甘肃省庆阳市宁县第一中学2024−2025学年高二上学期期中考试数学试卷含答案

甘肃省庆阳市宁县第一中学2024−2025学年高二上学期期中考试数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．将自然数1，2，3，4，5，……，按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，……都称为“拐角数”，则下列哪个数不是“拐角数”.（

）

A．22 B．30 C．37 D．462．在等差数列an中，已知，，则数列an的通项公式可以为（

）A． B． C． D．3．已知等比数列的前n项和为，且，若，，则（

）A．550 B．520 C．450 D．4254．过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（）A． B．C． D．5．直线：，：，若，则实数的值为（

）A．0 B．1 C．0或1 D．或16．已知直线与直线平行，则与之间的距离为（

）A．2 B．3 C．4 D．57．若点在圆C：的外部，则m的取值可能为（

）A．5 B．1 C． D．8．已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知是的前项和，，，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．是以为周期的周期数列10．已知等比数列中，，，则（

）A．公比为 B．C．当时， D．的前10项积为111．若方程表示的曲线为圆，则实数的值可以为（

）A．0 B． C．1 D．2三、填空题（本大题共3小题）12．设等差数列与的前n项和分别为，，且，则．13．设直线与直线的交点为P，则P到直线的距离的最大值为．14．已知，，，第三个顶点C在曲线上移动，则的重心的轨迹方程是．四、解答题（本大题共5小题）15．等差数列an的前项和为，已知，.(1)求数列an(2)求数列的前项和.16．已知是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．17．已知点，直线.(1)求点P到直线l的距离；(2)求点P关于直线l的对称点Q的坐标.18．已知的圆心在x轴上，经过点和．(1)求的方程；(2)过点的直线l与交于A、B两点．（ⅰ）若，求直线l的方程；（ⅱ）求弦AB最短时直线l的方程．19．把满足任意总有的函数称为和弦型函数.(1)已知为和弦型函数且，求的值；(2)在（1）的条件下，定义数列：，求的值；(3)若为和弦型函数且对任意非零实数，总有．设有理数满足，判断与的大小关系，并给出证明．

参考答案1．【答案】B【分析】由根据题意观察“拐角数”的性质，可得第个“拐角数”等于，进而逐项判断即可得到答案.【详解】由题意得第1个“拐角数”为，第2个“拐角数”为，第3个“拐角数”为，第4个“拐角数”为，…，则第个“拐角数”为.对于A：第6个“拐角数”是，故A错误；对于B，C：第7个“拐角数”是，第8个“拐角数”是，则30不是“拐角数”，故B正确，故C错误；对于D：第9个“拐角数”是，故D错误.故选B.2．【答案】C【详解】方法一（基本量法）设an的首项为，公差为d，则由，得，∴．代入，整理得，解得．当时，，；当时，，．方法二（等差数列的性质）∵，∴．，∴，∴．当时，；当时，．方法三（方程思想）∵，∴，∴，（由和与积，联想到根与系数的关系）∴，是方程的两根，∴或由，，得，∴．同理，由，，得．故选：3．【答案】D【详解】由等比数列前n项和的性质可得，，，，成等比数列，则，设，则，∵等比数列中，，∴解得，，故，∴，故选：D．4．【答案】B【详解】

设直线的倾斜角为，，当直线的斜率不存在时，，符合，当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，因为点，，，则，，因为直线经过点，且与线段总有公共点，所以，因为，又，所以，所以直线的倾斜角范围为.故选：B.5．【答案】C【详解】因为：，：垂直，所以，解得或，将，代入方程，均满足题意，所以当或时，.故选：.6．【答案】A【详解】因为直线与直线平行，所以，解之得.于是直线，即，所以与之间的距离为.故选：A7．【答案】C【详解】因为点在圆C：的外部，所以，解得，又方程表示圆，则，即，所以，结合选项可知，m的取值可以为.故选：C8．【答案】B【详解】设，，由中点坐标公式得，所以，故，因为A在圆上运动，所以，化简得，故B正确.故选：B9．【答案】BD【详解】，，，，，，则数列an是以为周期的周期数列，故正确；则，故错误；，故正确；可得，故错误．故选：10．【答案】ABD【详解】对于A项，设等比数列an的公比为，由，得，解得，故A正确；对于B项，，则，故B正确；对于C项，，当时，，则，故C错误；对于D项，由，可得an的前10项积为，故D正确．故选：ABD.11．【答案】AD【详解】方程，即，若方程表示圆，则，解得或，结合选项可知AD正确，BC错误.故选：AD12．【答案】【详解】，故答案为：．13．【答案】【详解】由可以得到，故，直线的方程可整理为：，故直线过定点，因为到直线的距离，当且仅当时等号成立，故，故答案为：.14．【答案】【详解】设，因，则.因，，则重心坐标为.设，则，则.故重心轨迹方程为：.故答案为：.15．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据条件转化为首项和公差的方程，即可求解；（2）根据数列正项和负项的分界，讨论与的关系，求解.【详解】（1）设数列an的公差为，∵，∴，∵，∴

，∴公差为，∴，∴；（2）由已知，时，；时，；综上.16．【答案】(1)(2)【详解】（1）设等比数列的公比为，且，因为，，成等差数列，则，即，解得或（舍去），所以的通项公式为.（2）由（1）可知：，则，所以.17．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为点，直线，所以点P到直线l的距离为；（2）设点关于直线对称的点的坐标为，则中点的坐标为，又直线的斜率为，所以，解得，即.18．【答案】(1)(2)①或；②.【详解】（1）设圆心为，由题意可得，解得，所以，圆的半径为，因此，圆的标准方程为.（2）①当时，圆心到直线的距离为，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合题意，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，则，解得，此时，直线的方程为.综上所述，直线的方程为或.②当时，圆心到直线的距离最大，此时，AB取最小值，因为，则，此时，直线的方程为，即.19．【答案】(1)；(2)(3)，证明见解析【分析】（1）利用所给定义，使用赋值法分别令、代入计算即可得解；（2）令代入计算可得，即可得其通项公式，结合对数运算与等差数列求和公式计算即可得解；（3）令，数列满足，从而只需证明数列为递增数列即可得证.【详解】（1）令，则，可得，令，则，则；（2）令，则，，即，又，所以数列为以为公比，为首项的等比数列，即，则；（3）由题意得：函数定义域为，定