数字信号处理-第一章

绪论数字信号处理的对象是数字信号.数字信号处理是采用数值计算的方法完成对信号的处理.数字信号处理的特点灵活性高精度和高稳定性便于大规模集成可以实现模拟系统无法实现的诸多功能第1章时域离散信号和时域离散系统掌握常见时域离散信号的表示及运算。掌握时域离散系统的线性、时不变性、因果性及稳定性的含义及判别方法。掌握采样定理。1.1引言信号的定义：

载有信息的，随时间变化的物理量或物理现象。信号的分类：

时域连续信号

模拟信号

时域离散信号

数字信号系统分类：时域连续系统模拟系统时域离散系统数字系统一．单位阶跃信号单位阶跃信号的定义为延时的单位阶跃信号二．单位冲激信号单位冲激信号的狄拉克(Dirac)定义从下面三点来理解冲激信号(1)除了之外取值处处为零；(2)在处为无穷大；(3)在包含出现的位置的任意区间范围内面积为1。二．单位冲激信号延时的单位冲激信号冲激信号可以由满足下面条件的一些脉冲信号极限得到脉冲信号是偶函数；脉冲宽度逐渐变小，直至无穷小；脉冲高度逐渐变大，直至无穷大；脉冲面积一直保持为1。二、冲激函数的性质（1）抽样性（2）奇偶性

（3）比例性（4）卷积性质三、抽样信号(SamplingSignal)

性质：①②③④⑤偶函数四．冲激响应1．定义

系统在单位冲激信号作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。说明:在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的

激励看响应，不同，说明其系统特性

不同，冲激响应可以衡量系统的特性。称为的卷积积分，简称卷积，记为设有两个函数，积分五、卷积（Convolution）主要利用卷积来求解系统的零状态响应。1.2时域离散信号离散时间信号（序列）只在离散时刻给出函数值，是时间上不连续的序列。实际中遇到的信号一般是模拟信号，对它进行等间隔采样便可以得到时域离散信号。假设模拟信号为xa(t)，以采样间隔T对它进行等间隔采样，得到：注意：n为整数思考：序列的表示方法有哪些？一、典型序列1．单位采样序列δ(n)单位采样序列的作用：表示任意序列例1.写出图示序列的表达式2、单位阶跃序列u(n)令n-k=m3．矩形序列RN(n)

4．实指数序列5．正弦序列6．复指数序列7．周期序列定义： 如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等式成立：则称序列x(n)为周期性序列，周期为N。特殊情况：正弦信号的周期例2、求下列周期二、序列的运算1．加法和乘法

序列之间的加法和乘法，是指同一时刻的序列值逐项对应相加和相乘。2．移位

移位序列x(n－n0)，当n0>0时,称为x(n)的延时序列；当n0<0时，称为x(n)的超前序列。例3已知x(n)波形，画出x(n-2)及x(n+2)波形图。3.翻转以纵轴为对称翻转。例4、已知x(n)波形，画出x(-n)的波形图。4.尺度变换（抽取和零值插入） 抽取：x(Dn)是x(n)序列每连续D点取一点形成的序列，D为正整数。 零值插入：x[(1/C)n]表示把序列的两个相邻抽样值之间插入C-1个零值，C为正整数。例5、已知x(n)波形，画出x(2n)及x(n/2)波形图。思考：x(3n)及x(n/3)呢？5.卷积和定义：计算方法：（1）图示法（图解法）：换元->反转->平移->相乘->求和（2）列表法（3）解析法卷积和性质：代数运算性质（交换律、结合律、分配律）延迟性质典型信号的卷积例：求解：1.翻褶.以m=0为对称轴，折迭h(m)

得到h(-m)，对应序号相乘，相加得y(0)；2.位移一个单元，对应序号相乘，相加得y(1)；3.重复步骤2，得y(2)，y(3)，y(4),y(5),如下所示。

x(m)01231/213/2m以m为自变量画出x(m),h(m)012m1h(m)01231/213/2m0mh(-m)=h(0-m)-2-1x(m)01231/213/2m0mh(1-m)-11得y(0)得y(1)x(m)翻褶位移1对应相乘，逐个相加。-1012345y(n)n1/23/235/23/21.3时域离散系统一、线性系统

