陕西省“西中教育联合体”2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

2024-2025学年陕西省“西中教育联合体”高一年级第一学期期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.命题“每一个四边形的对角线都互相垂直”的否定是(

)A.每一个四边形的对角线都不互相垂直B.存在一个四边形，它的对角线不垂直C.所有对角线互相垂直的四边形是平行四边形D.存在一个四边形，它的对角线互相垂直2.已知集合，，若，则(

)A. B.0 C.1 D.23.设，，，则(

)A. B. C. D.4.已知关于x的一元二次不等式的解集为，其中a，b，c为常数，则不等式的解集是(

)A. B.C. D.5.已知实数，则函数的最小值为(

)A.5 B.6 C.7 D.86.函数的图象大致是(

)A. B.C. D.7.定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为(

)A. B. C. D.8.已知函数且，若函数的值域为R，则实数a的取值范围是(

)A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知集合，若，则实数a的值可以为(

)A.2 B.1 C. D.010.若，则下列命题正确的是(

)A.若，则 B.若，则C.若且，则 D.11.已知x，y都为正数，且，则(

)A.2xy的最大值为 B.的最小值为C.的最大值为 D.的最小值为12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数，，则下列说法正确的有(

)A.是偶函数 B.的值域是，C.是奇函数 D.在R上是增函数三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.求值：____________.14.函数且的图像必经过点____________.15.不等式对恒成立，则实数a的取值范围为____________.16.函数，，若，使成立，则a的取值范围是_____

.四、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.本小题14分解关于x的不等式；18.本小题14分已知集合，，，求，；若是的充分而不必要条件，求实数m的取值范围.19.本小题14分已知函数是定义在上的函数，恒成立，且确定函数的解析式；用定义证明在上是增函数；解不等式20.本小题14分某工厂某种航空产品的年固定成本为250万元，每生产x件，需另投入成本为，当年产量不足80件时，万元，当年产量不小于80件时，万元，每件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．写出年利润万元关于年产量件的函数解析式；年产量为多少件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？21.本小题14分设幂函数在单调递增.求的解析式;设不等式的解集为函数的定义域，记的最小值为，求的解析式.

答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】本题考查全称量词命题与存在量词命题的否定，属于基础题.根据全称量词命题的否定为存在量词命题，即可求出结果.【解答】解：因为全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题的否定为：存在一个四边形，它的对角线不垂直.故选2.【答案】A

【解析】解：，或，解得，，故选：根据可得出或，解出a，b的值，然后即可求出答案．本题考查集合相等的定义，集合元素的互异性，考查计算能力，属于基础题．3.【答案】A

【解析】【分析】本题考查指数函数的图象与性质比较大小，属于基础题由指数函数的单调性，可得答案．【解答】解：，在R上单调递增，，在R上单调递减，，故选4.【答案】A

【解析】【分析】本题考查一元二次不等式的解法，属于中档题．先根据关于x的一元二次不等式的解集为，得到，且和5是一元二次方程的两根，由根与系数关系可得到，，，代入不等式化简后可解得．【解答】解：因为关于x的一元二次不等式的解集为，所以，且和5是一元二次方程的两根，所以，解得，所以不等式可化为，即，解得，则不等式的解集是故选5.【答案】B

【解析】【分析】本题考查由基本不等式求最值或取值范围，属于基础题.配凑后，根据基本不等式即可求解.【解答】解：实数，，，当且仅当，即时等号成立，函数的最小值为故选：6.【答案】C

【解析】【分析】本题主要考查了函数的图象，属于基础题.根据函数的定义域、特殊值、函数的变换趋势求解即可.【解答】解：由函数解析式可得，该函数定义域为，故A错误；取，故B错误；当时，远远大于的值且都为正，故且大于0，故D错误，故选7.【答案】A

【解析】【分析】本题考查不等式求解，考查函数的单调性，属于中档题.构造函数，由题意得到在上单调递增，结合，可化为，再利用函数的单调性求解即可.【解答】解：令，因为对，且，都有成立，不妨设，则，故，则，即，所以在上单调递增，又因为，所以，故可化为，所以由的单调性可得，即不等式的解集为故选：8.【答案】B

【解析】【分析】本题考查利用指数函数的图象与性质求参，指数函数的定义域、值域，属于较难题.根据题意分类讨论a的范围，利用指数函图象与性质求解即可.【解答】解：根据题意，若，则单调递减，则函数的值域不能为R，显然不满足题意，所以，于是在上单调递增，而，对于的对称轴为，所以在上单调递增，要使函数的值域为R，则须满足：，解得，综上所述，实数a的取值范围是故选9.【答案】ABD

