山东专用2025届高考数学二轮专题闯关导练四热点问题专练热点十三数学文化含解析

PAGE热点(十三)数学文化1．[2024·石家庄模拟](古典概率中的数学文化)古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发觉了“完全数”6和28，后人进一步探讨发觉后续3个“完全数”分别为496,8128,33550336，现将这5个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28恰好在同一组的概率为()A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(1,10)2．[2024·山东六地市部分学校线上考试]《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4.在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是()A.eq\f(4,15)B.eq\f(15,8)C.eq\f(15,4)D．1203．(函数图象中的数学文化)我国闻名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和探讨中，常用函数的图象来探讨函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．如函数f(x)＝eq\f(x4,|4x－1|)的图象大致是()4．(概率中的数学文化)我国古代有着辉煌的数学探讨成果．《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》……《缉古算经》等10部专著，有着非常丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为()A.eq\f(14,15)B.eq\f(1,15)C.eq\f(2,9)D.eq\f(7,9)5．(数列中的数学文化)《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学学问起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，很多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为()A．23岁B．32岁C．35岁D．38岁6．[2024·新高考Ⅰ卷](立体几何中的数学文化)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为()A．20°B．40°C．50°D．90°7．(解析几何中的数学文化)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个好玩的数学问题——“将军饮马”的问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处动身，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2＋y2≤1，若将军从点A(2,0)动身，河岸线所在直线方程x＋y－4＝0，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为()A.eq\r(10)B．2eq\r(5)－1C．2eq\r(5)D.eq\r(10)－18．(圆中的数学文化)阿波罗尼斯(约公元前262～190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k＞0，k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P满意eq\f(|PA|,|PB|)＝eq\r(2)，则|PA|2＋|PB|2的最小值为()A．36－24eq\r(2)B．48－24eq\r(2)C．36eq\r(2)D．24eq\r(2)9．如图所示，在闻名的汉诺塔问题中，有三根高度相同的柱子和一些大小及颜色各不相同的圆盘，三根柱子分别为起始柱、协助柱及目标柱．已知起始柱上套有n个圆盘，较大的圆盘都在较小的圆盘下面，现把圆盘从起始柱全部移到目标柱上，规则如下：每次只能移动一个圆盘，且每次移动后，每根柱上较大的圆盘不能放在较小的圆盘上面，规定一个圆盘从任一根柱上移动到另一根柱上为一次移动．若将n个圆盘从起始柱移动到目标柱上最少须要移动的次数记为p(n)，则p(4)＝()A．33B．31C．17D．1510．(解三角形中的文化)《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形面积的求法填补了我国数学史中的一个空白，虽与闻名的海伦公式形式上有所不同，但实质完全等价，由此可以看出我国古代已经具有很高的数学水平．其求法是：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”把以上这段文字用数学公式表示，即S＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(c2a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c2＋a2－b2,2)))2)))(S，a，b，c分别表示三角形的面积、大斜、中斜、小斜)．现有周长为4eq\r(2)＋2eq\r(5)的△ABC满意sinA︰sinB︰sinC＝(eq\r(2)＋1)︰eq\r(5)︰(eq\r(2)－1)，试用以上给出的数学公式计算△ABC的面积为()A.eq\r(3)B．2eq\r(3)C.eq\r(5)D．2eq\r(5)11．(立体几何中的数学文化)我国古代《九章算术》里记载了一个求“羡除”体积的例子，羡除，隧道也，其所穿地，上平下邪．小明仿制羡除裁剪出如图所示的纸片，在等腰梯形ABCD中，AB＝10，BC＝CD＝DA＝8，在等腰梯形ABEF中，EF＝6，AF＝BE＝6.将等腰梯形ABCD沿AB折起，使DF＝CE＝2eq\r(6)，则五面体ABCDFE中异面直线AC与DE所成角的余弦值为()A．0B.eq\f(\r(2),4)C．－eq\f(\r(2),4)D.eq\f(\r(2),2)12．(多选题)(生活中的数学文化)《九章算术·衰分》中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱数多少衰出之，问各几何？”翻译为“今有甲持钱560，乙持钱350，丙持钱180，甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计100钱，要按个人带钱多少的比例交税，问三人各应付多少税？”则下列说法中正确的是()A．甲付的税钱最多B．乙、丙两人付的税钱超过甲C．乙应出的税钱约为32D．丙付的税钱最少13．(三角函数中的文化)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过探讨正五边形和正十边形的作图，发觉了黄金分割值约为0.618，这一数值也可表示为m＝2sin18°.若m2＋n＝4，则eq\f(1－2cos227°,3m\r(n))＝________.14．(数列中的数学文化)“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发觉．数列中的一系数数字常被人们称之为奇妙数．