浙江省温州市七校联考2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.抛物线y=(x-2A.直线x=-2 B.直线x=2 C.直线x=-3 2.下列事件中，是必然事件的是(

)A.任意抛掷一枚硬币，出现正面朝上

B.从1、3、5、7、9这5张卡片中任抽一张是偶数

C.投掷一枚普通骰子，朝上一面的点数是6

D.从装有一个黄球三个红球的袋子中任取两球，至少有一个是红球3.二次函数y=x2的图象向右平移3个单位，向下平移2个单位，得到新的图象的函数表达式是A.y=(x+3)2+2 B.y4.如图，点A，B，C在⊙O上，∠BOC=60∘，则∠A.15∘

B.30∘

C.45∘5.二次函数y=ax2+bx+cA. B.

C. D.6.小明所在的班级有20人去体育场观看演出，20张票分别为A区第10排1号到20号.采用随机抽取的办法分票，小明第一个抽取得到10号座位，接着小亮从其余的票中任意抽取一张，取得的一张恰与小明邻座的概率是(

)A.219 B.119 C.1207.如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径.若∠ABC=50∘，AD的度数为70A.65∘

B.70∘

C.75∘8.巴黎奥运会上，一个运动员踢足球.若球的飞行高度y米与水平距离x米之间的函数关系式为y=-150(x2A.6 B.8 C.10 D.129.如图，在正方形纸片ABCD中，点M，N在AD上，将纸片沿BM，CN折叠，折叠后使点A和点D重合于点I.△IBC的外接圆分别交BM，CN于点P，Q.若AB=63，则A.6π

B.2π

C.310.如图，已知抛物线y1=-2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2.若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2.

例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1<y2，此时MA.①② B.①④ C.②③ D.③④二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.⊙O半径为4，点A到点O距离为3，则点A在⊙O______(填“上”“内”或“外”).12.请写出一个开口向上且顶点坐标为(0,1)的抛物线的解析式______.13.生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码的生成原理是用特定的几何图形按编排规律在二维方向上分布，采用黑白相间的图形来记录数据的符号信息.九年级学生王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为9cm2，他在该二维码上随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为______

14.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x=-1，与x轴的一个交点为

15.一面墙上有一个矩形门洞，其中宽为1.5米，高为2米，现要将其改造成圆弧型门洞(如图)，则改造后圆弧型门洞的最大高度是______.

16.我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”，现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形(如图)，则阴影部分的面积是______.

三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

如图，△AOB的顶点都在边长为1的正方形组成的网格格点上，A(-1,3)，B(-2,2).

(1)将△AOB绕点O顺时针旋转90∘得到△A1OB1，作出旋转后的△A1O18.(本小题8分)

在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n1001502005008001000摸到白球的次数m5996b295480601摸到白球的频率ma0.640.580.590.600.601(1)上表中的a=______，b=______；

(2)“摸到白球的”的概率的估计值是______(精确到0.1)；

(3)如果袋中有1219.(本小题8分)

如图，已知抛物线y=-x2+mx+3经过点M(-2,3)。

(1)求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标；

(2)20.(本小题8分)

如图，⊙O的直径BC为6cm，弦AC为3cm，∠CAB的平分线交⊙O于点D.

(1)求∠CBD的度数；

21.(本小题8分)

如图，将球从点O的正上方3m的点A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=-14x2+bx+c.

(1)若当小球运动的水平距离为1m时，小球达到最大高度，求小球达到的最大高度.

(2)若小球的正前方4m(22.(本小题10分)

如图1所示，草坪上的喷水装置PA高1m，喷头P一瞬间喷出的水流呈抛物线状，喷出的抛物线水流在与喷水装置PA的水平距离为4m处，达到最高点C，点C距离地面259m.

(1)请建立适当的平面直角坐标系xOy，求出该坐标系中水流所呈现的抛物线的解析式；

(2)这个喷水装置的喷头P能旋转220∘，它的喷灌区域是一个扇形，如图2所示，求出它能喷灌的草坪的面积(π取3，结果保留整数23.(本小题10分)

请根据以下素材，完成探究任务.制定加工方案生产背景背景1◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式.

◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件.

◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等.背景2每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为：

①“风”服装：24元/件；

②“正”服装：48元/件；

③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元.信息整理现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下：服装种类加工人数(人)每人每天加工量(件)平均每件获利(元)风y224雅x1正148探究任务任务1探寻变量关系求x、y之间的数量关系.任务2建立数学模型设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式.任务3拟定加工方案制定使每天总利润最大的加工方案.24.(本小题12分)

如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上(不与点A，B重合)，点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G，设∠GAB=ɑ，∠ɑ30405060β120130140150γ150140130120猜想：β关于ɑ的函数表达式，γ关于ɑ的函数表达式，并给出证明；

(2)若γ=135∘，CD=3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求答案和解析1.【答案】B

【解析】解：因为抛物线解析式y=(x-2)2+3是顶点式，顶点坐标为(2,3)，所以对称轴为直线x2.【答案】D

【解析】解：A、任意抛掷一枚硬币，出现正面朝上是随机事件，不符合题意；

B、从1、3、5、7、9这5张卡片中任抽一张是偶数是不可能事件，不符合题意；

C、投掷一枚普通骰子，朝上一面的点数是6是随机事件，不符合题意；

D、从装有一个黄球三个红球的袋子中任取两球，至少有一个是红球是必然事件，符合题意．

故选：D.

根据随机事件的定义对各选项进行逐一分析即可．

3.【答案】D

【解析】解：二次函数y=x2的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的图象的函数表达式是y=(x-34.【答案】B

【解析】解：∠BAC=12∠BOC=5.【答案】B

【解析】解：A、函数值3不是最小值，故本选项不符合题意；

B、x=2时有最小值3，故本选项符合题意；

C、x=2时有最大值3，故本选项不符合题意；

D、函数有最大值2，故本选项不符合题意．

故选：B.

6.【答案】A

【解析】解：因为与10号座位相邻得有2个座位，

所以小亮从其余的票中任意抽取一张，取得的一张恰与小明邻座的概率为219.

故选：A.

7.【答案】C

【解析】解：如图，连接OA、OC，

由题意知∠AOD=70∘，

∵AC=AC，

∴∠AOC=2∠ABC=100∘，

∴∠COD=∠AOC-∠AOD=30∘，

∴∠BOC=180∘-∠COD8.【答案】B

【解析】解：由题意，y=-150(x2-40x)=-150(x-20)2+8，∵-150<0，9.【答案】B

【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=DC=BC=63，∠ABC=∠DCB=90∘，

由折叠得IB=AB，IC=DC，

∴IB=IC=BC=63，

∴△IBC是等边三角形，

∴∠IBC=∠ICB=60∘，

∴∠ABI=∠DCI=90∘-60∘=30∘，

∴∠PBI=∠PBA=12∠ABI=15∘，∠QCI=∠QCD=12∠DCI=15∘，

连结OP、OQ、OI，作OF⊥IC于点F，则OI=OC，∠OFI=90∘，

∴IF=CF=12IC=3310.【答案】D

【解析】解：∵当x>0时，利用函数图象可以得出y2>y1；∴①错误；

∵抛物线y1=-2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2.若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；

∴当x<0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大；∴②错误；

∵抛物线y1=-2x2+2，直线y2=2x+2，与y轴交点坐标为：(0,2)，当x=0时，M=2，抛物线y1=-2x2+2，最大值为2，故M大于2的x值不存在；

∴使得M大于2的x值不存在，∴③正确；

∵当-1<x<0时，

使得M=1时，可能是y1=-2x2+2=1，解得：x1=22，x2=-22，

当y11.【答案】内

【解析】解：∵⊙O的半径r=4，且点A到圆心O的距离d=3，

∴d<r，

∴点A在⊙O内，

故答案为：内．

根据⊙O的半径r=4，且点A到圆心O的距离d=3知d<r，据此可得答案．

本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点12.【答案】y=2x2【解析】解：设抛物线的表达式为：y=ax2+1.

由开口向上，知a>0，

故a为任意大于0的实数，如令a=2，

则抛物线的解析式为y=2x13.【答案】5.4c【解析】解：经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右

则点落入黑色部分的频率稳定在1-0.4=0.6左右，

据此可以估计黑色部分的面积为9×0.6=5.4(cm2).

