专题01直线的倾斜角与斜率综合专练-2021-2022学年上海高二数学重难点综合专练（2020选修一）

编者小注：本专辑专为2022年上海高二数学选修一研发，供中等生及以上学生使用。题源主要来自于上海四校、八大、13名校、统考之试题，专练等。思路设计为选择题、填空题、解答题各10道，每道题都包含详细解析，难度从低到高，有难度层级，适合现在双减形式下的备课要求。专题01直线的倾斜角与斜率综合专练（解析版）一、单选题1．直线l的倾斜角为，则直线l关于直线y=x对称的直线l'的倾斜角不可能为（）A． B． C． D．【标准答案】C【思路点拨】可分类讨论求出对称直线的倾斜角，然后判断．【精准解析】当时，直线的倾斜角为，当时，直线的倾斜角为，当时，直线的倾斜角为，因此ABD均可能，只有C不可能．实际上当直线倾斜角为时，直线与直线关于和轴垂直的直线对称．故选：C．2．（2021·上海·复旦附中青浦分校高二阶段测）“”是“直线和直线垂直”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【标准答案】A【思路点拨】根据直线垂直求出值即可得答案.【精准解析】解：若直线和直线垂直，则，解得或，则“”是“直线和直线垂直”的充分非必要条件.故选：A.3．（2021·上海青浦·高二期末）已知直线l1∶xsina+y=0与直线l2∶3x+y+c=0，则下列结论中正确的是（）A．直线l1与直线l2可能重合B．直线l1与直线l2可能垂直C．直线l1与直线l2可能平行D．存在直线l1外一点P，直线l1绕点P旋转后可与直线l2重合【标准答案】B【思路点拨】由直线位置关系的平行、重合、垂直的条件可得答案.【精准解析】直线l1∶xsina+y=0的斜率为，与直线l2∶3x+y+c=0斜率为，若直线l1与直线l2重合，则，且，由于，故A错误；若，则，直线l1与直线l2可能垂直，故B正确；若直线l1与直线l2平行，则，由于，故C错误；由AC知，直线l1与直线l2既不可能重合也不可能平行，只能相交，故直线l1不可能绕P旋转后与直线l2重合，故D错误.故选：B.4．（2021·上海徐汇·高二期末）设且b<0，则直线的倾斜角为（）A． B． C． D．【标准答案】C【思路点拨】求出直线的斜率，然后由斜率得倾斜角．【精准解析】由题意，直线的斜率为，设直线倾斜角为，则为钝角，所以．故选：C．5．在平面直角坐标系中，已知过点和的直线与直线平行，则的值为（）A．0 B．10 C．2 D．【标准答案】D【思路点拨】利用过点和的直线与直线的斜率相等可得答案.【精准解析】∵直线的斜率等于，

∴过点和的直线的斜率也是，

，解得，

故选：D.6．（20202021年上海市金山中学高二期中）若直线与平行，则与间的距离为（）A． B．C． D．【标准答案】B【思路点拨】由两直线平行的判定有且求参数a，应用平行线距离公式求与间的距离.【精准解析】∵直线与平行，∴且，解得．∴直线与间的距离．故选：B．7．已知复数（）满足，则的最大值为（）A． B． C． D．【标准答案】D【思路点拨】根据复数的几何意义求出复数的轨迹方程再根据的几何意义求解即可.【精准解析】因为,故,即.又的几何意义为到的斜率.故当过原点的直线与切于第一象限时取得最大值.此时设切线的倾斜角为则,易得.故的最大值为.故选：D【名师指导】本题主要考查了复数的几何意义与根据斜率的几何意义求解最值的问题.属于中档题.8．（20202021年上海·高二课时练习）已知两点到直线的距离相等，则实数可取的不同值共有（）.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【标准答案】C【思路点拨】分两点在直线同侧、异侧讨论，同侧时利用斜率相等求解，异侧时利用两点中点在直线上求解.【精准解析】若两点在直线的同侧且与直线距离相等，则直线与直线平行，所以，即，若两点在直线的异侧且与直线距离相等，则的中点在直线上，所以，解得或,综上实数可取的不同值共有3个，故选：C【名师指导】本题主要考查了两点到直线的距离相等的性质，直线平行，中点坐标公式，分类讨论思想，属于中档题.9．（20202021年上海·高二课时练习）过点的直线的倾斜角的范围是，则实数的取值范围是（）．A． B． C．或 D．【标准答案】D【思路点拨】当时，满足题意；当时，解不等式或，综合即得解.