详细数列为1,1,2,3,5,8…，即从该数列的第三项数字起先，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列{an}为“斐波那契”数列，Sn为数列{an}的前n项和，若a2020＝M，则S2018＝________.(用M表示)15．[2024·山东烟台、菏泽联考](二项式定理中的数学文化)杨辉三角，又称贾宪三角、帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中用三角形说明二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，由杨辉三角可以得到(a＋b)n绽开式的二项式系数．依据相关学问可求得(1－2x)5绽开式中的x3的系数为________．16．[2024·山东肥城一中模拟](立体几何中的数学文化)在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”．已知三棱柱ABC­A1B1C1是一个“堑堵”，其中AB＝BC＝BB1＝2，点M是A1C1的中点，则四棱锥M­B1C热点(十三)数学文化1．答案：B解析：记5个“完全数”中随机抽出2个为第一组，剩下3个为其次组，则基本领件总数为Ceq\o\al(2,5)＝10.又6和28恰好在第一组有1种状况，6,28和其他3个数中的1个在其次组有3种状况，所以所求概率为eq\f(1＋3,10)＝eq\f(2,5)，故选B.2．答案：C解析：由题意，依据给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4，再由扇形的弧长公式，可得扇形的圆心角α＝eq\f(l,r)＝eq\f(30,8)＝eq\f(15,4)(弧度)，故选C.3．答案：D解析：因为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x4,4x－1)，x＞0，,\f(x4,1－4x)，x＜0，))f(－x)＝eq\f(x4,|4－x－1|)＝eq\f(x4·4x,|4x－1|)≠f(x)，且f(－x)≠－f(x)，所以f(x)没有奇偶性，而A，B选项中的图象关于y轴对称，解除A，B；当x→－∞时，f(x)＝eq\f(x4,1－4x)→＋∞，解除C，选D.4．答案：A解析：设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事务A，所以P(eq\x\to(A))＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,10))＝eq\f(1,15)，因此P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－eq\f(1,15)＝eq\f(14,15)，故选A.5．答案：C解析：设这位公公的第n个儿子的年龄为an，由题可知{an}是等差数列，设公差为d，则d＝－3，又由S9＝207，即S9＝9a1＋eq\f(9＋8,2)×(－3)＝207，解得a1＝35，即这位公公的长儿的年龄为35岁．故选C.6．答案：B解析：过球心O、点A以及晷针的轴截面如图所示，其中CD为晷面，GF为晷针所在直线，EF为点A处的水平面，GF⊥CD，CD∥OB，∠AOB＝40°，∠OAE＝∠OAF＝90°，所以∠GFA＝∠CAO＝∠AOB＝40°.故选B.7．答案：B解析：设点A关于直线x＋y＝4的对称点A′(a，b)，kAA′＝eq\f(b,a－2)，AA′的中点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2,2)，\f(b,2)))，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a－2)＝1,\f(a＋2,2)＋\f(b,2)＝4))解得a＝4，b＝2，要使从点A到军营总路程最短，即为点A′到军营最短的距离，即为点A′和圆上的点连线的最小值，即为点A′和圆心的距离减半径，“将军饮马”的最短总路程为eq\r(4＋16)－1＝2eq\r(5)－1，故选B.8．答案：A解析：以经过A、B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－1,0)、B(1,0)，设P(x，y)，∵eq\f(|PA|,|PB|)＝eq\r(2)，∴eq\f(\r(x＋12＋y2),\r(x－12＋y2))＝eq\r(2)，两边平方并整理得x2＋y2－6x＋1＝0⇒(x－3)2＋y2＝8，所以P点的轨迹是以(3,0)为圆心，2eq\r(2)为半径的圆，则有|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2＝2|OP|2＋2，如图所示：当点P为圆与x轴的交点(靠近原点)时，此时，OP取最小值，且OP＝3－2eq\r(2)，因此，|PA|2＋|PB|2≥2×(3－2eq\r(2))2＋2＝36－24eq\r(2)，故选A.9．答案：D解析：由题意，把圆盘从起始柱全部移到目标柱上最少须要移动的次数记为p(n)，则把起始柱上的(除最底下的)圆盘从起始柱移动到协助柱最少须要移动的次数为p(n－1)，则有p(n)＝2p(n－1)＋1，所以p(n)＋1＝2[p(n－1)＋1]，又p(1)＝1，即{p(n)＋1}是以p(1)＋1＝2为首项，2为公比的等比数列，由等比数列通项公式可得，p(n)＋1＝2n，所以p(n)＝2n－1，故p(4)＝24－1＝15，故选D.10．答案：A解析：因为sinA︰sinB︰sinC＝(eq\r(2)＋1)︰eq\r(5)︰(eq\r(2)－1)，则由正弦定理得a︰b︰c＝(eq\r(2)＋1)︰eq\r(5)︰(eq\r(2)－1)．设a＝(eq\r(2)＋1)x，b＝eq\r(5)x，c＝(eq\r(2)－1)x，又周长为4eq\r(2)＋2eq\r(5)，所以4eq\r(2)＋2eq\r(5)＝(eq\r(2)＋1)x＋eq\r(5)x＋(eq\r(2)－1)x，解得x＝2.所以S＝eq\r(\f(1,4)×\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(42×\r(2)－12×\r(2)＋12－\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(22×\r(2)＋12＋22×\r(2)－12－20,2)))2)))＝eq\r(3).故选A.11．答案：B解析：如图，过点C作AB的垂线，H为垂足，易知BH＝1，CH＝3eq\r(7)，AC＝12.同理，在等腰梯形CDFE中，对角线DE＝6eq\r(2).过点C作CG∥DE交FE的延长线于点G，易知四边形CDEG是平行四边形，DE綉CG，连接AG，则异面直线AC与DE所成的角即直线AC与CG所成的角．过点A作AT⊥EF，交EF的延长线于点T，则易知AT＝4eq\r(2)，TG＝16，所以AG＝12eq\r(2).在△ACG中，AG＝12eq\r(2)，AC＝12，CG＝DE＝6eq\r(2)，由余弦定理得cos∠ACG＝eq\f(144＋72－288,2×12×6\r(2))＝－eq\f(\r(2),4).因为异面直线所成的角在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))范围内，所以异面直线AC与DE所成角的余弦值为eq\f(\r(2),4)，故选B.12．答案：ACD解析：甲付的税钱最多、丙付的税钱最少，可知A、D正确；乙、丙两人付的税钱占总税钱的eq\f(53,109)＜eq\f(1,2)不超过甲。可知B错误；乙应出的税钱为100×eq\f(350,560＋350＋180)≈32.可知C正