四川省遂宁市大英中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

大英中学创新部高2023级十月素质测评数学试卷一、单选题本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数，则z的虚部为（

）A． B． C． D．2．数列满足，若，，则（）A． B． C．1 D．23．以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为（

）A． B． C． D．4．已知空间三点，，，若向量PA与PB的夹角为60°，则实数（

）A．1 B．2 C． D．5．已知等差数列满足，则（

）A．2 B．4 C．6 D．86．已知椭圆的两个焦点为，为椭圆上一点，.若的内切圆面积为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．7．已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值范围是（

）A．B．C．D．8．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为A．16 B．14 C．12 D．10二、二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是3”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，D表示事件“至少出现一个奇数点”，则（

）A．与互斥B．与对立C．与独立 D．与独立10．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下面结论正确的是：（

）A．直线与曲线一定有交点B．曲线围成的图形的周长是C．曲线围成的图形的面积是D．曲线上的任意两点间的距离不超过211．在长方体中，，，动点在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（

）A．当为中点时，为锐角B．存在点，使得平面C．的最小值D．顶点到平面的最大距离为三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则C的离心率为.13．已知一组数据：的平均数为6，则该组数据的第40百分位数为.14．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为.四、解答题本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．（13分）已知等差数列中，，前项和为，为各项均为正数的等比数列，，且，.(1)求与；(2)定义新数列满足，，求前10项的和.16．（15分）在中，内角，，所对的边分别为，，，向量，，且.(1)求角的大小；(2)若，的外接圆直径为，求的周长.17．（15分）如图，圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦.(1)当时，求的长;(2)当时，写出所在的直线的方程.18．（17分）已知平面边形中，，，且.以为腰作等腰直角三角形，且，将沿直线折起，使得平面平面.(1)证明：平面；(2)若是线段上一点，且平面，①求三棱锥的体积；②求平面与平面夹角的余弦值.19．（17分）已知点在椭圆上，椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程；(2)若不过点的直线交椭圆于，两点，直线，的斜率分别为，且，①求证直线AB经过定点；②求面积的取值范围（为坐标原点）.大英中学创新部高2023级十月素质测评数学试卷参考答案：题号12345678910答案BCABBCAAACDAC题号11答案ABD6．【详解】根据勾股定理得到：，即；的内切圆面积为，故.根据等面积法得到：，故.故，即，解得或（舍去）.故选：7．【详解】解法一：直线整理可得，，即直线恒过，同理可得恒过，又，直线和互相垂直，两条直线的交点在以，为直径的圆上，即的轨迹方程为，（去掉，（这是因为不能表示直线，不能表示直线，）设该圆心为，则，则，由于垂直于直线，故M到的距离即为，而，即，而当时，点的坐标为，不符合题意。故的取值范围是，故选：A．解法二：联立两条直线的方程，解得交点的坐标为，∴，由，故得的取值范围是,故选：A．8．【详解】设，直线的方程为，联立方程，得，∴，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知，当且仅当（或）时，取等号.点睛:对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以.10．AC【详解】曲线可化为，当变换为，变换为时，方程不变，故曲线的对称轴为轴，轴，对称中心为原点.当时，即为，它表示一段半圆及原点，其中半圆的圆心为，半径为，故曲线如下图实线所示：对于A：可化为，令可得，故直线过定点，且在曲线内部，故动直线与曲线一定有交点，故A正确.对于B：如图，曲线由4段相同的半圆及原点构成，故曲线的弧长为，故B错误.对于C：曲线围成的区域由个半圆及一个正方形构成，故其面积，故C正确.对于D，取点，则均为上的点，而，故D错误.故选：AC11．【详解】解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设，则，则，故，则，，对于A，当为中点时，则，，则，，所以，所以为锐角，故A正确；当平面，因为平面，所以，则，解得，故存在点，使得平面，故B正确；对于C，当时，取得最小值，由B得，此时，则，，所以，即的最小值为，故C错误；对于D，，设平面的法向量，则有，可取，则点到平面的距离为，当时，点到平面的距离为0，当时，，当且仅当时，取等号，所以点到平面的最大距离为，故D正确.故选：ABD.14．【详解】由题意知，焦点，设存在定点，使得点在圆上运动时，均有，设，则，由，知，联立两式，消去可得，令，则，满足上式，所以，所以，当且仅当，三点共线时，等号成立，设，则，所以，当且仅当时，等号成立，所以，即的最小值为．故答案为：．15．（1）设数列的公差为，数列的公比为，则由可得，，解得：故（2）由（1）得，，，则16．（1）由，得，整理得，所以由余弦定理，得，因为，所以；（2）由（1）根据正弦定理，得，解得，由余弦定理，得，解得，所以的周长为.17．【详解】（1）当时，直线的斜率为，又直线过，所以直线的方程为，整理有；根据圆的方程为，得圆心，半径，设圆心到直线距离为，则，所以.（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，此时，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，此时直线方程为，整理有，圆心到直线的距离，因为，所以有，整理有，即，解得，所以直线的方程为，即；综上所述当时，写出所在的直线的方程为或.18．【详解】（1）因，，故,又，且，故在直角梯形中，，由可得；因平面平面，，平面平面，则平面，又平面，则，又，因平面，故平面.（2）

①如图，连接,设，连接,因平面，且平面,平面平面，则，故，在四边形中，由,可得,故，即，即点是线段上靠近点的三等分点，故②

如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则,所以，,,设平面的法