新疆维吾尔自治区2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题含答案

2024—2025学年度上学期期中考试高二数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】关于平面对称的点的特点是横坐标与竖坐标不变，纵坐标相反，计算即可得.关于平面对称的点的特点是横坐标与竖坐标不变，纵坐标相反，故点关于平面对称的点的坐标是.故选：A.2.已知，，，若四点共面，则（）A. B.6 C. D.3【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用共面向量定理列式计算即得.向量，，，而四点共面，则存在有序实数对使得，即，则，解得，所以.故选：A3.若圆与圆恰有三条公切线，则（）A. B.9 C.19 D.21【答案】B【解析】【分析】根据给定条件可得圆与圆外切，进而求出.圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，由圆与圆恰有三条公切线，得圆与圆外切，则，即，所以.故选：B4.如图，空间四边形中，，，，且，，则=（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由向量线性关系和四边形法则即可求得答案.∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴.故选：D5.椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（）A.30° B.60° C.90° D.120°【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义，判断焦点三角形形状即可得解.椭圆的长半轴长，短半轴长，则半焦距，在中，，，则，于是，所以.故选：C6.若两平行直线与之间的距离是，则m+n＝（）A.0 B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】由两直线平行性质可得，再由平行线间的距离公式可得，即可得解.由直线与平行可得即，则直线与的距离为，所以，解得或（舍去），所以.故选：A.【点睛】本题考查了直线位置关系的应用及平行线间距离公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.7.过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，它们之间的夹角为（）A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用对称的性质及圆的切线长定理，借助直角三角形边角关系求出夹角大小.圆的圆心，半径，由直线关于对称，得直线是直线相交所成的一组对顶角的平分线，令直线的交点为，则直线是直线相交所成的另一组对顶角的平分线，因此垂直于直线，令直线与圆相切的切点分别这，，而，则，于是，所以直线的夹角.故选：C8.已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方.若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率为A.4 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】如图，设的中点，连接，，因为是圆的直径，所以，并且是的中点，所以是等腰三角形，因为，所以求解.，设的中点，右焦点，因为是圆的直径，所以，，又因为点是的中点，,，,中，，,则直线的斜率是,故选B.【点睛】本题考查椭圆方程和椭圆的几何性质，意在考查数形结合分析，解决问题的能力，本题的关键是根据条件判断出，问题迎刃而解.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，错选不得分，少选得部分分.共18分.9.下列说法正确的是（）A直线必过定点B.直线在轴上的截距为C.直线的倾斜角为60°D.过点且垂直于直线的直线方程为【答案】ABD【解析】【分析】将方程化为点斜式，即可判断A；令，得出在轴上的截距，进而判断B；将一般式方程化为斜截式，得出斜率，进而得出倾斜角，从而判断C；由两直线垂直得出斜率，最后由点斜式得出方程，进而判断D.可化为，则直线必过定点，故A正确；令，则，即直线在轴上的截距为，故B正确；可化为，则该直线的斜率为，即倾斜角为，故C错误；设过点且垂直于直线的直线的斜率为因为直线的斜率为，所以，解得则过点且垂直于直线的直线的方程为，即，故D正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查了求直线过定点，求直线的倾斜角，由两直线垂直求直线方程，属于中档题.10.已知椭圆的焦点分别为，设直线与椭圆交于两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（）A.B.椭圆的离心率为C.直线的方程为D.的周长为【答案】AC【解析】【分析】根据椭圆方程和焦点坐标可求出判断A；求出离心率公式判断B；利用点差法求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程判断C；由点与直线的关系判断D.对于A，椭圆的焦点为，则，得，A正确；对于B，椭圆长半轴长，则离心率为，B错误；对于C，设，则，，两式相减得，即，由为线段MN的中点，得，，则，直线的斜率，的方程为，即，经检验符合题意，C正确；对于D，直线过点，即点共线，D错误.故选：AC11.如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将△ABD沿对角线BD翻折到△PBD位置，连结PC，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）A.PC与平面BCD所成的最大角为45°B.存在某个位置，使得PB⊥CDC.当二面角P﹣BD﹣C的大小为90°时，PCD.存在某个位置，使得B到平面PDC的距离为【答案】BC【解析】【分析】A，取BD的中点O，连接OP、OC，则OP＝OC．可得PC与平面BCD所成的角为∠PCO，当PC时∠PCO＝60°＞45°，即可判断；B，当点P在平面BCD内的投影为△BCD的重心点Q时，可得PB⊂平面PBQPB⊥CD，即可判断；C，当二面角P﹣BD﹣C的大小为90°时，平面PBD⊥平面BCD，即可得△POC为等腰直角三角形，即可判断；D，若B到平面PDC的距离为，则有DB平面PCD，即DB⊥CD，与△BCD是等边三角形矛盾．解：选项A，取BD的中点O，连接OP、OC，则OP＝OC．