2018学年高中数学人教A版选修2-3含解析

1.3.2二项式定理(二)

课前导引

问题导入

今天是星期一，再过351天是星期几？

思路分析：35田7=(28-1)17

17|6

-28-C'7-28+-+^-28-(-1)+C；；

=28[Cp-2816-Cp-28I5+-+C27-(-1)]+1

前边是7的整数倍，故再过351天是星期二.

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1.在近似计算中，对于二项展开式各项的取值要按精确度的要求处理；

2.利用二项式定理证明不等式时，要注意利用数列求和及放缩的方法；

3.解决整除性问题，即是把其中一个式子展开，使其展开后的各项均能被另一个式子整除即

可.

1.3.3“杨辉三角”与二项式系数的性质

课前导引

问题导入

问题：某城市的街道纵横织成方格网（如图），行人只能在街道上行走，方向规定朝东

或朝南前行，某同学欲从A处前往B处，试问有多少种走法？

思路分析：将图中的最小正方形的每一边看作一个小段，显然学生从A到B无论怎么走都

必须走完8个小段，其中向东走过4个小段，向南走过4个小段，至于是先向东还是先向南,

抑或忽东忽南，但凭兴之所致.于是问题转化为“从8个不同元素（8个小段）中选出4个（向

东的4段）不同元素的组合有多少个？”故知有走法C4g=70种.

B

如果把从A处出发到方格网的每一个结点处的走法标在图上，并将方格网绕A点按顺时针

方向旋转45。，观察新的网格图，你从中发现了什么？如果把方格网数进一步扩大，你能得

到从A到B的走法吗？

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1.对称性.源于组合数的性质"C："=C；'"”.从"C：=C：=1”开始，然后左右向中间靠拢，便有

2.增值性与最大值.当n为偶数时，（a+b）11的展开式有n+1项，n+1是奇数，这时展开式的形

式是

△

前2项后一项

22

中间一项是第^fi+i项，它的二项式系数是它-是所有的二项式系数中的最大者•

2

当n为奇数时，（a+b）”的展开式共有n+1项，n+1是偶数，这时展开式的形式是

△△……△

乂〃+1.「g〃+1H

前——+1项第——项

22

九△……△△

T'''

第4士1+1项前四」项

22

中间两项是第C"+1、/上?+」1+1项，它们的二项式系数是C—J、c,2,这两个系数相等，并

22

且是所有二项式系数中的最大者.

3.在(a+b)n展开式中令a=b=l得C：+C：+…+C；=2n；令a=l,b=-l得C，-C；+C；-C：+…

=0,二C°+C：+C：+•••=C'„+C；+2"-'这种由一般到特殊的方法是“赋值法”.

4.杨辉三角中蕴含的规律：+c：,c：=c;r等.

2.1离散型随机变量及其分布列

2.1.1离散型随机变量

课前导引

问题导入

两位同学做抛硬币试验，同时抛两枚.若两枚硬币都正面向上，则甲胜；若两枚硬币一

枚正面向上，一枚反面向上，则乙胜.你认为谁能取胜？

思路分析：同时抛两枚硬币有正、正，正、反，反、正和反、反四种不同的结果，而甲只占

其中一种，乙占两种.因此，乙取胜的可能性更大.

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1.随机变量：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.随机变量常用字母x,y£，n来表

示.

2.所谓随机变量，那是随机试验的试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人

为建立起来的，但又是客观存在的.这与小数概念的本质是一样的，只不过在函数概念中，

函数f(x)的自变量x是实数，而在随机变量的概念中，随机变量&的自变量是试验结果.

3.离散型随机变量

如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫离散型随

机变量.

4.连续型随机变量

如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量.

2.1.2离散型随机变量的分布列

课前导引

问题导入

南方某气象局对本地7月份的气温进行统计

对日平均气温出现的概率列表如下：

自(℃)323334353637383940

P0.10.20.250.150.10.080.070.030.02

你能发现表中数据的规律吗？

思路分析：表中数据有两个规律:

(1)第二行中的每个数都大于0;

(2)第二行各数据之和等于1.

(1)pi>0i=l,2…;

(2)pi+p2+…=1.