【精准解析】当时，直线的倾斜角为，满足题意；当时，直线的斜率为或，所以或，所以或.综合得实数的取值范围是.故选：D.【名师指导】本题主要考查直线倾斜角和斜率的关系，考查分式不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．（20202021年上海市奉贤区奉城高级中学高二期中）如果平面直角坐标系内的两点关于直线对称，那么直线的方程为（）A． B． C． D．【标准答案】A【思路点拨】由求得，线段AB的中点为，进而得到，结合直线的点斜式方程，即可求解.【精准解析】由题意，两点，可得，线段AB的中点为，因为两点关于直线对称，则，所以直线方程为，整理得．故选：A．【名师指导】本题主要考查了中点公式，点关于直线的对称问题，以及直线方程的求解及应用，着重考查推理与运算能力，属于基础题.11．（20192020学年上海市控江中学高二期末）已知A、B是双曲线的左、右顶点，动点P在上且P在第一象限．若PA、PB的斜率分别为，，则以下总为定值的是（）．A． B． C． D．【标准答案】C【思路点拨】求出左右顶点、,设，根据两点式求斜率即可求解．【精准解析】设，其中，即则，，．【名师指导】本题考查双曲线的性质以及两点式求斜率，需熟记双曲线的性质．12．（2021·上海黄浦·高二期末）已知与是直线(为常数)上异于坐标原点的两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（）A．无论､､如何，总是无解 B．无论､､如何，总有唯一解C．存在､､，使之恰有两解 D．存在､､，使之有无穷多解【标准答案】A【思路点拨】判断直线的斜率存在，当斜率为0时，方程组无解；当斜率不为0时，通过点在线上可得的关系，分析方程组即可.【精准解析】与由题意可知，直线的斜率存在，当时，又，所以方程组无解；当时，，且，所以，由得因为所以方程组无解.综上所述，方程组无解.故选【名师指导】求斜率可用k＝tanα(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”．二、填空题13．（20202021年上海·高二课时练习）直线和直线的夹角是______________．【标准答案】【思路点拨】先求出两条直线的斜率，再利用直线的夹角公式运算即可.【精准解析】直线和直线的斜率分别为，设两条直线的夹角为，由直线的夹角公式可得：，即两条直线的夹角为，故答案为：.【名师指导】本题考查了直线的夹角公式，重点考查了运算能力，属基础题.14．（20202021年上海·高二课时练习）设两直线与轴围成三角形，则实数的取值范围是__________.【标准答案】且【思路点拨】计算不能形成三角形的三种情况，三线共点和两种平行，计算得到答案.【精准解析】当直线过原点时，，即，此时不能形成三角形；当两直线平行时，，即，此时不能形成三角形；当直线与轴平行时，，即，此时不能形成三角形；综上所述：且时，可以形成三角形.故答案为：且.【名师指导】本题考查了直线的位置关系，意在考查学生的计算能力和应用能力，漏解是容易发生的错误.15．（20202021年上海交大附中高二开学考试），动直线过定点，动直线过定点，若直线与相交于点（异于点），则周长的最大值为_________【标准答案】【精准解析】由条件得直线过定点，直线过定点，且．又直线，所以,∴，当且仅当时等号成立，∴，即周长的最大值为．答案：16．（20202021年上海·华师大二附中高二阶段测）已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是____；【标准答案】【精准解析】由直线，即，此时直线恒过点，则直线的斜率，直线的斜率，若直线与线段相交，则，即，所以实数的取值范围是．点睛：本题考查了两条直线的位置关系的应用，其中解答中把直线与线段有交点转化为直线间的斜率之间的关系是解答的关键，同时要熟记直线方程的各种形式和直线过定点的判定，此类问题解答中把直线与线段有交点转化为定点与线段端点斜率之间关系是常见的一种解题方法，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力．17．（20202021年上海市大同中学高二阶段测）已知直线的倾斜角为，则的取值范围是_________．