陕西省西安市蓝田县城关中学大学区联考2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题

高二数学阶段性学习效果测试（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上。3.考试结束后将本试卷与答题卡一并交回。第I卷（选择题）一．单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1.设，向量，，，且，，则()A． B． C．5 D．62.已知三棱锥中,点M,N分别为AB,OC的中点,且,,,则()A. B. C. D.3.如图,在底面为正方形的四棱锥中,已知平面ABCD,且．若点M为PD中点,则直线CM与PB所成角的大小为()A.60° B.45° C.30° D.90°4.设、圆O：x2+y2＝4，直线l：2x+y+5＝0，P为l上的动点．过点P作圆O的两条切线PA、PB，切点为A，B，则下列说法中不正确的是()A．直线l与圆O相交 B．直线AB恒过定点 C．当P的坐标为（﹣2，﹣1）时，∠APB最大 D．当|PO|⋅|AB|最小时，直线AB的方程为2x+y+4＝05.在直角坐标系xOy中，圆M的圆心在射线OM：上，圆M与x轴相切，与y轴相交于A，B两点，若，则圆M的方程为()A． B．C． D．6.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为33，过F2的直线lA.x23+y22=1 B.x7.记抛物线的焦点为为抛物线上一点，，直线与抛物线另一交点为，则()A． B． C．2 D．38.设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于()A．24 B． C． D．30二、多项选择题（共4小题，每题6分，共计24分。每题有一个或多个选项符合题意，每题全选对者得6分，选对但不全的得3分，错选或不答的得0分。）9.在直三棱柱中，、分别是的中点，D在线段上，则下面说法中正确的有()

A．平面B．直线与平面所成角的正弦值为C．若是的中点，若M是的中点，则到平面的距离是D．直线与直线所成角最小时，线段长为10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=CC1=2,E,F分别为AB,CD的中点,P是线段A1B1(不含端点)上的任意一点,则下列说法正确的是()A.存在点P,使直线PE与平面PDF所成的角取得最大值B.存在点P,使直线PD与平面PEB所成的角取得最大值C.存在点P,使平面PDE与平面PFB的夹角取得最大值D.存在点P,使平面PDF与平面PEB的夹角取得最大值11.如图,经过坐标原点O且互相垂直的两条直线AC和BD均与圆x2+y2-4x+2y-20=0相交,交点分别为A,C和B,D,弦AB的中点为M,则下列说法正确的是()A.线段BO的长度的最大值为10-25B.弦AC的长度的最小值为45C.点M的轨迹是一个圆D.连接四边形ABCD各边的中点,所得四边形的面积的最大值为4512.以下四个关于圆锥曲线的命题中，正确的是()A．设A，B为两个定点，k为非零常数，|PA―→B．曲线x24-t＋C．方程2x2－5x＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率D．双曲线x225－y29＝1与椭圆第II卷（非选择题）填空题（共5小题，每小题6分，共30分）13.已知向量a=(1,2,-1),b=(m,m2+3m-6,n),若向量a,b同向,则实数m,n分别等于.

14.如图，平行六面体各条棱长均为1，，，则线段的长度为_____________.写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程.

经过两点，的双曲线的标准方程为______．已知Q为抛物线C：上的动点，动点M满足到点的距离与到点F（F是C的焦点）的距离之比为则的最小值是.四、简答题（共4小题，共56分）18.（12分）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中是的中点，是的中点.（1）求证平面；（2）求平面与平面的夹角余弦值；19.（12分）如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段PB,QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别是AC和BD(C,D为垂足),测得|AB|=10,|AC|=6,|BD|=12(单位:百米).(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P,Q两点间的距离.20.（16分）已知椭圆：的焦距为2，点在椭圆C上，A、B分别为椭圆的左、右顶点.(1)求椭圆C的方程；(2)若点P是椭圆C上第二象限内的点，点Q在直线上，且，，求的面积.21.（16分）如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线于，两点.(1)求的值；(2)求证：OM⊥ON.高二数学参考答案1-5DDCAA6-8ABC9ACD10AC11BCD12BCD13.2,-214.15.x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=016.17.18.【答案】（1）取中点，连接，由是的中点，得，且，由是的中点，得，且，则有，四边形是平行四边形，于是，又平面平面，所以平面（2）四棱柱中，平面，，则直线两两垂直，以A为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，有，则有，设平面与平面的法向量分别为，则有，令，得，，令，得，因此.所以平面与平面的夹角余弦值为.19.【答案】解法一:(1)过A作AE⊥BD,垂足为E.由已知条件得,四边形ACDE为矩形,|DE|=|BE|=|AC|=6,|AE|=|CD|=8.因为PB⊥AB,所以cos∠PBD=sin∠ABE=810=4所以|PB|=|BD|cos∠因此道路PB的长为15百米.(2)不能.理由如下:①若P在D处,由(1)可得E在圆上,则线段BE上的点(除B,E)到点O的距离均小于圆O的半径,所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处,连接AD,由(1)知|AD|=|AE从而cos∠BAD=|AD|2+|AB|2-|所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此,Q选在D处也不满足规划要求.综上,P和Q均不能选在D处.(3)先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,|OF|≥|OB|,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,|P1B|=15,此时|P1D|=|P1B|sin∠P1BD=|P1B|cos∠EBA=15×35当∠OBP>90°时,在△PP1B中,|PB|>|P1B|=15.由上可知,d≥15.再讨论点Q的位置.由(2)知,要使得|QA|≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当|QA|=15时,|CQ|=|QA|2-|AC|2=152-62=321综上,当PB⊥AB,点Q位于点C的右侧,且|CQ|=321时,d最小,此时P,Q两点间的距离|PQ|=|PD|+|CD|+|CQ|=17+321.因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+321)百米.解法二:(1)如图,过O作OH⊥l,垂足为H.以O为坐标原点,直线OH为y轴,建立平面直角坐标系.因为|BD|=12,|AC|=6,所以|OH|=9,直线l的方程为y=9,点A,B的纵坐标分别为3,-3.因为AB为圆O的直径,|AB|=10,所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A(4,3),B(-4,-3),直线AB的斜率为34因为PB⊥AB,所以直线PB的斜率为-43,直线PB的方程为y=-43x-所以P(-13,9),|PB|=(-13+4)2因此道路PB的长为15百米.(2)不能.理由如下:①若P在D处,取线段BD上一点E(-4,0),则|EO|=4<5,所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处,连接AD,由(1)知D(-4,9),又A(4,3),所以线段AD:y=-34x+6(-4≤x≤在线段AD上取点M3,154,因为|OM|=32所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上,P和Q均不能选在D处.(3)先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,|OF|≥|OB|,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,|P1B|=15,此时P1(-13,9);当∠OBP>90°时,在△PP1B中,|PB|>|P1B|=15.由上可知,d≥15.再讨论点Q的位置.由(2)知,要使得|QA|≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当|QA|=15时,设Q(a,9),由|AQ|=(a-4)2+(9-3)2=15(a>4),得a=4+321,所以Q(4+321,9),此时,线段QA综上,当P(-13,9),Q(4+321,9)时,d最小,此时P,Q两点间的距离|PQ|=4+321-(-13)=17+321.因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+321)百米.20.【答案】（1）由椭圆C的焦距