3.两点分布列

像

X01

P1-PP

这样的分布列叫做两点分布列,如果随机变量x的分布列为两点分布列，就称x服从两点分

布，而称p=P(X=l)为成功概率.

4.超几何分布列

一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件｛X=k｝发

生的概率为

%〜-用

P(X=k)=k=0,l,2,…,m,其中m=min{M,n},S.n<N,M<N,n,M,NeN*.

~cT

称分布列

X01•••m

/~>\「八-1

P・・・

为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分

布.

2.2二项分布及其应用

2.2.1条件概率

课前导引

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为了了解某地区参加会计资格考试的1005名考生的成绩，打算从中抽取一个容量为50的

样本，现用系统抽样的方法，需要从总体中剔除5个个体，在整个抽样过程中，求

(1)每个个体被剔除的概率；

(2)每个个体不被剔除的概率；

(3)每个个体被抽取的概率分别是多少？

思路分析：(1)由于每个个体被剔除的概率是相等的，于是每个个体被剔除的概率为51005.

(2)每个个体不被剔除的概率为1一二一=幽.(3)一个个体被抽到等价于这个个体不

10051005

被剔除，并且被抽到.因此每个个体被抽到的概率为U她xWL=.

100510001005

解析：设事件A：考生a被剔除；事件B：考生a不被剔除；事件C：考生a被抽取.从1005

中随机抽取5个共有G盆5种结果，每一种结果出现的可能性相等.

(1)事件A包含种结果，由等可能事件的概率公式得：P(A)=@=H—;

G0051005

(2)由对立事件的概率的公式得:

1000

P(B)=1-P(A)=

1005

(3)从不被剔除的1000个考生中抽取50个个体，由等可能事件的概率公式得每个个体被

45

抽取的概率：P(C)=cT~C^'=__,考生a被抽到是在不被剔除的条件下从1000个考

CfoooI。。。

生中被抽到.

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1.条件概率的定义：

一般地，设A,B为两个事件，且P(A)>0,称

/(AB)

P(B|A)

P(A)

为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率.

2.条件概率的性质:0<P(B|A)<1

3.如果B和C是两个互斥事件，则P(BUC|A)=P(B|A)+P(C|A)

2.2.2事件的相互独立性

课前导引

问题导入

有A,B两个盒子，A中有3个黑球，2个白球，B中有4个红球，5个白球，从这两个盒

子中分别摸出1个球，它们都是臼球的概率是多少？

思路分析:因为。中含45个基本事件,而事件“两个球都是白球”含10个基本事件.因而p=W.

如果我们从另外一个角度分析，从A中摸出1白球的概率为p尸士，从B中摸出一白球的

5

概率P2=^，则PlXp2=^.这时plXp2=p,这两个计算结果相等！这难道是巧合吗？如何解

释？

思路分析：从A中摸出1个球有5种等可能的结果，从B中摸出1个球有9种等可能的结

果，于是从两个盒子中各摸出1个球，共有5x9=2种等可能的结果，而从两个盒子中各摸

5

出1个白球共有2x5=10种结果，故由古典概率公式有所求概率P=120=W2.

459

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1.事件的相互独立性：

设A、B为两个事件，如果P(AB)=P(A)P(B),则称事

件A与事件B相互独立.可能证明，如果A与B相互独

立，那么A与B,A与B,A与8也都相互独立.

2.说明：

判断两个事件的相互独立性时.，常常通过对事物本质进行分析就能知道，而无需用定义判断.

2.2.3独立重复试验与二项分布

课前导引

问题导入

甲、乙两名围棋手进行比赛，已知每一局甲获胜的概率是0.6,乙获胜的概率是0.4,比赛

时可采用三局两胜或五局三胜制，问在哪一种比赛制度下，甲获胜的可能性较大？

思路分析:在三局两胜下：甲获胜的情况有：两局全胜：三局中前两局一胜一负、第三局胜.

则甲获胜的概率为Pi=0.62+C\x0.6x0.4x0.6=0.648.

在五局三胜中：甲获胜的情况有：三局全胜；四局中前三局二胜一负，第四局胜；5局中前

4局二胜二负，第五局胜，则甲获胜的概率为：

3222

P2=0.6+C；0.6X0.4X0.6+C：X0.6X0.4X0.6=0.68256.

