《数字信号处理》-第4章

第四章离散傅里叶变换的计算与应用

本章主要内容

●离散傅里叶变换的高效计算思路

●两种基-2FFT算法：（DIT、DIF）●离散傅里叶反变换（IDFT）的快速计算方法●几种FFT算法●用DFT的快速算法（FFT）对信号进行线性卷积及线性相关

●用DFT的快速算法（FFT）对信号进行频谱分析4.1离散傅里叶变换的高效计算思路

设x(n)为N点有限长序列，其DFT正变换为（）反变换（IDFT）为（）可以认为两式的运算量是相同的，因此，我们只讨论正变换（）式的运算量。直接进行DFT运算需要次复数乘法和次复数加法。也可以统计出用实数运算完成DFT的运算量。（）式可以写为（）（）式表明，一次复数乘法需用4次实数乘法和2次实数加法；一次复数加法则需要2次实数加法。因此，整个DFT运算共需要4N2次实数乘法和(4N-2)N次实数加法。由以上分析可知，直接计算N点DFT的乘法和加法运算次数均与N2成正比，当很大时，运算量是很大的的。减少运算量的思路把N点DFT分解为几个较短的DFT，可使乘法次数减少。利用系数的对称性、周期性和可约性，就可以减小DFT的运算量。周期性:对称性:可约性：由此可以得出利用这些特性，使DFT运算中有些项可以合并，并且可以将长序列的DFT分解为几个短序列的DFT，以减少DFT的运算次数。

离散傅里叶变换的高效算法正是基于这样的基本思路发展起来的。所有的这类算法被人们称为快速傅里叶变换（FastFourierTransform，FFT）算法。4.2按时间抽取（DIT）的基-2FFT算法4.2.1算法原理

“按时间抽取法”（DIT）:逐次分解时间序列x(n)基-2FFT算法:序列长度为N=2M，M为正整数，即N为2的整数幂的FFT算法将N=2M的序列x(n)按n的偶奇分为两组，形成两个子序列，得（）则由的可约性，有，所以上式可表示成

（）其中X1(k)和X2(k)分别是x1(r)及x2(r)的N/2点DFT。由（）式可知，若取k=0,1,…,N/2-1，用（）式计算X(k)时，则只能计算出X(k)前一半的值，

利用系数的性质以及X1(k)和X2(k)的隐含周期性，可得

（）于是，X(k)可表示为前半部分：（）

后半部分：

（）

(4.2.6)式和(4.2.7)式的运算可用下图的蝶形运算流图符号（又可称为蝶形运算单元）表示。

输入→→输出

输入→→输出

每个蝶形运算单元需要一次复数乘法及两次复数加（减）法。

分解过程图示共需要复数乘和复数加的次数为2(N/2)2+N/2和N2/2每个N/2点子序列再按其排列的偶奇顺序可进一步分解为两个N/4点的子序列：（）于是，可得x1(r)的DFT为式中由于及X3(k)和X4(k)的隐含周期性，可得到

同样，将x2(r)按r取偶、奇可分解成2个长N/4的子序列k=0,1,…,N/4-1；

下图给出了N=8时，将一个N/2点DFT分解成两个N/4点DFT，由这两个N/4点DFT组合成一个N/2点DFT的流图。下图给出了将一个N=8点的DFT分解成四个N/4=2点的DFT流图。两级蝶形组合运算，比只用一次分解蝶形方式的计算量又减少了大约一半N=8点DIT-FFT运算流图4.2.2DIT-FFT算法的运算量