系统的输入、输出之间满足线性叠加原理的系统称为线性系统。设x1(n)和x2(n)分别作为系统的输入序列，其输出分别用y1(n)和y2(n)表示，即例7、判断y(n)=ax(n)+b(a和b是常数）所代表系统的线性性质。二、时不变系统

如果系统对输入信号的运算关系T［·］在整个运算过程中不随时间变化，或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关，则这种系统称为时不变系统，用公式表示如下：例8、判断y(n)=nx(n)代表的系统是否是时不变系统。三、LTI系统输入与输出之间的关系单位脉冲响应LTI系统的输出解释：LTI系统系统的级联：系统的并联：四、系统的因果性和稳定性因果性：当且仅当信号激励系统时，才产生响应的系统，也称为不超前响应系统。LTI系统具有因果性的充要条件：判断一个系统是否为因果，有两种方法。定义法和充要条件，后者只对LTI系统有效。

稳定性：有界输入（指幅度有界）

，有界输出LTI系统稳定的充分必要条件：系统的单位脉冲响应绝对可和，即例9、设LTI系统的单位系统脉冲响应h(n)=anu(n)，式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。1.4时域离散系统的输入输出描述法——线性常系数差分方程

N阶线性常系数差分方程表示：式中，x(n)和y(n)分别是系统的输入序列和输出序列，ai和bj均为常数.

线性常系数差分方程的求解经典解法（实际中很少采用）递推解法（方法简单，但只能得到数值解，不易直接得到公式解）变换域法（Z域求解，方法简便有效）递推解法例10、设因果系统用差分方程

y(n)=ay(n－1)+x(n)描述，输入x(n)=δ(n)若初始条件y(-1)=0，求输出序列y(n)。若初始条件改为y(-1)=1，求y(n)例11、设差分方程如下，求输出序列y(n)。

非因果系统结论差分方程本身不能确定该系统是因果系统还是非因果系统，还需要用初始条件进行限制。一个线性常系数差分方程描述的系统不一定是线性时不变系统，这和系统的初始状态有关。课堂练习1、以下序列是LTI系统的单位序列响应h(n)，判断系统的因果性和稳定性。答案（1）非因果、稳定（2）非因果、不稳定。课堂练习课堂练习3、判断题：一个系统是因果系统的充要条件是，单位序列响应h(n)是因果序列。答案：错课堂练习4、将序列x(n)用一组幅度加权和延迟的冲激序列的和来表示。

5、判断下面的序列是否是周期的;若是周期的，确定其周期。

(1)(2)解：（1）因为ω=

π,所以,这是有理数，因此是周期序列，周期T=14。（2）因为ω=

,所以=16π,这是无理数，因此是非周期序列。课堂练习

6、设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别有以下几种情况，分别求输出y(n)。（1）h(n)=R4(n),x(n)=R5(n)（2）h(n)=2R4(n),x(n)=δ(n)－δ(n－2)

解：（1）{1，2，3，4，4，3，2，1}

（2）{2，2，0，0，-2，-2}课堂练习频谱分析：把信号表示为不同频率正弦分量或复指数分量的加权和，简称信号的谱分析。傅立叶分析：用频谱分析的观点来分析系统，或称为系统的频域分析。频域分析法在系统分析中极其重要，主要是因为：(1)频域分析法易推广到复频域分析法，同时可以将两者统一起来；(2)利用信号频谱的概念便于说明和分析信号失真、滤波、调制等许多实际问题，并可获得清晰的物理概念；(3)连续时间系统的频域分析为离散时间系统的频域分析奠定坚实基础。

(4)简化了求解微分方程的过程傅立叶分析周期信号，周期为，角频率该信号可以展开为下式复指数形式的傅立叶级数。复指数形式的傅立叶级数其中(一)周期信号的傅立叶级数式中称为傅立叶系数，是复数。例：