,•,Pi<P2,

五局三胜的情况下，甲获胜的可能性大.

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l.n次独立重复试验：

一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.

说明:在n次独立重复试验中，“在相同条件下''等价于各次试验的结果不会受其他试验的影

响，即

P(AlA2-An)=P(Ai)-P(A2)

-P(An)

其中Ai(i=l,2,…,n)是第i次试验的结果.

2.二项分布

一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生

的概率为P，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为：

p(x=k)=C*pk(l-p)nk,(k=0,l,2,­,n).

此时称随机变量Xio及从二项分布，记作X-B(n,p),

并称p为成功概率.

2.3离散型随机变量的均值与方差

2.3.1离散型随机变量的均值

课前导引

问题导入

设有m升水，其中含有大肠杆菌n个，今取1升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为

X,求X的均值.

思路分析：任取1升水，此升水中含一个大肠杆菌的概率是,，事件“X=k”发生，即n个

m

大肠杆菌中恰有k个在此升水中，由n次独立重复试验中事件A(在此升水中含一个大肠杆

菌)恰好发生k次的概率计算解法可求出P(x=k),进而可求EX.

解析：记事件A：“在所取的1升水中含一个大肠杆菌”，则P(A)

m

；.P(X=k)=C^(—)k-(l--)n-k(k=0,l,2,…,n)

mm

.1,,1n

XB(n,—)，故EX=nx—二—

mmm

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1.均值：

一般地，若离散型随机变量X的分布列为

•••・・・

XxiX2XiXn

・・・・・・

pPiP2PiPn

则称EX=X|P1+X2P2+…+XiPi+…+XnPn为随机变量X的均值或数学期望.

若Y=aX+b淇中a,b为常数，则Y也是随机变量，E(aX+b)=aEX+b.

2.两点分布的均值

一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么EX=1xp+Ox(1-p)=p.

于是若X服从两点分布，则EX=p.

3.二项分布的均值

若X—B(n,p),贝EX=np.

2.3.2离散型随机变量的方差

课前导引

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随机变量的期望显示了随机变量取值的平均水平，但这还不足以描述随机变量的其它特

征.在许多实际问题中，除了考虑随机变量的期望，还要研究它的各个值与平均值之间的离

散程度.而方差就反映出了随机变量与平均值之间的差别程度.

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1.方差、标准差.

设离散型随力机变量X的分布列为

.・•・・・

XX1X2XiXn

•・・・・・

PPlP2PiPn

则(Xi-EX＞描述了Xi(i=l,2，…,n)相对于均值EX的偏离程度.而DX=£(X,-欧尸耳为这

N=1

些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度，我们称DX为随

机变量X的方差，其算术平方根J万7为随机变量X的标准差，记作©X.

2.随机变量函数的方差

对随机变量函数丫=2*+g、b的常数)而言，EY=E(ax+b尸aEX+b,则DY=a?DX

3.两点分布与二项分布的方差

⑴若X服从两点分布,则DX=p(p-p)

⑵若X一B(n,p),则DX=npq(q=l-p).

2.4正态分布

课前导引

问题导入

正态分布在实际生产、生活中有着广泛的应用，很多变量，如测量的误差、产品的尺过

等服从或近似服从正态分布，利用正态分布的有关性质可以对产品进行假设检验.

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1.正态分布密度曲线与正态分布

1"7)2

我们称<Pu,3(8尸2〃[xG(-oo,+oo),其实实数口和6(6>0)为参数]的图象(如图)

后§

为正态分布密度曲线，简称正态曲线.

一般地，如果对于任何实数a<b,随机变量X满足P(aVXSb)=f夕“，(x)dx,则称X的分布

为正态分布.正态分布完全由参数H和3确定，因此正态分布常记作N(u,82).

如果随机变量X服从正态分布，

则记为X—N(山¥),

若X—NM52),则X的均值与方差分别为EX寸,DX=£

2.正态曲线的性质

(1)曲线在x轴上方，与x轴不相交.

(2)曲线关于直线x=p对称.

