专题02同角三角函数

专题02同角三角函数【考点总结】一、同角三角函数的基本关系式1．平方关系．2．商的关系．3．同角三角函数基本关系式的变形（1）平方关系的变形：；（2）商的关系的变形：；（3）．二、三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ+α（k∈Z）π+α−απ−α−α+α正弦sinα−sinα−sinαsinαcosαcosα余弦cosα−cosαcosα−cosαsinα−sinα正切tanαtanα−tanα−tanα口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限【题型归类】类型一已知0<α<π，sin（1）当m=1时，求α的值；（2）当m=55时，求【解析】（1）由已知得sinα−cosα=1，∴1−2sin又0<α<π，∴cosα=0，∴（2）当m=55时，sin方法1：1−2sinαcosα=15，∵(sinα+cosα)2由①②可得sinα=255，cos方法2：sin2∴2sin2α−5sin∴tanα=2或tan又1>sinα−cosα=55>0∴tanα=2【变式】已知，则A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，所以.故选A.【名师点睛】本题主要考查诱导公式的应用，三角函数式的化简等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.由题意结合诱导公式和三角函数的性质化简三角函数式即可.类型二在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a=23，，tanA=34，则sin【答案】，4+3【解析】由,得，,由正弦定理.类型三(1)已知sinαcosα＝eq\f(1,8)，且eq\f(5π,4)<α<eq\f(3π,2)，则cosα－sinα的值为()A．－eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(3,4) D.eq\f(3,4)(2)化简：(1＋tan2α)(1－sin2α)＝________.【答案】(1)B(2)1【解析】(1)∵eq\f(5π,4)＜α＜eq\f(3π,2)，∴cosα＜0，sinα＜0且cosα>sinα，∴cosα－sinα＞0.又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×eq\f(1,8)＝eq\f(3,4)，∴cosα－sinα＝eq\f(\r(3),2).(2)(1＋tan2α)(1－sin2α)＝(1＋eq\f(sin2α,cos2α))·cos2α＝eq\f(cos2α＋sin2α,cos2α)·cos2α＝1.思维升华(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.专题训练1．已知，，则A． B． C． D．【答案】B【解析】，可得：，，，，，，解得：，故选．2.已知，则A． B．C． D．【答案】C【解析】根据三角函数的诱导公式和三角函数基本关系式，可得：，解得，故选C.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式，准确化简是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.3．若，，则的值为A． B．C． D．【答案】C【解析】由诱导公式得，两边平方得，则，所以，又因为，所以，所以，故选C．4．若，则(A)(B)(C)1(D)【答案】A【解析】由，得或，所以，故选A．5、已知，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由可得，进一步整理可得，解得或，于是，故选C．6、若，则tan2α=（）A．−B．C．−D．【答案】B【解析】分子分母同除得：∴，∴7、已知，那么A．B．C．D．【答案】C【解析】，选C．8．已知点在终边上，则______．【答案】【解析】∵点P（1，2）在角α的终边上，∴，将原式分子分母同除以，则原式.故答案为：5．【名师点睛】此题考查了任意角的三角函数定义,同角三角函数基本关系的运用，属于基础题．求解时，根据P坐标，利用任意角的三角函数定义求出的值，原式分子分母除以，利用同角三角函数间基本关系化简，把的值代入计算即可求出值．9、已知是第四象限角，且，则．【答案】【解析】是第四象限角，，则，又，，∴==，，则====．10、若为第二象限角，，则．【答案】【解析】（法1）由得，=，即，∵，为第二象限角，∴=，=，∴．11、在中，，且cosA＝－cos（π－B），则C等于．【答案】【解析】∵又，.又即，故填.12．已知角的终边经过点，且．（1）求的值；（2）求的值．【解析】（1）因为角的终边经过点，且，所以有，求得.（2）由（1）可得，，所以===．【名师点睛】本题考查了余弦函数的定义，同角三角函数关系中的正弦、余弦平方和为1的关系和商关系，考查了数学运算能力.13、已知，．(1)求的值；(2)求的值．【解析】（1）∵，∴；（2）∵∴．14．已知中，.（1）试判断三角形的形状；（2）求的值.【解析】（1）将原式平方得1−2sinAcosA=即2sinAcosA=−，故cosA，则三角形为钝角三角形.（2）由（1）cosA+sinA