高等数学课件 12-1行列式的概念与性质

第一节 行列式的概念与性质一、行列式的概念为了更好掌握行列式的定义，我们采用数学归纳法的方法讲解行列【定义

1.1】

【例

1.1】

要指出在本课程中如遇绝对值我们将会作出特别的说明。

式的定义。一阶行列式由一个数组成，记为

1表示，且规定：其中，元素称为行列式的第行第列的元素；称为元素的代数余子式；而是行列【定义

1.2】二阶行列式是由个元素排成2行2列，用素的余子式。式中划去第行和第列元素，后所剩下的元素组成的行列式，称为元2

则二阶行列式

显然在定义中，，而；

这与中学里所学的对角交叉相乘之差所得结果一致。3

【例

1.2】求二阶行列式的值。解或4

【定义1.3】三阶行列式是由个元素排成的3行3列，用表示，且规定：其中：5

称为的余子式，它是在三阶行列式中划去所在的行及列后按原次序所成的二阶行列式，称为的代数余子式；为的代数

余子式。

一般地，就是三阶行列式中划去所在的第行和第列剩下的元素按原次序构成的二阶行列式，称为元素的余子式。

称为元素的代数余子式。

6

【例

1.3】解由上面定义，因为计算三阶行列式的值。所以7第一节 行列式的概念

从上面三阶行列式的定义可以看到：我们在计算三阶行列式时，是用其第一行的元素乘它的代数余子式之和，而代数余子式又是由二阶行列式构成的。用这一思想，我们可以计算四阶、五阶等更高阶的矩阵。下面给出行列式的一般定义。【定义

1.4】当时，，假设已定义了阶行列式，阶行列式是由个元素排成行和列组成，记为：8

且规定其值为：其中，表示元素的余子式，它是中划去所在的第1行和第列后剩下的元素按原来的次序构成的阶行列式。称为的代数余子式。9

【例

1.4】解计算四阶行列式

从以上定义及例子可以看到，阶行列式由个元素构成，每个行列式都表示一个数值，且它等于第一行的元素分别乘以它的代数余子代数余子式再求和。10我们也可以给出每个元素的余子式和代数余子式的一般定义。【定义

1.5】对于阶行列式，列元素后，按原次序排列构成的阶行列式。称为元素的余子式，称为元素的代数余子式。其中，是中划去元素所在的行和11

【例

1.5】解求行列式的元素和的代数余子式。所以因为的余子式的余子式的代数余子式的余子式12在上一节行列式定义中我们看到行列式的计算是由高阶向低阶逐阶递减过程，因此行列式的阶数越高，计算越繁。下面的行列式性质可以简化行列式的计算。13

【定义1.6】交换行列式D的行与列所得的行列式，称为D的转置行列式，记为或。设则

【例1.6】若则14性质1

转置行列式的值等于原行列式的值，即。在例1.6中的二个行列式的值相等，即根据这一性质，

阶行列式的定义按第一行展开等于按第一列展开即：这一性质也说明行列式的对于每行具有的性质对每列也成立。15性质2

交换行列式的任意两行（列）元素，行列式的值变号。

【例1.7】交换以下行列式D的第一行和第三行，有素（仍为D），即得，移项得，于是。为零。特别地，当行列式中有两行（列）对应元素都相同时，行列式的值··因假设D中的第行和第行对应元素相同，交换第行和第行元16

【例1.8】

以上性质1和性质2可以用数学归纳法证得，在这我们省略。行列式（因为第一行与第三行相同）17性质3

【例1.9】行列式符号的外面。这一性质可以由行列式的定义和性质2得到。这相当于行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一个数，行列式的值扩大倍。18性质4

行列式中两行（列）对应元素都成比例，行列式值为零。与第行相同，于是行列式的值为零。

设第行为第行的倍，由性质3，将行提出公因子，即得第行性质5

若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第列的元素都是两数之和：19利用这一性质：则等于下列两列行列式之和：20性质6

应元素上去，行列式值不变。即把行列式某行（列）各元素的倍加到另一行（列）的对这一性质由性质3和性质4直接得到。利用这些性质可以简化行列式的计算。另外我们用表示第行，表示第列。表示交换第行与第行，表示第行乘倍；表示把第行乘倍加到第行上去。21

【例1.10】

解利用行列式性质计算行列式下页继续……22然后按行列式定义，得：熟练以后，这几步也可以合并为：（这里也可用）23