【解析】【分析】本题主要考查集合关系中的参数问题，属于中档题.由题意，得且，然后对B进行分类讨论即可.【解答】解：

，，当

时，

，显然

，符合题意；当

时，

，显然

，符合题意；当

且

时，

，要想

，只需

，综上所述：选项ABD满足，故选10.【答案】ACD

【解析】【分析】本题考查了不等式的基本性质、作差法、简易逻辑的判定方法，属于基础题．选项是不等式，可以利用不等式性质，结合特例逐项判断，得出正确结果．【解答】解：对于A，若，则，所以

，故A正确；对于B，若

，即，则，故B错误；对于C，结论等价于，即，成立，故C正确；对于D，结论等价于，成立，故D正确.11.【答案】ABD

【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式结合已知条件逐个分析判断.【解答】解：对于A，因为x，y都为正数，且，所以，当且仅当即，时取等号，所以2xy的最大值为，所以A正确；对于B，因为，所以，由选项A可知，所以，当且仅当，时取等号，所以的最小值为，所以B正确；对于C，因为，所以，当且仅当，即，时取等号，但x，y都为正数，故等号取不到，所以C错误；对于D，因为x，y都为正数，且，所以，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为，所以D正确，故选：12.【答案】BCD

【解析】【分析】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，属于较难题．根据题意，依次分析选项中说法是否正确，综合可得答案．【解答】解：根据题意，对于A，，，，则函数不是偶函数，A错误，对于B，，由，则，则有的值域是，，B正确，对于C，，其定义域为R，由，则，即函数为奇函数，C正确，对于D，，设，则，在R上是增函数，，在也是增函数，则在R上是增函数，D正确，故选：13.【答案】

【解析】【分析】本题考查指数幂的化简求值，属于基础题.利用指数幂的运算性质直接求即可.【解答】解：故答案为14.【答案】

【解析】【分析】本题考查了指数函数的性质，平移问题，属于基础题．根据函数，且的图象经过的定点坐标是，利用平移可得答案．【解答】解：函数，且的图象经过的定点坐标是，函数的图象经过向右平移2个单位，向上平移1个单位，函数且的图象经过，故答案为15.【答案】

【解析】【分析】本题考查不等式恒成立问题，属于基础题．分

和

两种情况讨论，当

时

，即可求出参数的取值范围.【解答】解：①当

时，

成立，②当

时，只需

，解得

，综上可得

，即实数

a

的取值范围为

.16.【答案】

【解析】【分析】本题主要考查函数值域以及由集合关系求参数范围，中档题.根据一次函数以及二次函数单调性分别求得两函数值域，再根据题意得出两值域的包含关系即可得出a的取值范围.【解答】解：由以及可得再由以及可得若，使成立，可得，即解得又，因此a的取值范围是答案为：

.17.【答案】解：，即，当，即时，原不等式的解集为当，即时，原不等式的解集为当，即时，原不等式的解集为；综上，当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为

【解析】本题考查了分类讨论思想以及一元二次不等式的解法和应用问题．属于中档题.把不等式化为，对与的大小关系分类讨论，即可得出不等式的解集．18.【答案】解：由，解得，，集合，或，或是的充分而不必要条件，故C真包含于，当时，有，即当时，有，即，综上所述，实数m的取值范围为

【解析】【分析】本题考查了集合的运算性质、分类讨论方法、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由，解得，可得B，，由集合，可得或，利用并集的运算性质可得：由Ⅰ知，，由是的充分不必要条件，可得：对C与的关系、对m分类讨论即可得出．19.【答案】解：因为函数，恒成立，所以恒成立，则，此时，满足题意，所以，解得，所以；证明：设任意的，且，则，，，则，且，则，即，所以函数在上是增函数;，，是定义在上的增函数，，得，所以不等式的解集为

【解析】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解析式，判断函数的单调性以及利用函数的单调性解不等式，是中档题.先由函数的奇偶性得到，然后由求解，即可得解；利用函数单调性定义证明；将，转化为，利用函数的单调性和定义域求解.20.【答案】解：因为每件商品售价为50万元，则x件商品销售额为50x万元，依题意得：当时，；当时，所以；当且时，，当时，万元；当且时，万元，当且仅当时取等号，则万元，因为，故当年产量为100件时，年获利