当N=2M时，共有M级蝶形,每一级有N/2个碟形运算，每个蝶形需要一次复数乘法和二次复数加法，M级蝶形运算总共需要:复数乘法次数为：

复数加法次数为：

直接计算N点DFT需要复数乘法N2次复数加法N(N-1)次可见FFT大大减少了运算次数，提高了运算速度。

4.2.3按时间抽取的基-2FFT算法的运算特点及编程思想

1蝶形运算

DIT-FFT的运算是由大量蝶形运算单元组成的。它每一级（列）的计算都是由N/2个蝶形运算单元完成的，N=2M点的FFT共有M级蝶形运算。每个蝶形运算单元完成的迭代运算可表示为(4.2.19)式中L表示第L级迭代，1≤K≤M，k和j为数据所在的行数，系数又称为旋转因子（TwiddleFactor）。（）式的蝶形运算如图所示，一个蝶形运算包括一次复数乘法和两次复数加法运算。

由图的运算流图可以看出对于N=2M点的DIT-FFT算法，其第L级每个蝶形运算单元的两节点间“距离”则为B=2L-1。于是，(4.2.19)式的蝶形运算就可表示为

2原位运算

定义：利用同一组存储单元存储蝶形运算输入、输出数据的方法称为原位运算，也可称为同址运算。

碟形运算流图同一级中，每个蝶形的两个输入数据只对本蝶形有用，每个蝶形的输入、输出数据节点在用一条水平线上。这样，当计算完一个蝶形后，所得的输出数据可立即存入原输入数据所占用的存储单元。经过M级运算后，原来存放输入序列数据的N个存储单元中可依次存放X(k)的N个值。特点：节省存储单元，降低设备成本

3旋转因子的变化规律

旋转因子和运算级数的关系

N=23=8时的各级旋转因子：一般地，当N=2M（M为正整数）时，第L级蝶形运算共有2L-1种不同的旋转因子，可表示为

这样，就可以确定第L级蝶形运算的旋转因子（程序中，L为循环变量）。在第L级中，同一旋转因子对应着“间隔”为2L点的2M-L个蝶形。

4倒位序规律

倒位序：输入序列经过M级分解后，其排列顺序变为x(0)x(4)x(2)x(6)x(1)x(5)x(8)x(7)，服从所谓的“码位倒置”的规律，称之为倒位序。造成倒位序的原因：将其按标号的偶奇的不断分组，每次分解总是将偶序列放在上面，把奇序列放在下面。

首先最低位按0、1分为偶、奇两组，接着次低位也按0、1分组，依此类推右图为描述倒位序的树状图(N=8)

5倒位序的实现对照表变址功能产生倒序数的十进制运算规律

N=2M，用M位二进制数表示，则从左至

右的十进制权值为：N/2、N/4、N/8,…、2,1对倒序数J，其下一个序数是在该序数J的二进制首位码加1，相当于十进制运算J+N/2。如果最高位是0（J<N/2），则(J+N/2）得下一个倒序值；如果最高位是1（即J≥N/2），则要将最高位变为0（），次最高位加（）。次最高位加1时，同样要判断0、1值，依次类推，直到完成最高位加1，逢2向右进位的运算，得出下一个倒序值。

形成倒位序以后，把按自然顺序存放在存储单元中的数据，重新按倒位序排列，就可以实现图的变址功能，。图给出了实现倒序的程序框图，图中虚线框内就是计算倒序值的运算流程。可以看出，I=J时不需要调换；

I<J时，调换A(I)和A(J)的内容；I>J时，已调换过，不再调换。

6编程思想及程序框图从输入端（第一级）开始，逐级进行，共进行M级运算。在进行第L级运算时，依次求出2L-1个不同的旋转因子，每求出一个旋转因子，就计算完它对应的所有2M-L个蝶形。这样，就可以用三重循环程序来实现DIT-FFT运算。程序框图：

4.2.4按时间抽取的基-2FFT算法的其它形式流图

图4.2.12按时间抽取、输入自然顺序、输出倒位序的FFT运算流图（N=8）

图4.2.13按时间抽取、输入和输出都是自然顺序的FFT运算流图（N=8）

图4.2.14按时间抽取、各级具有相同几何形状的的FFT运算流图（N=8）4.3按频率抽取（DIF）的基-2FFT算法

4.3.1算法原理

设序列x(n)长度为N=2M，M为正整数。在把输出序列X(k)按k的偶奇分组之前，先把输入序列x(n)按n的顺序分成前后两半，这样，可将x(n)的DFT写为前后两部分，于是有