(3)当x寸时曲线处于最高点，当x向左、向右无限延伸时，曲线不断地降低，呈现出“中

间高、两边低”的钟形曲线.

(4)当x<p时，曲线上升；当x>R时，曲线下降，并且当曲线向左、右两边无限延伸时，

以x轴为渐近线，向x轴无限靠近.

(5)当N一定时，曲线的形状由3确定，3越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散;

3越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.

(6)当3相同时，正态分布曲线的位置由均值H所决定.设x是一个服从正态分布的随机变

量，则对任意的数a>0及b,ax+b仍旧是一个服从正态分布的随机变量.

3.正态分布与标准正态分布

(1)正态分布与标准正态分布

।

①如果随机变量X的概率函数为(p(x)=-=e2(-8<x<+oo),则称X服从标准正态分布，

即X—N(0>1).

②正态分布的密度函数

若X—N(O,1),则X的分布函数,通常用(p(x)表示,且有<p(x)=P(X3o).

对于一,切xNO,(p(x)的值可在标准正态分布表中查到；对于x<0的甲(x)值，可用<p(x)=l-<p

(-x)求出.

若X—N⑺，S2)则X的分布函数通常用F(x)表示，且有P(X<oo)=F(x)=(p(^—

5

③P(a<xWb)的计算

若X一N(0,1),则P(aVX£b)=(p(b)-<p(a),即通过查标准正态分布表中x=a,x=b时的s(x)

值，可计算概率P(a<X@).

(2)标准正态分布与一般正态分布的关系

①若X—N(n，<?),则Y=^^—N(0』).

(7

…/b-ua-u

②若X—N(%(?),则p(a<X<b)=F(b)-F(a)=0>(—竺)-0)(一二)，

(J(J

即通过查标准正态分布表中x=9二幺,x=e上的<p(x)值，可计算服从N(H，。2)的随机

aa

变量X取值在a与b之间的概率.

4.假设检验的基本思想与生产过程中质量控制图

(1)假设检验

假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：

①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分成N(g,o2).

②确定一次试验中的取值a是否落入范围(N-3G，N+3G).

③作出推断：

如果ae(n-3(j，n+3G),接受统计假设.

如果ae"3w+3。),由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.

(2)生产过程中质量控制图及其原理.

质量控制图是进行质量管理的有力工具，是根据假设检验的基本思想制作的将正态分布曲线

(如图1)顺时针旋转90。即可得到控制图，如图2所示.

图1中的直线X=H，X=|>3C,X=N+3G分别成为图2中的中心线.控制下界和控制上界.在生产过

程中，从某一时刻(例如凌晨1时)起，每隔1小时，对检验对象任取1个进行检查，并把

结果用圆点在图2上表示出来，为了便于考查圆点的变动趋势，常用折线把它们连接起来，

考点在控制界内，服从假设;否则，要拒绝假设.

3.1回归分析的基本思想及其初步应用

课前导引

问题导入

函数关系是一种确定性关系，而相关关系则是一种非确定性关系.回归分析是对具有相

关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.本节我们将在数学3模块的基础上进一步

讨论回归分析的基本思想及初步应用.

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1.样本点的中心

对于一但具有线性相关关系的数据(xi,力),(x2,y2),-,(xn,yn),我们知道其回归方程的截

距和斜率的最小二乘估计公式分别有：

a=y-bx

_

—x)(y,.—y)

b/=1_______________

t(七-才

/=l

其中嚏

(8,y)称为____________

注：回归直线过样本点的中心.

2.线性回归模型

y=bx+a+e

这里a和b为模型的未知参数，e是y与亍=bx+a之间的误差.通常e为随机变量，称为随机

误差，它的均值E(e)=0,方差D(e)=W>0.这样线性回归模型的完整表达式为：

y=by+a+e

〈2⑶

E(e)=0,D(e)=<J~

说明：在线性回归模型(3)中，随机误差e的方差，越小，通过回归直线$=bx+a预报真

实值y的精度越高.随机误差是引起预报值£与真实值y之间的误差的原因之一，其大小取

决于随机误差的方差.