【标准答案】【思路点拨】当时，直线为，倾斜角；当时，化为斜截式，利用斜率，可知倾斜角的范围，即可得结果.【精准解析】当时，直线为，斜率不存在，倾斜角；当时，直线化为直线的斜截式方程：斜率，即，综上可知，倾斜角的取值范围是故答案为：【名师指导】结论点睛：直线倾斜角的范围是，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当时，斜率；当时，斜率不存在；当时，斜率．18．（20202021年上海市控江中学高二期中）已知直线与两点，点，若直线与线段有公共点，则实数的取值范围是______．【标准答案】【思路点拨】写出线段的方程，联立求得交点坐标，由可求得的范围．【精准解析】由条件得有解，解得，由，得或．故答案为：．【名师指导】方法点睛：本题考查直线与线段有公共点问题．解题方法是直线（线段）方程求出交点坐标，利用交点坐标的范围求出参数的范围，可是也可利用数形结合思想求解，即求出的斜率，由图形观察出的范围．19．（上海市奉贤区奉城高级中学高二阶段测）下列四个命题：①直线的斜率，则直线的倾斜角；②直线：与以、两点为端点的线段相交，则或；③如果实数、满足方程，那么的最大值为；④直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是.其中正确命题的序号是___________【标准答案】②③④【思路点拨】由直线倾斜角的范围判断①错误；求出直线恒过的定点，再求出和所在直线的斜率，判断②正确；的几何意义是圆上的动点和原点的距离的平方，求出已知圆的圆心和原点的距离，再加上半径，再平方，即判断③正确；由直线恒过的定点在椭圆上或内部，求解的取值范围，即可判断④正确.【精准解析】解：对于①，由直线的倾斜角范围是,故命题①错误；对于②，因为直线恒过点，，所以或，故命题②正确；对于③，方程表示以为圆心，以为半径的圆，的几何意义是已知圆上的动点和原点的距离的平方，那么的最大值为，故命题③正确；对于④，因为直线恒过的定点，所以要使直线与椭圆恒有公共点，则需，解得，所以命题④正确.故答案为：②③④【名师指导】思路点睛：已知直线的斜率判断直线的倾斜角时，要注意直线的倾斜角的取值范围；直线的方程中含有参数时注意观察出动直线过的定点，用直线的斜率公式求出边界直线的斜率，再由题意确定动直线的斜率范围；两个完全平方和的几何意义可以看成两点的距离的平方；过定点的动直线和椭圆有公共点求参数的取值范围时，转化为解不等式即可.20．直线l的一个方向向量为，则l与直的的夹角的大小为__________.（结果用反三角表示）.【标准答案】【思路点拨】由方向向量的夹角得直线的直角（相交直线夹角为锐角或直角）．【精准解析】直线的方向向量为，设两直线夹角为，则，为锐角，∴．故答案为：．【名师指导】方法点睛：本题考查求直线的夹角，求夹角方法：（1）利用两直线的斜率，结合夹角公式计算；（2）由方向向量的夹角与两直线夹角相等或互补计算．21．（2021·上海·曹杨二中高二期末）若直线、的斜率分别是方程的两根，则、的夹角为______.【标准答案】【思路点拨】记直线、的倾斜角分别为、，且，解方程，可求得、的值，利用两角差的正切公式求出的值，即可求得结果.【精准解析】记直线、的倾斜角分别为、，且，解方程，即，解得，，所以，、均为锐角，且，，由两角差的正切公式可得，，且，可得，.因此，、的夹角为.故答案为：.【名师指导】关键点点睛：解本题的关键就是利用两角差的正切公式求出两直线夹角的正切值，同时要注意注意讨论所求角的取值范围，结合正切值求出所求角.22．（2021·上海市南洋模范中学高二开学考试）直线与直线的夹角的大小等于__________；【标准答案】【思路点拨】由题得直线的倾斜角为，设直线的倾斜角为，且，设直线与直线的夹角为，解方程即得解.【精准解析】由题得直线的倾斜角为，设直线的倾斜角为，且，设直线与直线的夹角为，所以，所以故答案为：三、解答题23．（20202021年上海·南洋中学高二期中）正方形的中心为，其一边所在直线的斜率是2，并且此正方形的面积是20，求这个正方形各边所在直线的方程.【标准答案】，，，.【思路点拨】由直线的平行、垂直关系，可设出正方形的边所在的直线方程，由点到直线的距离公式，求得相应的系数，即可求解.【精准解析】设正方形的边长为，因为正方形的面积为，可得，解得，又由其一边所在直线的斜率是2，设这两边所在的直线方程为，因为正方形的中心为，由点到直线的距离公式，可得，解得或，此时直线的方程为或；设另外两边的直线方程为，由点到直线的距离公式，可得，解得或，此时直线的方程为或.