上海大学附属中学2024−2025学年高二上学期期中考试数学试卷含答案

上海大学附属中学2024−2025学年高二上学期期中考试数学试卷一、填空题（本大题共12小题）1．空间内，两异面直线所成角的取值范围是.（用区间表示）2．焦点在轴上，焦距为，且经过点的椭圆的标准方程为.3．已知球的表面积是，则该球的体积为.4．已知直线与直线，则它们之间的距离为5．已知直线经过点，倾斜角为，则该直线的方程为6．若方程表示圆，则实数的取值范围为.7．下来命题中，真命题的编号为．（1）若直线与平面斜交，则内不存在与垂直的直线；（2）若直线平面，则内不存在与不垂直的直线；（3）若直线与平面斜交，则内不存在与平行的直线；（4）若直线平面，则内不存在与不平行的直线．8．若圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则它的侧面展开图的圆心角为．9．已知正四棱锥的底面边长为6，斜高为则该正四棱锥的体积为.10．在棱长为的正方体中，是棱的中点，则平面截该正方体所得截面面积为．11．如下图所示，矩形中，，，沿将折起，使得点C在平面上的射影落在上，则直线与平面所成的角为．

12．已知空间中有2个相异的点，现每增加一个点使得其与原有的点连接成尽可能多的等边三角形.例如，空间中3个点最多可连接成1个等边三角形，空间中4个点最多可连接成4个等边三角形.当增加到8个点时，空间中这8个点最多可连接成个等边三角形.二、单选题（本大题共4小题）13．圆与圆的位置关系是（）A．内含 B．内切 C．外离 D．相交14．已知m，n是空间中两条不同的直线，平面α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则15．如图，在棱长为2的正方体.中，点P在截面上（含边界），则线段AP的最小值等于（）A．23 B． C．2 D．16．已知动点在椭圆上，，，则的最小值为（

）A．5 B． C．2 D．1三、解答题（本大题共5小题）17．已知正方体的棱长为2，，分别为AB，的中点，求异面直线与所成角.

18．如图，梯形ABCD满足AB//CD，，现将梯形ABCD绕AB所在直线旋转一周，所得几何体记叙(1)求的体积V(2)求的表面积S

19．如图，四棱锥的底面是的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面底面(1)证明平面PAB⊥平面PBC;(2)求平面PCD与平面ABCD所成锐二面角的大小.20．如图1，某十字路口的花圃中央有一个底面半径为2的圆柱形花柱，四周斑马线的内侧连线构成边长为20的正方形.因工程需要，测量员将使用仪器沿斑马线的内侧进行测量，其中仪器P的移动速度为1.5，仪器的移动速度为1.若仪器Р与仪器Q的对视光线被花柱阻挡，则称仪器Q在仪器P的“盲区”中.(1)如图2，斑马线的内侧连线构成正方形ABCD，仪器Р在点A处，仪器Q在BC上距离C点4处，试判断仪器Q是否在仪器P的“盲区”中，并说明理由；(2)如图3，斑马线的内侧连线构成正方形ABCD，仪器P从点A出发向点D移动，同时仪器Q从点C出发向点B移动，在这个移动过程中，仪器Q在仪器Р的“盲区”中的时长为多少？21．已知椭圆，分别为椭圆的左、右顶点，分别为左、右焦点，直线交椭圆于两点（不过点）.(1)若为椭圆上（除外）任意一点，求直线和的斜率之积；(2)若，求直线的方程；(3)若直线与直线的斜率分别是，且，求证：直线过定点.