由于，故，可得

当k为偶数时，(-1)k=1，当k为奇数时，(-1)k=-1。因此，可以按k的偶、奇将X(k)分解为偶、奇序号组。

令则（）（）设（）则（）式和（）式可以写成以上运算关系用蝶形运算单元表示：N=8时分解过程

将N点DFT按频率k的偶奇分解为两个N/2点的DFT一个N/2点DFT分解成两个N/4点DFT的分解过程一个N=8的完整的按频率抽取的基2-FFT运算流图

\

4.3.2DIF-FFT算法特点及与DIT-FFT算法的异同

按频率抽取法的运算特点与按时间抽取法基本相同，它们是两种等价的FFT运算。整个DIF-FFT运算流图也全是由蝶形运算构成，每一个蝶形运算单元完成的迭代运算为

,式中L表示第L级迭代，1≤L≤M，k和j表示数据所在的行数。所对应的蝶形运算单元:

不同点：DIF-FFT算法与DIT-FFT算法的蝶形运算单元不同，差别是乘旋转因子的位置不同。DIF-FFT算法的蝶形运算是先加（减）后相乘，而DIT-FFT算法的蝶形运算是先乘后加（减）。DIF-FFT算法的输入是自然顺序，而输出是倒位序的,运算完毕后，要通过变址运算将倒位序转换为自然顺序，然后再输出。DIT-FFT算法的输入是倒位序的，而输出是自然顺序,序列输入后，要先进行变址运算将倒位序转换为自然顺序，然后再做碟形运算。相同点：采用原位计算；N=2M时，共有M级运算，每级共有N/2个蝶形，整个计算是通过MN/2个蝶形运算完成的，DIT与DIF算法的运算次数相同，复数乘法次，复数加法次。都有N/2个不同的旋转因子。

4.3.3按频率抽取法与按时间抽取法运算流图的关系

这两个流图的形式如同是颠倒了信号的传输方向，其关系可谓是“互为转置”。利用信号流图的转置定理，可以导出其相应的转置流图的。

信号流图的转置定理:如果将原信号流图（网络）中的所有支路方向倒转或反向，保持各支路传输系数（增益）不变，并将输入和输出相互交换，则其相应网络的系统函数H(z)不改变。

对于N=2M，按频率抽取的FFT算法与按时间抽取的FFT算法都有M级蝶形运算，每一级都由N/2个蝶形运算组成，因此，把每一种按时间抽取的FFT运算流图按转置定理加以转置都可以得到相应的按频率抽取的FFT运算流图，反之亦然。将右图图就可得到下图加以转置按频率抽取，输入倒位序、输出自然顺序的FFT运算流图（N=8）4.4离散傅里叶反变换（IDFT）的快速计算方法

上面讨论的FFT算法，同样可以适用于离散傅里叶反变换（IDFT）运算，即快速傅里叶反变换，简称为IFFT。比较IDFT与DFT的公式：可以看出，只要把DFT运算中的每一个旋转因子换成，最后再乘以常数1/N，则以上所有按时间抽取或按频率抽取的FFT算法都可以用来计算IDFT。

用FFT流图实现IDFT快速算法将DIT-FFT或DIF-FFT蝶形运算流图中旋转因子WNp改为WN-p在IDFT快速算法的最后结果输出前，乘以1/N常数；如要防止溢出，可在每一级运算中，输出支路分别乘以1/2，实现系数分级分担。在IDFT快速算法中，输入序列为X(k)，而输出序列为x(n)。流图对应关系：

