陕西省榆林市定边县第四中学2024−2025学年高二上学期期中考试数学试卷含答案

陕西省榆林市定边县第四中学2024−2025学年高二上学期期中考试数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．直线的斜率为（

）A． B． C． D．2．已知向量，若，则（

）A． B．0 C．1 D．23．已知圆与圆，则与的位置关系为（

）A．内切 B．相交 C．外切 D．外离4．在长方体中，为棱的中点.若，则等于（

）A． B．C． D．5．两平行直线与之间的距离为（）A． B． C． D．6．已知曲线，过上任意一点向轴引垂线，垂足为，则线段的中点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．7．过作与圆相切的两条直线，切点分别为，且，则（

）A．3 B．2 C．1 D．08．如图，圆柱的母线长和底面直径相等，分别是下底面圆和上底面圆的直径，且，则异面直线与所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知椭圆的两个焦点分别为，，P是C上任意一点，则（

）A．长轴长为6 B．两个焦点的坐标分别为，C．的最大值是5 D．的周长为1210．设，直线的方程为，则（

）A．直线过定点B．若直线在轴上的截距为-2，则在轴上的截距为-23C．直线与圆相交D．点到直线的最大距离为11．在四面体ABCD中，，，，若四面体的体积为，则（

）A．二面角的大小可能为B．二面角的大小可能为C．AC的长可能为2D．AC的长可能为三、填空题（本大题共3小题）12．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若α//β，则.13．若圆上恰有2个点到直线的距离等于1，则的取值范围是.14．设，分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，过点且倾斜角为60°的直线与椭圆交于，两点，若，则椭圆四、解答题（本大题共5小题）15．已知直线经过点，直线的方程为.(1)若，求直线的方程；(2)若，求直线的方程.16．已知三点，记的外接圆为.(1)求的方程；(2)若直线与交于两点，求的面积.17．如图，在四棱锥中，，，点为棱上一点.

(1)证明：；(2)当点为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值.18．已知椭圆经过点A-2,0与点.(1)求椭圆的方程；(2)若直线与椭圆交于异于的，两点，且.①证明：直线过定点；②求的面积的最大值.19．在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中．(1)求经过的直线的点方向式方程；(2)已知平面，平面，平面，若，证明：；(3)已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面的夹角大小．

参考答案1．【答案】A【详解】直线可化为，所以直线的斜率.故选：A.2．【答案】B【详解】因为，所以，解得.故选：B.3．【答案】D【详解】易知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，所以，所以与外离.故选：D.4．【答案】A【详解】因为长方体中，为棱的中点，所以，故选：A.5．【答案】C【详解】由题意知，所以，则化为，所以两平行直线与之间的距离为．故选：C．6．【答案】D【详解】设，，，则，由题意可知，即，将点代入，得，即故选：D.7．【答案】A【详解】

圆化为标准方程，则圆心，半径，由题意知，解得，负值舍去，在中，，且，所以，解得故选：A8．【答案】A【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，在底面圆中，过点且垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，所以，设异面直线与所成的角为，则.故选：A9．【答案】AC【详解】椭圆化为，于是，，所以长轴长为，A正确；由方程可知，椭圆C的两个焦点在y轴上，又，所以两个焦点的坐标分别为，，B错误;由椭圆的性质知的最大值为，C正确;根据椭圆的定义知的周长，D错误.故选：AC.10．【答案】BCD【详解】解：对于A项，直线的方程为化为，由解得所以直线恒过定点，A错误；对于B项，当直线在x轴上的截距为-2时，令，则，解得，此时直线l的方程为，则在轴上的截距为-23，B正确；对于C项，由A项可知直线过点，因为，所以点在圆的内部，故直线与圆相交，C正确；对于D项，当点与点的连线与垂直时，点到直线的距离最大，且该最大距离为，D正确.故选：BCD.11．【答案】BCD【详解】过作面于，连接，因为面所以，又，面所以面，则为二面角平面角或其补角，又，其中h为点C到平面ABD的距离，所以，所以，即二面角的大小为（如图1）或（如图2），故A错误，B正确；因为，，所以．当时，；当时，，故C，D均正确．故选:BCD．12．【答案】/【详解】因为α//β，所以，则存在实数，使，即，解得，所以故答案为：13．【答案】【详解】，圆心为，半径，圆心到直线的距离为.恰有2个点到直线的距离等于1，则，即，解得.故答案为：14．【答案】【详解】由题意，直线过且斜率为，所以直线为：，与椭圆：联立消去，得，设，则，因为，所以，可得，代入上式得，消去并化简整理得：，将代入化简得：，解得，因此，该双曲线的离心率.故答案为：.15．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，直线的方程为，可设直线的方程为，将点带入方程，得，解得，所以直线的方程为.（2）因为，直线的方程为，可设直线的方程为，将点代入方程，得，解得，所以直线的方程为.16．【答案】(1)(2)【详解】（1）设的一般方程为，由题意可知，解得，所以，故的标准方程为.（2）由（1）可知，，半径.则圆心到直线的距离为，所以，故的面积为..17．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为，所以，所以，又，且平面，所以平面，又平面，所以.（2）因为，所以，则.由（1）可知两两垂直，以为原点，以所在直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系.

则，当点为棱的中点时，.设平面的一个法向量，则即令，解得，故，设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为.18．【答案】(1)(2)①证明见解析；②【详解】（1）设椭圆为，因为椭圆经过点A-2,0与点，所以，解得，所以椭圆的方程为.（2）①由（1）知，椭圆的方程为，设，不妨令在轴上方，则，假设直线斜率不存在，设直线方程为，联立方程，可得，所以解得或（舍去），所以直线方程为；假设斜率存在，设直线方程为，联立方程，得，所以，，由，可得，解得或，所以直线方程为或，所以直线恒过或（舍去），综上，直线恒过定点.②由上述可知，当直线斜率不存在时，，设定点为点，则，所以；当直线斜率存在时，，则设方程为，联立得，则，，所以，设，则，所以，由函数在上单调递增知，所以，当且仅当，即时取等，故的面积的最大值为.

19．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【详解】（1）由得，直线的方向向量为，故直线的点方向式方程为．（2）由平面可知，平面的法向量为，由平面可知，平面的法向量为，设交线