另一方面，由于公式(1)和(2)中6和3为截距和斜率的估计值，它们与真实值a和b之

间也存在误差，这种误差是引起预报值y与真实值y之间误差的另一个原因.

3.残差(residual)

皂i=yi-y^yi-bXj-a,i=l,2,—,n,

自称为相应于点3,y。的残差.类比样本方差估计总体方差的思想，可以用3?=

1",1八

——»,=——Q",")(n>2)作为的估计量，其中&和〃由公式(1)(2)给出，Q

几一2Mn-2

(a,b)称为残差平方和(residualsumofsquares).可以用a2衡量回归方程的预报精度.通

常，I?越小，预报精度越高.

4.残差分析

在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来精略判断它们是否线性相关，是否可

以用线性回归模型来拟合数据.然后，可以通过残差

来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据.这方面的分析工作称为残差分

析.

5.残差图

我们可以利用图形来分析残差特性.作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，

或身高数据，或体重的估计值等，这样作出的图形称为残差图.下图是以样本编号为横坐标

的残差图.

从图中可以看出，第1个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集这两个

样本点的过程中是否有人为的错误.如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线

性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因.另外，残差点比较

均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适.这样的带状区域的宽度越窄，说

明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高.

另外，我们还可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是:

少）2

R2=l+

/=1

显然，R2取值越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好.在线性回归模

型中，R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率.R2越接近于1,表示回归的效果越好(因

为R2越接近于1,表示解释变量和预报变量的线性相关性越强).如果对某组数据可能采取

几种不同的回归方程进行回归分析，也可以通过比较几个R?,选择R2大的模型作为这组数

据的模型.

6.建立回归模型的基本步骤

(1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存

在线性关系等)；

(2)画出确定好的解释变量和预报变量，哪个变量是预报变量；

(3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈现线性关系，则选用线性回归方程

y=bx+a)；

(4)按一定规则估计回归方程中的参数(如最小二乘法)；

(5)得出结果后分析残差图是否有异常(个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规

律性等等)；若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等.

7.比较拟合效果的基本步骤

一(1)

对于给定的样本点(xi,yi),(X2,y2),…,(Xn,yn)，两个含有未知参数的模型y=f(x,a)和

其中a和b都是未知参数.可以按如下的步骤来比较它们的拟合效果：

(1)分别建立对应于两个模型的回归方程V)=f(x,4)与5^)=g(x,/；)，其中6和3分别是参

数a和b的估计值；

(2)分别计算两个回归方程的残差平方和。⑴=f(%-亚))2与。⑵=£(%一少⑵)2；

z=lJ=1

(3)若0⑴<02),则V)=f(x,4)的效果比W2)=g(x,3)的好；反之，5^=f(x,&)的效果不

如夕2)=g(X,5)的好.

3.2独立性检验的基本思想及其初步应用

课前导引

问题导入

在现实生活中，存在大量分类变量，它们之间到底存在什么关系？两个变量之间是否有

影响，这是我们所关心的问题，解决这类问题可用独立性检验的基本思想.

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1.分类变量

对于性别变量，其取值为男和女两种.这种变量的不同”值”表示个体所属的不同类别，

像这类变量称为分类变量.

2.列联表

为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果

（单位：人）：

吸烟与患肺癌列联表

不患肺癌患肺癌总计

不吸烟7775427817

吸烟2099492148

总计9874919965

像上表这样列出的两个分类变量的频数表，称为列联表.

3.独立性检验

这种利用随机变量K2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个

分类变量的独立性检验.

独立性检验的基本思想类似于反证法.要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程

度，首先假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立，在该假设下构造的

随机变量片应该很小.如果由观测数据计算得到的片的观测值k很大，则在一定程度上说

明假设不合理.

4.判断结论成立的可能性的步骤

一般地，假设有两个分类变量X和Y,它们的值域分别为［xi,xj和［yi，y”，其样本频数列

联表（称为2x2列联表）为：2x2列联表

yiY2总计

X1aba+b

X2cdc+d

总计a+cb+da+b+c+d

若要推断的论述为

Hi：“X与Y有关系”，

可以按如下步骤判断结论H,成立的可能性：

（1）通过三维柱形图和二维条形图，可以粗略地判断两个分类变量是否有关系，但是这种

判断无法精确地给出所得结论的可靠程度.