DIT-FFT对应DIF-IFFTDIF-FFT对应DIT-IFFTDIT-IFFT运算流图（N=8）

直接利用FFT程序来计算IFFT的方法:由于DFT与IDFT公式结构的对称性，对IDFT公式取共轭可得因此实现方法：先将X(k)取共轭，得到X*(k)；再直接调用FFT程序计算DFT[X*(k)]的值；最后将计算结果取一次共轭，并乘以1/N，即得到x(n)值。这一方法虽然多用了两次对N点序列取共轭的操作，程序实现容易，也不会明显增加运算量。但是，FFT与IFFT运算可以共用一个子程序，实现方便。4.5N为复合数的FFT算法若不满足基-2FFT算法(N=2M)，则可采用下面的几种办法：1.将x(n)补一些零值点，使N增长到最邻近的一个2M数值。由DFT的性质知道，有限长序列补零之后，并不影响其频谱，只不过是使其频谱的采样点数增加而已，但是，有时计算量增加太多，会造成很大的浪费。因此人们希望找到N≠2M时的FFT算法。2.如果要求准确的N点DFT，而N又是素数，则只能采用直接DFT方法，或者用后面将要介绍的线性调频变换（Chirp-变换）算法。3.若N是一个复合数，即它可以分解成一些因子的乘积，则可以用FFT的一般算法，即混合基FFT算法，例如N=r1r2的FFT算法，而基-2算法只是这种一般算法的特例。其余略。4.6分裂基FFT算法

4.6.1按频率抽取的基-4FFT算法

如果N=4M，并取分解式N=4×4×…×4，利用以下的标号变换，就可以设计出基-4FFT算法。在每一步分解时，取N=N/4*4时，这样得到的就是按频率抽取的算法。这时n和k可分别表示为

于是序列x(n)的N点DFT可表示为

(4.6.3)

可以看出，把N=4M点DFT分解N/4为个4点DFT，将所得结果乘以旋转因子1、、、，然后分成4组分别作N/4点DFT，即得所需的N点DFT，见图。

将k0=0,1,2,3分别代入（）式，并用k表示k1，n表示n0，可以得出

（）

当k从0增加到N/4-1时，（）式中的任一式均为频域（对x(n)的N点DFT值X(k)）隔4点取1点的N/4点抽选。

4.6.2分裂基FFT算法的原理

从基-4FFT频率抽选的（）式中可以看到，X(4k)和X(4k+2)这两组是全部偶序号处的值，因而合在一起应是隔2点取1点的点N/2点抽选，其表达式也可直接由基-2FFT频率抽选分解得到。于是，(4.6.4)式又可写成如下形式

（）令

（）

则（）式可写成如下更简明的形式（）由此可见，一个N点DFT的计算可以分解为一个N/2点DFT和两个N/4点DFT的计算。这种分解既有基-2（按二进制抽选）部分，又有基-4（按四进制抽选）部分。基-2部分X(2k)的奇数点部分又进一步分解为基-4抽选分解，而基-4部分的偶数点部分又进一步分解为基-2抽选分解，所以称（）式为分裂基频率抽选分解，对应的N点DFT一次分解的流图如图所示。图4.6.3分裂基第一次分解L形流图

运算流图（即许多L形的排列以及最后的4点和2点DFT流图）。其排列示意图见图（a）、（b）。

（a）（b）图4.6.4分裂基FFT算法L形排列示意图与结构示意图

图4.6.816点分裂基FFT运算流图

4.6.3分裂基FFT算法的运算量

将图的L形排列图和图的流图一起观察，可以看出N点分裂基FFT算法的全部复数乘法次数就是L形个数的2倍，而全部复数加法次数则与基-2FFT算法一样为Nlog2N次。因此，复数乘法的总次数:

（）与基-2FFT算法的复数乘法次数相比，Nlog2N前面的系数由1/2变为1/3，仅这一项就使复数乘法运算次数下降33%，与基-4FFT算法的复数乘法次数3/8(Nlog2N)相比，可节省运算量11%。4.7线性调频变换（Chirp-变换）算法