参考答案1．【答案】【详解】由异面直线所成角的定义知，两异面直线所成角的取值范围是.故答案为：2．【答案】【详解】由焦点在轴上，设椭圆的标准方程为，由焦距为可得，解得；又椭圆经过点，故，所以，所以椭圆的标准方程为.故答案为：.3．【答案】【解析】设球的半径为r，代入表面积公式，可解得，代入体积公式，即可得答案.【详解】设球的半径为r，则表面积，解得，所以体积，故答案为：4．【答案】55/【详解】因为，所以两直线之间的距离为：.故答案为：5．【答案】【详解】由于倾斜角为，故斜率为，故直线方程为，故答案为：6．【答案】【分析】根据圆的一般方程条件，计算即可得到答案.【详解】根据题意，方程表示圆，则，解得.所以实数的取值范围为.故答案为：.7．【答案】（2）（3）【详解】对于（1），如图，在长方体中，直线与平面斜交，，故假命题；对于（2），若直线平面，则直线与平面内的任意一条直线都垂直，所以内不存在与不垂直的直线，故为真命题；对于（3），若直线与平面斜交，则内不存在与平行的直线，否则根据线面平行的判定定理可知与平面平行，这与已知条件相矛盾，故为真命题；对于（4），如图，直线平面，，与不平行，是异面直线，故为假命题，故答案为：（2）（3）．8．【答案】【详解】由题意，设圆锥底面圆的半径为，扇形的圆心角为，则扇形的半径cm，cm，由圆锥底面圆的周长等于圆锥侧面展开图的扇形的弧长得，所以，即侧面展开图的圆心角为.故答案为：9．【答案】【详解】设正四棱锥的高为，则.所以正四棱锥的体积为：.故答案为：10．【答案】【详解】如图，在正方体中，平面平面，平面平面，平面平面，,同理可证，四边形是平行四边形，，，又，，，，则为的中点，，同理截面是边长为的菱形，其对角线，，截面面积．故答案为：.11．【答案】45°【详解】解法一：如图2，作于E，由题意，平面，∴，作于O，连接，则平面，∴，从而在图1中，C、O、E三点共线，在图1中，，，，∴，而，∴，那么在图2中也有，从而，故，即直线与平面所成的角为45°．解法二：如图2，作于E，由题意，平面，故即为与平面所成的角，由三余弦公式，，∴，故，从而，∴直线与平面所成的角为45°．

12．【答案】20.【详解】空间中4个点最多可连接成4个等边三角形，构成正四面体，正四面体的每一个面向外作一个正四面体，此时是增加一个点，增加正三角形3个，新增加的4个点，又构成1个正四面体，所以当增加到8个点时，空间中这8个点最多可连接成个等边三角形.故答案为：20.13．【答案】D【详解】圆，则圆心，半径，圆，则圆心，半径，则，由于，即，故圆与圆的位置关系为相交．故选：D．14．【答案】C【详解】若，则满足，推不出，故A错误；若，可能，推不出，故B错误；由，必有，所以由可得，由可得，又，所以，故C正确；若不相交时，满足，不能推出，故D错误.故选：C15．【答案】B【详解】设到平面的距离为，，，解得，所以线段的最小值等于.故选：B16．【答案】D【详解】，为一个焦点，设另一焦点为，且，因为，所以在椭圆外部，所以，即求的最小值，由于，当三点共线时取到最小值，此时，，所以的最小值为1.故选：D17．【答案】【详解】取中点，连接，，，

因为是中点，所以且，所以四边形为平行四边形，故，所以异面直线与所成角即为直线与所成角，为.由题意知，，故在△中，由余弦定理得，所以异面直线与所成角为.18．【答案】(1)(2)【详解】试题分析：（1）旋转体为一个圆锥与一个圆柱，根据圆柱与圆锥体积公式求体积，最后求和得的体积V（2）表面积为圆锥侧面积与圆柱侧面积以及一个底面圆的面积之和，代入对应公式可得结果试题解析：19．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）在矩形中，，平面，又平面平面，平面平面，平面，平面，平面平面.（2）取中点，CD中点F，连接,是等边三角形，，又，平面，所以平面，因为，所以平面，平面，所以,为平面与平面所成角的平面角，又，在中，，所以.20．【答案】(1)仪器在仪器的“盲区”中，理由见解析；(2)【详解】（1）建立如图1所示的平面直角坐标系，则所以，所以直线的方程是，即，故圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，故仪器在仪器的“盲区”中；（2）建立如图2所示的平面直角坐标系，则，依题意知起始时刻仪器在仪器的“盲区”中，假设仪器在仪器的“盲区”中的时长为，则，所以直线的斜率，故直线的方程是，即，故圆心到直线的距离，整理得，解得，结合时间，得，所以仪器在仪器的“盲区”中的时长为；21．【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）设点，直接计算，结合点在椭圆上化简即得；（2）设，由向量线性运算的坐标表示得出，再利用在椭圆上，可求出（或）的坐标，然后可得直线方程；（3）设，易知直线的斜率不为，设其方程为（），直线方程椭圆方程整理后应用韦达定理得，把它代入可求得的确定值，从而得定点坐标．【详解】（1）在椭圆中，左、右顶点分别为，设点，则.（2）设，由已知可得，，由得，化简得代入可得，联立解得由得直线过点，，所以，所求直线方程为.（