①在三维柱形图中，主对角线上两个柱形高度的乘积ad与副对角线上的两个柱形高度的乘

积be相差越大，Hi成立的可能性就越大.

②在二维条形图中，可以估计满足条件X=xi的个体中具有Y=yi的个体所占的比例一3一，

a+b

也可以估计满足条件X=X2的个体中具有Y=yi的个体所占的比例一^.两个比例的值相差

c+d

越大，X成立的可能性就越大.

(2)可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断

的可靠程度.具体做法是：根据观测数据计算由K2=---------------------------------------给出的检验

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

随机变量K2的值k,其值越大，说明“X与Y有关系”.成立的可能性越大.当得到的观测数据

a,b,c,d都不小于5时，可以通过查阅下表来确定结论“X与Y有关系”的可信程度.

P(K2>k)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001

k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

说明：当观测数据a,b,c,d中有小于5时，需采用很复杂的精确的检验方法.

数学人教版A2-3模块测试

（时间：120分钟，满分：150分）

一、选择题（每小题5分，共60分）

1.某次语文考试中考生的分数X〜N（80,100），则分数在60〜100分的考生占总考生数

的百分比是（）.

A.68.26%B.95.44%C.99.74%D.31.74%

2.已知x,y之间的一组数据

X1.081.121.191.28

y2.252.372.402.55

x与y之间的线性回归方程&+必过（）.

A.（0,0）B.（1.1675,0）C.（0,2.3925）D.（1.1675,2.3925）

3.由数字0,1,2,3,5组成的没有重复数字的三位奇数的个数为（）.

A.60B.48C.36D.27

4.12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分

配方案有（）种.

A.C〉"B.3CiC;C：C.C〉C；.C：.A；D..fC

A3

5（«+蛾）展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）.

A.180B.90C.45D.360

6.已知(x+5/2严=〃0+。述+〃2«+…则(。0+〃2+〃4+〃6+〃8+。10)2—(。］+〃3

+的+。7+。9）2的值为（）.

A.0B.1C.-1D.2

7.小明同学在网易上申请了一个电子信箱，密码由4位数字组成，现在小明只记得密

码是由2个6』个3,1个9组成，但忘记了它们的顺序.那么小明试着输入由这样4个数组

成的一个密码，则他恰好能输入正确进入邮箱的概率是（）.

1111

A.-B.一CD.—

68n24

8.已知随机变量X服从二项分布，X〜B[6,‘

，则P（X=2）等于（).

\3）

341380

A.—B.C.-----D.-----

16243243243

9.将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同"，B=“至少出现一个6

点”,则概率尸（A|3）等于（）.

10.6个电子产品中有2个次品，4个合格品，每次从中任取一个测试，测试完后不放

回，直到两个次品都找到为止，那么测试次数X的均值为（）.

1711514

A.—B.——c.D.——

151533

3|

11.设某批电子手表正品率为巳，次品率为一,现对该批电子手表进行测试，设第X

44

次首次测到正品，则P（X=3）等于（）.

3

A.C；xC-D

Q'I)7-©4

12.抛一枚均匀硬币，正反面出现的概率都是反复这样投掷,数列｛斯｝定义如下:

2

1,第〃次投掷出现正面，

7、金几L一工n｝=若S,尸G+Z+…+m（〃eN*）,则事件“S8=2”的概率,

-1,第〃次投掷出现反面，

事件“S2#0,&=2”的概率分别是（）.

1137137111

A.---,---B.—,---C.—,---D.---,----

2561283212832256256256

二、填空题（每小题4分，共16分）

13.设随机变量4的概率分布列为4^=©=上，无=0,1,2,3,则P《=2）=.

k+l

14.有4名男生，3名女生排成一排，若3名女生中有2名站在一起，但3名女生不能

全排在一起，则不同的排法种数有.

15.（2012课标全国高考，理15）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1

或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命（单

位：小时）均服从正态分布Ml000,5（）2）,且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的

使用寿命超过1000小时的概率为.

i-TxW-|.,

—_1兀件31—

4W2]-1

2

16.甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队获胜的概率是一，没有平局，

3

若采用三局两胜制比赛，即先胜两局者获胜且比赛结束，则甲队获胜的概率等于.