由题可知，△ABD和△BCD均为等边三角形，由对称性可知，在翻折的过程中，PC与平面BCD所成的角为∠PCO，当PC时，△OPC为等边三角形，此时∠PCO＝60°＞45°，即选项A错误；选项B，当点P在平面BCD内的投影为△BCD的重心点Q时，有PQ⊥平面BCD，BQ⊥CD，∴PQ⊥CD，又BQ∩PQ＝Q，BQ、PQ⊂平面PBQ，∴CD⊥平面PBQ，∵PB⊂平面PBQ，∴PB⊥CD，即选项B正确；选项C，当二面角P﹣BD﹣C的大小为90°时，平面PBD⊥平面BCD，∵PB＝PD，∴OP⊥BD，∵平面PBD∩平面BCD＝BD，∴OP⊥平面BCD，∴OP⊥OC，又OP＝OC，∴△POC为等腰直角三角形，∴PCOP，即选项C正确；选项D，∵点B到PD的距离为，点B到CD的距离为，∴若B到平面PDC的距离为，则平面PBD⊥平面PCD．平面CBD⊥平面PCD，则有DB⊥平面PCD，即DB⊥CD，与△BCD是等边三角形矛盾．故选：BC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知椭圆的焦点在x轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则________．【答案】4【解析】【分析】先将椭圆方程化为标准方程，然后求出长轴长和短轴长，再根据题意列方程可求得结果.将椭圆方程化为标准形式为，所以长轴长为2，短轴长为，由题意得，解得．故答案为：413.圆的圆心为，且与直线相切，则圆的标准方程为_______．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用点到直线距离公式求出半径即可.依题意，圆的半径为点到直线的距离，所以圆的标准方程为.故答案为：14.如图，棱长为3的正方体的顶点在平面上，三条棱都在平面的同侧，若顶点到平面的距离分别为，，则顶点到平面的距离是______.【答案】【解析】【分析】求点到平面的距离，建立空间直角坐标系，由顶点到平面的距离分别为，，利用空间点到平面距离公式，求出平面的法向量，即可求出结论.如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则点到平面距离为，①点到平面距离为，②由①②可得，所以到平面的距离为.故答案为:.【点睛】本题考查点到平面的距离，利用空间直角坐标系解题时，正确建立空间坐标系是关键，属于较难题.四、解答题：本题共5小题，其中15题13分，16和17题各15分，18和19各17分，共77分．15.如图，，坐标原点是的中点，点的坐标为，点在平面上，且，．（1）求向量的坐标；（2）求与的夹角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）过点作于点，根据题意求出点的坐标，从而能求的坐标；（2）求出的坐标，根据公式计算即可求解.【小问1详解】过点作于点，则，，所以，因为，是的中点，所以，所以.【小问2详解】，所以，，所以，，所以，则与的夹角的余弦值为.16.已知椭圆.（1）求椭圆的离心率；（2）若，斜率为的直线与椭圆交于、两点，且，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将椭圆的方程化为标准方程，得出长半轴长与短半轴长，即可得出椭圆的离心率的值；（2）设直线的方程为，设点Ax1,y1、Bx2,y2，将的值代入得出椭圆的方程，将直线的方程与椭圆联立，消去，列出韦达定理，利用弦长公式结合条件可求出，利用点到直线的距离公式计算出原点到直线的距离，然后利用三角形的面积公式可得出的面积.【小问1详解】椭圆C:x2椭圆长半轴长为，短半轴长为，；【小问2详解】设斜率为的直线的方程为，且Ax1,y，椭圆的方程为，由，消去得，Δ=16m2有，，，解得：，即，直线的方程为.故到直线的距离，.17.已知圆C：关于直线对称，圆心C在第四象限，半径为1.（1）求圆C的标准方程；（2）是否存在直线与圆C相切，且在轴，轴上的截距相等？若存在，求出该直线的方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在，或.【解析】【分析】（1）根据圆的一般方程用参数表示出圆心和半径，结合圆心坐标满足直线方程和半径为1，即可列出方程，求得结果；（2）讨论直线斜率是否存在，以及直线是否经过原点，根据直线与圆的位置关系，即可求得直线方程.（1）将圆C化为标准方程，得∴圆心C（），半径由已知得或又C在第四象限，∴∴圆C的标准方程为（2）当直线过原点时，l斜率存在，则设，则此时直线方程为；当直线不过原点时，设，则解得，此时直线方程为：或综上，所求直线的方程为：或【点睛】本题考查圆方程的求解，以及由直线与圆的位置关系求直线的方程，属综合基础题.18.如图，已知梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值；（3）若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由四边形为矩形，可得，由面面垂直的性质可得平面．取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，证明，再由线面平行的判定可得平面；（2）求出平面的法向量，求出，可得，则平面与平面所成二面角的正弦值可求；（3）点在线段上，设，，，可得，，，由直线与平面所成角的正弦值列式求得，得到，，，则的长可求．（1）证明：四边形为矩形，，又平面平面，平面平面，平面．取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则，0，，，2，，，2，，，0，，，2，，设平面的法向量，，，由，取，得，又，，则，又平面，平面；（2）解：设平面的法向量，，，由，取，可得，，，即平面与平面所成二面角的正弦值为；（3）解：点在线段上，设，，，，0，，2，，，，又平面的法向量，设直线与平面所成角为，，，即，，，．，，，则，的长为．【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．19.已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线不经过点且与相交于两点，若直线与直线的斜率和为，求证：过定点．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，判断椭圆所过的三点，列出关于a，b的方程求解即得.（2）按直线l的斜率存在与不存在设出方程，再与椭圆C的方程联立，借助韦达定理计算作答.【小问1详解】由两点关于轴对称，得椭圆必过两点，此时，因此椭圆不经过点，即点在上，因此，解得，所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】当直线l的斜率不存在时，设其方程为，由椭圆对称性知，直线l与C的两