广东省惠州市惠城区惠州中学2024−2025学年高二上学期11月期中数学试题含答案

广东省惠州市惠城区惠州中学2024−2025学年高二上学期11月期中数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，，则下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．2．复数，则的虚部是（）A． B． C． D．3．已知函数f(x)＝则f(1)－f(3)等于（

）A．－7 B．－2 C．7 D．274．若，则（）A． B． C．-1 D．±15．已知空间向量，且，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．6．设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（

）A．或 B．或 C． D．7．方程表示的曲线是（）A．—个圆 B．两个圆C．一个半圆 D．两个半圆8．已知实数x，y满足，则的最大值为（

）A． B． C．1 D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知向量，，，则（

）A． B． C． D．向量，，共面10．已知直线：，下列说法正确的（

）A．直线过定点B．当时，关于轴的对称直线为C．点到直线的最大距离为D．直线一定经过第四象限11．已知圆M：x2+y-22=1，点P为x轴上一个动点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，A．四边形PAMB周长的最小值为2+23 B．AC．若P1,0，则△PAB的面积为85 D．若Q三、填空题（本大题共3小题）12．已知圆M经过点，，，则圆M的标准方程为．13．已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为．14．在平面直角坐标系中，定义为两点，之间的“折线距离”.则坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值是；圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值是.四、解答题（本大题共5小题）15．为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、爱国的热情，我校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的生日”党史知识竞赛，并将名师生的竞赛成绩（满分分）整理成如图所示的频率直方图．(1)求频率直方图中的值以及师生竞赛成绩的中位数(2)从竞赛成绩在80,90，90,100的师生中，采用分层抽样的方法抽取人，再从抽取的人中随机抽取人，求人的成绩来自同一区间的概率．16．已知平行六面体，，，，，设，，；(1)试用表示；(2)求的长度；(3)求直线与所成角的余弦值．17．已知函数,(1)求的最小正周期;(2)在中,三个角所对的边分别为,若,,,求的面积.18．已知点和直线点是点关于直线的对称点．(1)求点的坐标；(2)为坐标原点，且点满足，求点的轨迹方程；(3)若（2）中点的轨迹与直线有公共点，求的取值范围．19．在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示．(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为,若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．

参考答案1．【答案】C【详解】试题分析：由得，故，选项为C.考点：集合间的关系.2．【答案】C【分析】本题可根据虚部的定义得出结果.【详解】因为复数，所以的虚部是，故选：C.3．【答案】C【详解】依题意，，所以，选C.4．【答案】C【分析】首先对进行化简整理，得到，将条件代入，求得结果.【详解】=cosα+sinα=.故选：C.【点睛】该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有两角差的余弦公式，属于基础题目.5．【答案】B【详解】由题意可知在上的投影向量为，故选：B.6．【答案】B【详解】依题意，直线的斜率分别为，如图所示：若直线过点且与线段相交，则的斜率满足或，即的斜率的取值范围是或.故选：B7．【答案】D【分析】方程可化为，去绝对值分，两种情况解决即可.【详解】方程可化为，因为，所以或，若时，则方程为；若时，则方程为，故选：D8．【答案】B【详解】如图所示：设Px,y为圆上的任意一点，则点P到直线的距离为，点P到原点的距离为，所以，设圆与直线相切则圆心到直线的距离：，解得，所以的最小值为，最大值为，所以，即故的最大值为，故选：B9．【答案】ABD【分析】空间向量模的坐标计算可以验证选项A，向量坐标减法运算验证选项B，两向量数量积为0验证选项C，利用向量共面条件验证选项D.【详解】因为，所以，，所以A正确；，故B正确；，故C不正确；由，所以，故选项D正确.故选：ABD.10．【答案】BC【详解】解：对于A，由直线：可化简为，联立方程组，解得，所以直线过定点-1,1，故A项错误；对于B，当k=1时，直线的方程为，在直线上取两点，则点关于轴对称的点，点B-2,0关于轴对称的点，所以关于轴对称直线为，即，所以B正确；对于C，因为直线经过定点，所以当直线时，点到直线的距离最大，最大距离为，故C项正确；对于D，当k=1时，直线：经过一、二、三象限，不经过第四象限，故D项错误．故选：BC．11．【答案】ACD【详解】如图所示，对于选项A，四边形PAMB的周长为2+B∵BP=AP，∴四边形PAMB的周长为2+2AP，设M则AP=t2-1则当t取最小值2时，四边形PAMB的周长最小，为23+2对于选项B，∵圆M：x2+y-22=1对于选项C，∵P1,0，∴MP=5，求得BC=25，AB=45，PC=对于选项D，当点P与原点重合时，MP=2，则PB=3，则则CQ=94+1516=514则切点弦AB的方程为mx-2y+3=0直线MP的方程为y=-2mx消去m，得动点C的轨迹方程为x2+又∵Q154,0，∴C故选：ACD．12．【答案】【分析】设圆M的一般式方程为：，将点代入即可求解.【详解】解：设圆M的一般式方程为：，因为圆M经过点，，，所以，解得，得圆M的一般式方程为：，故圆M的标准方程为：.故答案为：13．【答案】【详解】，故，，设直线与直线所成的角为，则，故，点到直线的距离为.故答案为：．14．【答案】【详解】设直线上的一点为，则；当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时；当时，取得最小值，即坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值为；设圆上点，直线上的一点为，则；，，则恒成立；当时，，（其中，），则当时，“折线距离”取得最小值；当时，，（其中，），则当时，“折线距离”取得最小值；当时，，则，同上可知：此时“折线距离”最小值为；综上所述：圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值为.故答案为：；.15．【答案】(1)，(2)【详解】（1）解：根据频率分布直方图性质可得：，所以，因为共五组，前四组的频率和且最后一组的频率，设中位数为，则，，根据中位数的定义，可得，所以；（2）因为第四组与第五组的频率之比为，故按照分层抽样第四组抽取人数为人，记为，，，；第五组抽取人数为人，记为，，从人中选出人，共有，，，，，，，，，，，，，，共有种，其中选出的人来自同一区间的有种，，，，，，，；则选出的人中来自同一组的概率为．16．【答案】(1)；(2)；(3)0.【详解】（1）在平行六面体中，，，.（2）由（1）知，，而，，则，因此．所以的长度为.（3）由（2）知，，，，，则，即，所以直线与所成角为，其余弦值为0.17．【答案】(1)(2)【详解】（1）解:由题知,的最小正周期;（2）由于在中,三个角所对的边分别为,,,,,,,在中由正弦定理得,,又有,,,,,中的内角,且,,,的面积.18．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）设，，因为点与点关于直线的对称，则有线段AB的中点在直线上，即，①又直线直线，且直线的斜率为，则，即，②联立①②式子解得，故点的坐标；（2）设，由，则，故，化为.化简得，所以点的轨迹是圆，其方程为，圆心坐标，半径．（3）又因为直线与圆有公共点，利用圆心到直线的距离小于等于半径，则，，解得.故的取值范围为.19．【答案】(1)证明见解析(2)存在，的长度为3或【详解】（1）因为在中，，，且，所以，，则折叠后，，又平面，所以平面，平面，所以，又已知，且都在面内，所以平面.（2）由（1）知，以CD为轴，CB为轴，为轴，建立空间直角坐标系，因为，故，由几何关系可知，