干照明衍射受限系统的成像分析解答续二

计算像面强度分布可以进一步应用卷积定理几何像的傅氏变换可用前面计算的物的频谱表示为

点扩散函数的频谱则为

第十二讲相干照明衍射受限系统的成像分析解答续三

几何像的傅氏变换是三个函数，其反变换都是平面波。点扩散函数的频谱就是光瞳函数，不是一就是零。要使像平面出现条纹时，频谱中至少要有两个函数能够与出瞳函数乘积不为零，变换成为平面波射到物面上相干涉形成条纹。出瞳在这里就是透镜框，因此要求与出瞳函数乘积不为零就要求另一个函数的位置比第一个离光瞳中心更远，只需要两个函数时就不用考虑了采用近轴光学近似时，角度的正弦等于其弧度值，上面两个不等式中左右两边分别要求第十二讲相干照明衍射受限系统的成像分析解答续四

在达到前面给出的最大值，即时，几何像的傅氏变换中的三项只剩下两项，这两个函数与光瞳函数的乘积还是函数，而且因为光瞳函数在光瞳范围内取值为一，两个函数前的系数也不变进一步作反变换可以得到像面上的光场分布为光强分布则为光场分布的模平方具体计算就不在这里写了。

第十二讲相干照明衍射受限系统的成像分析另一解法续五

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