4.7.1算法原理

已知序列x(n),(0≤n≤N-1)是有限长序列，其z变换为,为适应z可沿z平面更一般的路径取值，就沿z平面上的一段螺线作等分角的采样，z的这些采样点zk为因此有其中A决定起始采样点z0的位置A0表示z0的矢量半径长度,通常取A0≤1

θ0表示z0的相角

φ0表示两相邻采样点之间的角度差W0（一般为正值）表示螺线的伸展率

图4.7.1线性调频变换在平面的螺线采样

当M=N，，（即，）时，各采样点zk就均匀等间隔地分布在单位圆上，这就是求序列的DFT。将（）式的zk代入z变换表达式（）式中，可得(4.7.6)直接计算这一公式，与直接计算DFT相似。当N和M数值很大时，运算量会很大，因而限制了运算速度。若采用布鲁斯坦所提出的等式得到(4.7.7)

（）

即这一运算过程如图所示。图4.7.2Chirp-变换运算流图

当w0=1时，序列可以想象为频率随时间n成线性增长的复指数序列，在雷达系统中这种信号称为线性调频信号（ChirpSignal），因此这种变换又称为线性调频z变换，即Chirp-z变换.

4.7.2线性调频变换的实现

CZT运算的实现步骤可由图加以说明(略)图4.7.3Chirp-z变换的循环卷积计算

4.8实序列的FFT算法

4.8.1利用一次N点复序列的FFT计算两个N点实序列的FFT

设x1(n)和x2(n)是两个长度均为N的有限长实序列，将此二序列构成一个复序列，其长度仍然为N，得到,则利用有限长序列的的对称性得:(4.8.1)

(4.8.2)

这样，做一次N点复序列的FFT运算，再按（）式和（）式将所得结果进行组合，就同时得到了X1(k)和X2(k)，从而大大减少了总的计算量，使计算速度提高近一倍。

4.8.2利用一次N点复序列的FFT计算2N点实序列的FFT

设x(n)为2N点的实序列，将其按偶数点和奇数点分组形成两个N点实序列，即且，则而所以利用x(n)实序列的DFT的对称性，得X(k)的另外N点的值为4.9用DFT的快速算法（FFT）实现线性卷积及线性相关

4.9.1用DFT（FFT）实现线性卷积

考虑一个线性时不变系统，输入序列x(n)的长度为M，系统的单位脉冲响应h(n)的长度为N，输出响应为y(n)。显然有，且其长度为(M+N-1)。为了用循环卷积来代替线性卷积的计算，循环卷积的点数L必须满足L≥M+N-1,此时有L两序列的L点循环卷积就代表它们的线性卷积。由DFT的时域循环卷积定理知道，循环卷积不仅可以在时域直接计算，而且也可以在频域计算。因此，将序列x(n)和h(n)补上一定的零值点后，用DFT的快速算法（FFT）来计算两序列的L点循环卷积，也就计算了它们的线性卷积，从而得到线性时不变系统的输出响应。

用DFT（FFT）计算两序列x(n)和h(n)的线性卷积的步骤如下：（1）取L≥M+N-1，且使L=2J（J为正整数）。将输入序列x(n)补上L-M个零值点，将线性时不变系统的单位冲激响应h(n)补上L-N个零值点。（2）计算L点FFT，求（3）计算L点FFT，求（4）计算Y(k)=X(k)（5）计算L点IFFT，求这里计算DFT和IDFT都采用FFT和IFFT进行计算，当M、N足够长时，与直接计算线性卷积相比，计算速度可以大大提高。因而用FFT计算循环卷积以代替线性卷积的计算，常称为快速卷积。