三、解答题（共6小题，共74分）

17.（12分）已知G蛙）的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所

有的有理项.

18.（12分）在研究某种新药对小白兔的治疗效果时，得到如下数据：

存活数死亡数合计

未用新药10138139

用新药12920149

合计23058288

试分析新药对治疗小白兔是否有效？

19.（12分）某休闲场馆举行圣诞酬宾活动，每位会员交会员费50元，可享受20元的消

费，并参加一次抽奖活动，从一个装有标号分别为123,4,5,6的6只均匀小球的抽奖箱中，

有放回的抽两次球，抽得的两球标号之和为12,则获一等奖价值〃元的礼品，标号之和为

11或10,获二等奖价值100元的礼品，标号之和小于10不得奖.

(1)求各会员获奖的概率；

(2)设场馆收益为X元，求X的分布列；假如场馆打算不赚钱，”值可设为多少元？

20.(12分)假设关于某设备使用年限x(年)和所支出的维修费用)(万元)有如下统计资料:

X23456

y2.23.85.56.57.0

若由资料知，＞对x呈线性相关关系，试求：

(1)回归直线方程；

(2)估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？

21.(12分)现在要对某个学校今年将要毕业的900名高三毕业生进行乙型肝炎病毒检验，

可以利用两种方法.①对每个人的血样分别化验，这时共需要化验900次；②把每个人的血

样分成两份，取其中m个人的血样各一份混合在一起作为一组进行化验，结果为阴性，那

么对这〃，个人只需这一次检验就够了；结果为阳性，那么再对这，"个人的另一份血样逐个

化验，这时对这根个人一共需要加+1次检验.据统计报道，对所有人来说，化验结果为阳

性的概率为0.1.

(1)求当机=3时，一个小组经过一次检验就能确定化验结果的概率是多少？

(2)试比较在第二种方法中，朋=4和m=6哪种分组方法所需要的化验次数更少一些？

22.(14分)一次小测验共有3道选择题和2道填空题，每答对一道题得20分，答错或

不答得0分.某同学答对每道选择题的概率均为0.8,答对每道填空题的概率均为0.5,各道

题答对与否互不影响.

(1)求该同学恰好答对2道选择题和1道填空题的概率；

(2)求该同学至多答对4道题的概率；

(3)若该同学已经答对了两道填空题，把他这次测验的得分记为X,求X的概率分布列

及数学期望.

参考答案

1答案：B解析：由题意得幺=80,<7=10,//-2<7=60,/Z+2<7=100,

二60~100分之间的考生占总考生数的百分比是95.44%.

2答案：D解析：回归直线过样本中心点丘，y).

Vx=1.1675,y=2.3925,

1=&+晟必过点(1.1675,2.3925).

3答案：D解析：先从1,3,5选一个排在末位数，再从剩余的除0之外的3个数中选一

个排在首位，最后从剩余的3个数中选一个排在十位上，共有C；・C；・C；=27个三位奇

数.

4答案：A解析：第一个路口需要4人，有C：2种方案，再从剩下的8人中送4人到

第2个路口，有C；种方案，剩下的4人到第3个路口，，共有C：2-C；・C：种分配方案.

n

5答案:A解析：由题意〃为偶数，且一+1=6,.\«=10.

2

5—r

=C；°-2F2

的展开式的通项为.•.当r=2时,

得常数项为C；。22=180.

6答案：B解析：令x=l,得俏+ai+a2H-----Faio=(l+V2)10.

令x=-1,得如一0+痣-a3H------49+aio=(、Q-I)10.

二(的+俏+田+熊+制+0。)？一(0+/+/+的+内)？

=(如+。］+。2+…+。10)3()—41+。2—的+…+。8一〃9+。10)=(1+5/2)10-(1—)1°=1.

7答案：C解析：由2个6,1个3,1个9这4个数字一共可以组成—=12种不同的

A；

密码顺序，因此小明试着输入由这样4个数组成的一个密码，他恰好能输入正确进入邮箱的

概率是尸=―