2024-2025学年高中数学第三章三角恒等变换3.2.3两角和与差的正切函数学案含解析北师大版必修4

PAGE2.3两角和与差的正切函数考纲定位重难突破1.能利用两角和(或差)的正、余弦公式导出两角和(或差)的正切公式．2.驾驭公式Tα±β及其变形式，并能利用这些公式解决化简、求值、证明等问题.重点：两角和与差的正切公式及其应用．难点：两角和与差的正切公式的推导及变形应用.授课提示：对应学生用书第62页[自主梳理]两角和与差的正切公式[双基自测]1．若α、β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))且tanα＝eq\f(1,2)，tanβ＝eq\f(1,3)，则tan(α＋β)＝()A．－1B．1C.eq\f(3,2)D．－eq\f(3,2)解析：tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanα·tanβ)＝eq\f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,2)×\f(1,3))＝1.答案：B2．若tanα＝3，tanβ＝eq\f(4,3)，则tan(α－β)等于()A．－3B．－eq\f(1,3)C．3 D.eq\f(1,3)解析：tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq\f(3－\f(4,3),1＋3×\f(4,3))＝eq\f(\f(5,3),5)＝eq\f(1,3).答案：D3．tan75°＝________.解析：tan75°＝tan(30°＋45°)＝eq\f(tan30°＋tan45°,1－tan30°·tan45°)＝eq\f(\f(\r(3),3)＋1,1－\f(\r(3),3))＝2＋eq\r(3).答案：2＋eq\r(3)授课提示：对应学生用书第62页探究一利用两角和与差的正切公式求值[典例1]已知sin(π＋θ)＝－eq\f(3,5)，tanφ＝eq\f(1,2)，并且θ是其次象限角，求tan(θ－φ)的值．[解析]∵sin(π＋θ)＝－sinθ＝－eq\f(3,5)，∴sinθ＝eq\f(3,5)，又θ是其次象限角，∴cosθ＝－eq\r(1－sin2θ)＝－eq\f(4,5)，∴tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝－eq\f(3,4)，又tanφ＝eq\f(1,2)，∴tan(θ－φ)＝eq\f(tanθ－tanφ,1＋tanθtanφ)＝eq\f(－\f(3,4)－\f(1,2),1＋－\f(3,4)×\f(1,2))＝－2.若已知α，β的正弦、余弦的值，求α±β的正切的方法有两种：①是先求α±β的正弦、余弦而后应用商数关系；②是先求tanα，tanβ，而后应用α±β的正切公式．若已知α，β的正切值，则干脆应用正切公式求解即可．1．求下列各式的值．(1)eq\f(tan75°－tan15°,1＋tan75°tan15°)；(2)eq\f(\r(3)－tan15°,1＋\r(3)tan15°)；(3)tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°.解析：(1)原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝eq\r(3).(2)原式＝eq\f(tan60°－tan15°,1＋tan60°tan15°)＝tan45°＝1.(3)原式＝tan(15°＋30°)(1－tan15°tan30°)＋tan15°tan30°＝1－tan15°tan30°＋tan15°tan30°＝1.探究二利用和与差的正切公式求角[典例2]已知tanα＝eq\f(1,3)，tanβ＝－2，且0<α<eq\f(π,2)<β<π，求(1)tan(α－β)的值．(2)角α＋β的值．[解析](1)若tanα＝eq\f(1,3)，tanβ＝－2，所以tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq\f(\f(1,3)＋2,1－\f(2,3))＝7.(2)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(\f(1,3)－2,1＋\f(2,3))＝－1，因为0<α<eq\f(π,2)<β<π，所以eq\f(π,2)<α＋β<eq\f(3π,2)，所以α＋β＝eq\f(3π,4).(1)求值．计算待求角的正切函数值．(2)求范围．