用DFT的快速算法（FFT）计算线性卷积的运算流程图如图所示图4.9.1用DFT的快速算法（FFT）计算线性卷积的流程图

4.9.2分段卷积

在实际应用中，经常遇到输入信号x(n)的长度与系统的单位脉冲响应h(n)的长度N相差很大的情况，用以上所述的快速卷积算法计算线性卷积，则要求对短序列补很多个零值点，且长序列必须全部输入后才能进行计算。因此要求存储容量大，运算时间长，很不经济，并会使处理延时很大，很难实时处理。解决这个问题的方法是将长序列分段计算，也就是将长序列分成长度和短序列相仿的段，分别求出每一段与短序列的卷积结果，然后用一定方式把它们合在一起，就得到总的输出，这就是所谓的分段卷积。有重叠相加法和重叠保留法两种。

1.重叠相加法设序列h(n)的长度为N，x(n)为无限长序列，且当n<0时，x(n)=0。我们将x(n)均匀分段，每段为M点，M选择成和N的数量级相同。序列x(n)可以表示成长度为M的许多个平移有限长序列之和，即

，式中

图给出了有限长单位脉冲响应h(n)和未定义长度的信号x(n)，以及对x(n)的分段方法的示意图。要注意的是，每段中的第一个样本均在n=0处，而第k段的第零个样本xk(n)是序列的第kM个样本。

从图中可以看出，当第二个分段卷积y1(n)计算完后，迭加重叠点便可得输出序列y(n)的前2M个值，这种由分段卷积的序列段的重叠部分相加形成输出序列的方法，通常称为重叠相加法。这样进行计算，要求存储量小，且运算量和延时也大大减少。

2.重叠保留法(略)

4.9.3快速相关

利用FFT计算相关函数，即是用循环相关代替线性相关，通常称为快速相关。循环相关也是按照循环移位的规则来定义相关函数的，与循环卷积不同之处在于没有“翻褶”这一步骤。如果两个序列长度分别为M和N，若需用两序列的循环相关来代替它们的线性相关，同样需将这两个序列补零到序列长度L≥N+M-1才可避免混叠失真。由循环相关定理的（）式及（）式，可得出用DFT（FFT算法）计算计算线性相关的步骤见书p175：

4.10用DFT的快速算法（FFT）对信号进行频谱分析

假设xa(t)是经过预滤波和截取处理的有限长带限信号。通常，对连续时间信号的离散傅里叶分析的处理步骤如图所示。从图中可以看到，在计算x(n)的DFT之前，用了一个窗函数W(n)加到x(n)上，这即是对x(n)的截取过程。

图4.10.1连续时间信号离散傅里叶分析的处理步骤

假设连续时间非周期信号xa(t)持续时间为Tp，最高频率为fh。xa(t)的傅里叶变换对为(4.10.1)

(4.10.2)

xa(t)及如图（a）所示。

图4.10.2用DFT计算连续时间信号频谱原理

（a）

（b）

（c）

时域离散化:对作如下近似，即则（）式可近似为(4.10.3)由于时域采样，fs=1/T，所以引起频谱以为周期的周期延拓，如果xa(t)是带限信号，则有可能不产生混叠，如图（b）所示。这里用表示采样信号x(n)=x(nT)的频谱。

频域离散化：即对频域函数的一个周期进行N点等间隔采样，采样间隔为F，则fs=NF。于是，时域和频域都是离散周期序列，Tp=1/F,因此，将其限制在一个周期之内，分别取其主值序列进行分析。各参数间的关系为

频域采样:由（）式，得令可得同理，由傅里叶反变换式（）可得：Xa(k)及x(n)如图（c）所示。结论:(1)连续信号的频谱特性可以通过对连续信号采样，并进行DFT再乘以T的近似方法得到。(2)连续信号的时域采样信号可以通过对其频谱函数进行采样，并进行IDFT再乘以1/T的近似方法得到。4.10.2用DFT（FFT）对连续时间信号进行频谱分析时的几个问题