【名师指导】根据两直线平行或垂直关系设方程的方法：1、平行于已知直线的直线方程，可得设为是参数，且；2、垂直与已知直线的直线方程，可得设为是参数.24．（20202021年上海市大同中学高二期中）直线到点的距离为4，且和直线相交成45°角，求的方程.【标准答案】，，，.【思路点拨】直线和直线相交成角，得到直线的斜率，再由直线到点的距离为4得到直线方程.【精准解析】设直线的倾斜角为，由题意知直线的斜率存在且设为，设直线的倾斜角为，所以，则，所以，或，设直线的方程为，当时，，因为直线到点的距离为4，所以，解得或，直线方程为当时，，因为直线到点的距离为4，所以，解得或，所以直线方程为，，，

【名师指导】本题考查了直线的方程，平面两条直线的夹角经常涉及到两角和与差的正切公式，要熟练掌握其性质并能正用和逆用.25．（20202021年上海市行知中学高二期中）已知直线.（1）若直线过点，试写出直线的一个方向向量；（2）若实数，求直线的倾斜角的取值范围.【标准答案】（1）直线的一个方向向量为；（2）.【思路点拨】（1）将A代入直线l方程求a，写出直线方程即可得l的方向向量；（2）由直线方程得斜率，讨论a并利用基本不等式求k的范围，进而可得倾斜角的范围.【精准解析】（1）把代入直线的方程，得，解得，此时直线的方程为，故直线的一个方向向量为；（2）因为，所以直线的斜率，∴当时，当且仅当时等号成立；当时，当且仅当时等号成立；综上有，可得倾斜角.【名师指导】结论点睛：1、直线的方向量为或.2、倾斜角与斜率k的关系：或.26．设常数，已知直线，.（1）若，求a的值；（2）若，求与的距离；【标准答案】（1）；（2）.【思路点拨】（1）根据两直线垂直的条件求参数值；（2）由平行的条件求得参数值，两方程中的系数分别化为相同，然后由平行间距离公式计算．【精准解析】（1）由题意，解得；（2）由两条平行显然，因此，解得或，时，两直线方程均为，不合题意，时，方程为，即，方程为，即，所求距离为．【名师指导】易错点睛：本题考查由两直线平行与垂直求参数，考查平行间距离公式．在已知平行求参数时，一般在求得参数值时需要进行检验，剔除两直线重合的情形，这是易错点．27．（20202021年上海市嘉定区第一中学高二期中）设直线与直线，为实数（1）若，求，之间的距离:（2）当时，若光线沿直线照射到直线上后反射，求反射光线所在的直线的方程.【标准答案】（1）；（2）.【思路点拨】（1）由两条直线平行可构造方程组求得，从而得到方程，利用平行直线间距离公式可求得结果；（2）联立与方程，得到交点坐标，利用到角公式可求得斜率，由直线点斜式方程可整理得到结果.【精准解析】（1），，解得：，，即，与之间的距离；（2）当时，，设与交于点，由得：，；与关于直线对称，设斜率为，则，解得：，方程为：，即.28．（20202021年上海市嘉定区第一中学高二期中）设、、、，过点作直线，设直线的斜率为，（1）当点到直线的距离最远时，写出直线的点法向式方程；（2）若直线分别交线段和线段于（两点不重合），求实数的取值范围；（3）在（2）的条件下，设的面积为，试将表示为的函数式为【标准答案】（1）；（2）；（3）.【思路点拨】（1）根据距离最远时可得为直线的法向量，由此可得点法向式方程；（2）根据图象可确定，利用两点连线斜率公式求得临界值后即可得到所求范围；（3）将方程与直线方程联立可得两点坐标，由两点间距离公式可求得，利用点到直线距离公式可求得原点到直线距离，代入三角形面积公式，化简得到结果.【精准解析】（1）当点到直线距离最远时，，即是直线的法向量，直线的点法向式方程为：；（2）若直线与线段，均有交点且交点不重合，则由图象可知：，，，的取值范围为；（3）设直线，即，由（2）知：；又直线：；直线；由得：，即，同理可得：，，又原点到直线距离，，又，，；29．（2021·上海·复旦附中青浦分校高二阶段测）如图，一个湖的边界是圆心为0的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径），规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA，规划要求∶线段PB、QA.上的所有点到点O的距离均不