将图示周期矩形脉冲信号展成指数形式傅立叶级数解：直接代入公式有所以(一)周期信号的傅立叶级数1.周期信号的频谱为了能既方便又明白地表示一个信号中包含有哪些频率分量，各分量所占的比重怎样，就采用了称为频谱图的表示方法。(二)周期信号的频谱在傅立叶分析中，把各个分量的幅度随频率或角频率的变化称为信号的幅度谱。而把各个分量的相位随频率或角频率的变化称为信号的相位谱。幅度谱和相位谱通称为信号的频谱。三角形式的傅立叶级数频率为非负的，对应的频谱一般称为单边谱，指数形式的傅立叶级数频率为整个实轴，所以称为双边谱。频谱图：若把相位为零的分量的幅度看作正值，把相位为±π的分量的幅度看作负值，那么幅度谱和相位谱可合二为一。幅度谱相位谱(二)周期信号的频谱周期矩形脉冲信号的傅立叶系数为

对周期信号，如果令T趋于无穷大，则周期信号将经过无穷大的间隔才重复出现，周期信号因此变为非周期信号.从傅立叶级数到傅立叶变换

当T增加时，基波频率变小、离散谱线变密，频谱幅度变小，但频谱的形状保持不变。在极限情况下，周期T为无穷大，其谱线间隔与幅度将会趋于无穷小。这样，原来由许多谱线组成的周期信号的离散频谱就会联成一片，形成非周期信号的连续频谱。上两式称为傅立叶变换对，采用下列记号：傅立叶正变换傅立叶反变换(三)傅立叶变换矩形脉冲信号典型信号的傅立叶变换时域卷积性质若则频域卷积性质（四）傅里叶变换的性质1.5模拟信号数字处理方法采样定理；采样前的模拟信号和采样后得到的采样信号之间的频谱关系；

如何由采样信号恢复成原来的模拟信号；

实际中如何将时域离散信号恢复成模拟信号。什么是信号抽样为什么进行信号抽样(1)信号稳定性好:

数据用二进制表示，受外界影响小。(4)系统精度高:

可通过增加字长提高系统的精度。(5)系统灵活性强:

改变系统的系数使系统完成不同功能。(2)信号可靠性高:

存储无损耗，传输抗干扰。离散信号与系统的主要优点：(3)信号处理简便:

信号压缩，信号编码，信号加密等对模拟信号进行采样可以看做一个模拟信号通过一个电子开关S。实际抽样电子开关合上时间τ→0，则形成理想采样理想抽样理想采样设

对进行傅里叶变换，得到

的傅里叶变换......0Tt理想采样采样信号的频谱是原模拟信号频谱以Ωs为周期，进行周期性延拓而成的，且频谱幅度为1/T。信号时域的离散化导致其频域的周期化采样信号频谱频谱混叠采样信号的恢复采样信号的恢复采样信号的恢复

低通滤波器G(jΩ）的单位冲激响应g(t)为：采样信号的恢复采样信号的恢复奈奎斯特采样定理对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率Ωs为周期进行周期性延拓形成的。设连续信号xa(t)属带限信号，最高截止频率为Ωc，如果采样角频率Ωs≥2Ωc，那么让采样信号通过一个增益为T、截止频率为Ωs/2的理想低通滤波器，可以唯一地恢复出原连续信号xa(t)。否则,Ωs<2Ωc会造成采样信号的频谱混叠现象，不可能无失真地恢复原连续信号。抽样定理的工程应用许多实际工程信号不满足带限条件抗混低通滤波器混叠误差与截断误差比较抽样定理的工程应用重要公式课堂练习7、设LTI系统由下面差分方程描述：设系统是因果的，利用递推法求系统的单位脉冲响应。解：令x(n)=δ(n),则n=0时，n=1时，n=2时，

n=3时，所以8、数字信号是指__________的信号。

时间幅度都离散的

9、若用单位序列及其移位加权和表示x(n)=___________________