2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.3蝗制学案含解析北师大版必修4

PAGE3弧度制考纲定位重难突破1.了解角的另外一种度量方法——弧度制．2.能够娴熟地在角度制和弧度制之间进行换算．3.驾驭弧度制中扇形的弧长公式和面积公式.重点：弧度与角度的换算，弧度制下的弧长公式．难点：用弧度解决有关问题.授课提示：对应学生用书第4页[自主梳理]1．角的度量单位角的度量角度制弧度制规定周角的eq\f(1,360)为1度的角，用度作为单位来度量角称为角度制在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角为1弧度的角．它的单位符号为rad，读作弧度换算360°2πrad180°πrad(eq\f(180,π))°≈57.30°＝57°18′1rad1°eq\f(π,180)rad≈0.01745rad2.弧度数的计算3．一些特别角的角度数与弧度数的对应关系度0°1°30°45°60°90°弧度0eq\f(π,180)eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)度120°135°150°180°270°360°弧度eq\f(2,3)πeq\f(3,4)πeq\f(5,6)ππeq\f(3,2)π2π4．扇形弧长公式及面积公式设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则度量单位类别α为角度制α为弧度制扇形的弧长l＝eq\f(|n|πr,180)l＝|α|r扇形的面积S＝eq\f(|n|πr2,360)S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2[双基自测]1．下列说法正确的是()A．1弧度的圆心角所对的弧长等于半径B．大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大C．全部圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等D．用弧度表示的角都是正角解析：对于A，依据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，不在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是不等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以不是正角，故D错误．答案：A2.eq\f(5,6)π弧度化为角度是()A．235° B．150°C．135° D．60°解析：∵πrad＝180°，∴eq\f(5,6)π＝eq\f(5,6)×180°＝150°.答案：B3．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm，则这个圆心角所在的扇形面积为________cm2.解析：依据面积公式S＝eq\f(1,2)lr，可得S＝eq\f(1,2)×4×eq\f(4,2)＝4cm2.答案：4授课提示：对应学生用书第5页探究一角度、弧度的互化[典例1]设角α1＝－570°，α2＝750°，β1＝eq\f(3π,5)，β2＝－eq\f(7π,3).(1)将α1、α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；(2)将β1、β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们有相同终边的全部角．[解析](1)∵180°＝πrad，∴－570°＝－570×eq\f(π,180)＝－eq\f(19π,6).∴α1＝－eq\f(19π,6)＝－2×2π＋eq\f(5π,6).同理，α2＝2×2π＋eq\f(π,6).∴α1在其次象限，α2在第一象限．(2)∵β1＝eq\f(3π,5)＝eq\f(3π,5)×(eq\f(180,π))°＝108°，设θ＝k·360°＋β1(k∈Z)．由－720°≤θ＜0°，∴－720°≤k·360°＋108°＜0°.∴k＝－2或k＝－1.∴在－720°～0°间与β1有相同终边的角是－612°和－252°.同理，β2＝－420°＝－360°－60°，且在－720°～0°间与β2有相同的终边的角是－60°.1．将角度制化为弧度制，当角度制中含有“分”“秒”单位时，应先将它们统一转化为“度”，再利用1°＝eq\f(π,180)rad化为弧度即可．2．以弧度为单位表示角时，常把弧度写成多少π的形式．如无特别要求，不必把π写成小数．1．将下列角度与弧度进行互化：(1)20°；(2)－15°；(3)eq\f(7π,12)；(4)－eq\f(11,5)π.解析：(1)20°＝20×eq\f(π,180)rad＝eq\f(π,9)rad.(2)－15°＝－15×eq\f(π,180)rad＝－eq\f(π,12)rad.(3)eq\f(7,12)πrad＝eq\f(7,12)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180°,π)))＝105°.(4)－eq\f(11,5)πrad＝－eq\f(11,5)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝－396°.探究二用弧度表示终边相同的角[典例2]把下列各角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角：(1)－1500°；(2)eq\f(23π,6)；(3)－4.[解析](1)∵－1500°＝－1800°＋300°＝－5×360°＋300°.∴－1500°可化成－10π＋eq\f(5π,3)，是第四象限角．(2)∵eq\f(23π,6)＝2π＋eq\f(11π,6)，∴eq\f(23π,6)与eq\f(11π,6)终边相同，是第四象限角．(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，eq\f(π,2)<2π－4<π.∴－4与2π－4终边相同，是其次象限角．(1)无论用角度制还是用弧度制来度量角，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角与它对应．(2)用弧度制表示终边相同角α＋2kπ(k∈Z)时，留意2kπ是π的偶数倍，而不是π的奇数倍．2．(1)把－1480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π；(2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α的终边相同，求β.解析：(1)∵－1480°＝－eq\f(74π,9)＝－10π＋eq\f(16π,9)，又0<eq\f(16,9)π<2π，∴－1480°＝eq\f(16,9)π＋2×(－5)π.(2)∵β与α终边相同，∴β＝α＋2kπ＝eq\f(16,9)π＋2kπ(k∈Z)．又β∈[－4π，0]，∴β1＝eq\f(16,9)π－2π＝－eq\f(2,9)π，β2＝eq\f(16,9)π－4π＝－eq\f(20,9)π.∴β＝－eq\f(2,9)π或β＝－eq\f(20,9)π.探究三弧长与扇形面积公式的应用[典例3]已知一扇形的周长为8，当它的半径和圆心角取什么值时，扇形的面积最大？并求出最大面积．[解析]设扇形的面积为S，弧长为l，半径为r，圆心角为α，则l＋2r＝8，l＝8－2r，所以S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)r(8－2r)＝－r2＋4r，则当r＝2时，扇形面积S取最大值4，此时l＝8－2r＝4，所以|r|＝eq\f(l,r)＝2，即当扇形的半径为2，圆心角为2弧度时，扇形的面积最大，最大为4.涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算时，应先分析题目已知哪些量求哪些量，然后敏捷运用弧长、扇形面积公式干脆求解或列方程(组)求解．3．一个扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.解析：设圆的半径为rcm，弧长为lcm，圆心角为α(0＜α＜2π)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)lr＝1，,l＋2r＝4.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝2，))∴圆心角α＝eq\f(l,r)＝2rad.如图，过点O作OH⊥AB于点H，则∠AOH＝1rad.∴AH＝1·sin1＝sin1(cm)，∴AB＝2sin1(cm)．函数思想的运用[典例]已知一个扇形的周长为a，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求出这个最大值．[解析]设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，面积为S.由已知，得2r＋l＝a，即l＝a－2r.所以S＝eq\f(1,2)l·r＝eq\f(1,2)(a－2r)·r＝－r2＋eq\f(a,2)r＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r－\f(a,4)))2＋eq\f(a2,16).因为r>0，l＝a－2r>0，所以0<r<eq\f(a,2).所以当r＝eq\