采样频率fs设连续时间信号xa(t)频谱中最高频率分量为fh。若采样频率为fs，按照奈奎斯特采样定理，为了避免在DFT运算中发生频谱（频率响应）混叠的现象，必须使fs满足

fs>2

fh→fh<fs/2若不能满足这一要求，就会在折叠频率f=fs/2（在数字频率ω=）附近产生频率响应的混叠失真。在实际应用中，一般取fs=(2.5~3)

fs。fs取得太大，会大大增加计算量，且要增加计算机内存。

频率分辨率F

对频率函数采样，使之变成离散的序列，其采样间隔F就表示信号的频率分辨率。它表示频谱分析中能够分辨的两个频谱分量的最小间隔。显然，F越小，频谱分析的结果就越接近相应连续时间信号的频率特性。所以，F较小时，称频率分辨率较高。由及两个公式来看，信号的最高频率分量（又称高频容量）与频率分辨率之间存在着矛盾，要想增加，则时域采样间隔就一定减小，而采样频率就增加，由于采样点数满足在采样点数保持不变的情况下，就必然要增大，即频率分辨率下降。相反，要提高频率分辨率（减小），就要增加Tp，当N一定时，必须增加T，即减小采样频率。为了不产生混叠失真，则必然会减小高频容量fh，也就是减小了频谱分析的范围。

信号的最高频率分量fk（又称高频容量）与频率分辨率F之间存在着矛盾，如果要想兼顾高频容量与频率分辨率，即使一个性能提高，而另一个性能不变（或也得以提高）的唯一办法就是增加记录长度的点数N，因此必须满足这个公式是在未采用任何特殊数据处理（例如加窗处理）的情况下，为实现基本DFT(FFT)算法必须满足的最低条件。如果进行加窗处理，相当于时域相乘，对应于频率函数的卷积，必然会加宽频谱分量，就可能使频率分辨率下降。为了保证频率分辨率不变，就必须增加记录长度Tp，这也就增加了采样点数N。对于Tp，一般应满足

用DFT对连续信号进行谱分析的参数选择原则：(1)采样频率fs：fs>2fh(2)谱分辩率:F=fs/N(3)采样点数N的选择：N>2fh/F(4)信号观察时间Tp的选择：Tp1/F例4.10.1有一频谱分析用的FFT处理器，其采样点数必须是2的整数幂。假定没有采用任何特殊的数据处理措施，若要求频率分辨率F≥10Hz，信号最高频率fh≤2kHz，试确定信号的最小记录时间Tpmin；最大采样间隔Tmax；在一个记录中的最少点数Nmin。如果fh不变，要求频率分辨率增加一倍，最少的采样点数和最小的记录时间是多少？解：（1）因为Tp必须满足,所以Tpmin=

（2）由，得（3）取N为2的整数幂,Nmin=29=512

若使频率分辨率提高一倍，即F=5Hz，则

取Nmin=210=1024,

可见，记录时间及采样点数的增加可以提高频率分辨率，但b必须满足时域采样定理。

2.频谱泄漏

由于实际的需要，往往要把观测信号x1(n)限制在一定的时间之内，也就是要取出信号的某一时间段x2(n)，对于无限长的信号序列，往往要将它截短成若干段有限长序列来进行处理，这种过程就是截断数据的过程。数据截断相当于是加窗处理。如果用矩形窗函数RN(n)，则x2(n)=x1(n)RN(n)，窗内的数据并不改变。时域的截断，在频域中则相当于所研究的信号的频谱与矩形窗函数频谱的卷积，即其中

矩形窗的频谱与原信号频谱卷积的结果将造成失真的频谱。对比下图中与，可以看出，频谱产生了“拖尾”（扩展）现象，这种频谱展宽（“扩散”）的现象，称为频谱泄漏。

图4.10.3图

例4.10.2设余弦序列，求其频谱，并定性画出的图形及y(n)=x

(n)RN(n)的幅度谱示意图。解：由于,r取整数所以

图4.10.5余弦序列加矩形窗前后的频谱(a)(