借助已知角的范围及题目隐含信息，求相关角的范围，留意角的范围越小越好．(3)求角．借助角的范围及角的三角函数值求角．2．已知tanα，tanβ是方程x2＋3eq\r(3)x＋4＝0的两个根，且α，β∈(－π，π)，求α＋β的值．解析：由韦达定理，得tanα＋tanβ＝－3eq\r(3)，tanαtanβ＝4，∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(－3\r(3),1－4)＝eq\r(3).又∵α，β∈(－π，π)，∴α＋β∈(－2π，2π)，∴α＋β＝－eq\f(5,3)π，－eq\f(2,3)π，eq\f(π,3)，eq\f(4,3)π.探究三综合应用问题[典例3]在△ABC中，tanB＋tanC＋eq\r(3)tanBtanC＝eq\r(3)，且eq\r(3)tanA＋eq\r(3)tanB＋1＝tanAtanB，推断△ABC的形态．[解析]tanA＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝eq\f(tanB＋tanC,tanBtanC－1)＝eq\f(\r(3)－\r(3)tanBtanC,tanBtanC－1)＝－eq\r(3)，而0°＜A＜180°，∴A＝120°.而tanC＝tan[π－(A＋B)]＝eq\f(tanA＋tanB,tanAtanB－1)＝eq\f(tanA＋tanB,\r(3)tanA＋\r(3)tanB)＝eq\f(\r(3),3).而0°＜C＜180°，∴C＝30°.∴B＝30°.∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形．利用和差角公式推断三角形形态：首先应考虑借助同名三角函数之间的关系推断三角形内角的关系或者求出内角大小，进而推断三角形形态，其次留意三角形内角和A＋B＋C＝180°这一隐含条件的运用．3．是否存在锐角α，β，使得(1)α＋2β＝eq\f(2π,3)，(2)taneq\f(α,2)·tanβ＝2－eq\r(3)同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，说明理由．解析：假设存在锐角α，β使得(1)α＋2β＝eq\f(2π,3)，(2)taneq\f(α,2)tanβ＝2－eq\r(3)同时成立．由(1)得eq\f(α,2)＋β＝eq\f(π,3)，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋β))＝eq\f(tan\f(α,2)＋tanβ,1－tan\f(α,2)tanβ)＝eq\r(3).又因为taneq\f(α,2)tanβ＝2－eq\r(3)，所以taneq\f(α,2)＋tanβ＝3－eq\r(3).因此taneq\f(α,2)，tanβ可以看成是方程x2－(3－eq\r(3))x＋2－eq\r(3)＝0的两个根．解该方程得x1＝1，x2＝2－eq\r(3).若taneq\f(α,2)＝1，则α＝eq\f(π,2)，这与α为锐角冲突．所以taneq\f(α,2)＝2－eq\r(3)，tanβ＝1，所以α＝eq\f(π,6)，β＝eq\f(π,4).所以满意条件的α，β存在，且α＝eq\f(π,6)，β＝eq\f(π,4).给值求角中的易错误区[典例]已知tan(α－β)＝eq\f(1,2)，tanβ＝－eq\f(1,7)，且α，β∈(0，π)，则2α－β＝________.[解析]由于tanα＝tan[(α－β)＋β]＝eq\f(tanα－β＋tanβ,1－tanα－β·tanβ)＝eq\f(\f(1,2)－\f(1,7),1＋\f(1,2)×\f(1,7))＝eq\f(1,3)，且α∈(0，π)，所以α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))又由tanβ＝－eq\f(1,7)，且β∈(0，π)，得β∈(eq\f(π,2)，π)，所以2α－β∈(－π，0)．而tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝eq\f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,2)×\f(1,3))＝1，所以2α－β＝－eq\f(3,4)π.[答案]－eq\f(3π,4)[错因与防范](1)解答本题常会得到2α－β的值为eq\f(π,4)，eq\f(5π,4)这样错误的结果，缘由在于没能依据题设条件进一步缩小角α、β的范围，导致计算角2α－β的