故答案为：5.414.【答案】x≤-5或x【解析】解：根据图示知，抛物线y=ax2+bx+c图象的对称轴是直线x=-1，与x轴的一个交点坐标为(-5,0)，

根据抛物线的对称性知，抛物线y=ax2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x=-1对称，即抛物线y=ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与(-5,0)关于直线x=-1对称，

∴另一个交点的坐标为(3,0)，

∵不等式ax2+bx+c≤0，即y=ax2+bx+15.【答案】2.25米

【解析】解：如图所示，连接矩形门洞的对角线交于点O，过点O作OD⊥BE于点D，

∴点O为线段AB的中点，∠ACB=90∘，

∴AB为圆O的直径，

∵宽BE为1.5米，高AE为2米，

∴AB=1.52+22=2.5(米)，

∴圆的半径=12AB=1.25(米)，

∵OD⊥BE，

∴点D为BE的中点，

又∵点O为线段AB的中点，

∴OD是△BCE的中位线，

∴OD=12BC16.【答案】16-8【解析】解：如图，连接OA、OB、OC、OD，过点O作OM⊥AD，垂足为M，

由圆的对称性可知，点A、点D是⊙O的三等分点，四边形BCFE是正方形，

∴∠AOD=13×360∘=120∘，∠BOC=14×360∘=90∘，

在Rt△AOM中，OA=2，∠AOM=60∘，

∴OM=12OA=1，AM=17.【答案】解：(1)∵A(-1,3)，B(-2,2)，将△AOB绕点O顺时针旋转90∘得到△A1OB1，

∴A1(3,1)，B1(2,2)，如图，△A【解析】(1)根据题意先分别求出旋转后的点坐标，再依次连接各点即可得到本题答案；

(2)先利用勾股定理求出OB的长，再利用弧长公式即可得到本题答案．

本题考查旋转的性质，弧长公式，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．18.【答案】(1)0.59；116，

(2)0.6，

(3)12÷0.6-12=8(个).

答：除白球外，还有大约8个其它颜色的小球.

【解析】【分析】

本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．

(1)利用频率=频数÷样本容量直接求解即可；

(2)根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6；

(3)利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算白球的个数．

【解答】

解：(1)a=59÷100=0.59，b=200×0.58=116.

故答案为：0.59，116；

(2)“摸到白球的”的概率的估计值是0.6；

故答案为：0.6；

19.【答案】解：(1)把M(-2,3)代入y=-x2+mx+3得：

-4-2m+3=3，

解得m=-2，

∴y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4，

∴抛物线的顶点坐标为(-1,4)；

(2)∵y=-(【解析】(1)把点M(-2,3)代入y=-x2+mx+3得到关于m的方程，再解方程可确定抛物线解析式，在化为顶点式求顶点坐标；

(2)20.【答案】解：(1)∵BC是⊙O的直径，

∴∠CAB=90∘，

∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD=12∠CAB=45∘，

∴∠CBD=∠CAD=45∘；

(2)如图，连接OA，

∵BC=6cm，AC=3cm，∠CAB=90【解析】(1)根据角平分线及圆周角定理即可求得答案；

(2)连接OA，根据圆周角定理求得∠AOB的度数，再利用扇形面积公式及三角形面积公式计算即可．

本题考查角平分线性质，圆周角定理，勾股定理及扇形的面积，(2)中结合已知条件求得∠21.【答案】解：(1)∵小球运动的水平距离为1m时，小球达到最大高度，

∴抛物线的对称轴为：直线x=1.

∴-b2×(-14)=1.

解得：b=12.

由题意得：抛物线上点A的坐标为(0,3).

∴c=3.

∴抛物线的解析式为：y=-14x2+12x+3.

当x=1时，y=-14+12+3=134.

答：小球达到的最大高度为134m；

(2)由题意得：点F的坐标为【解析】(1)小球运动的水平距离为1m时，小球达到最大高度，那么抛物线的对称轴为：直线x=1，即可得到-b2a=1，把相关数值代入可得b的值；易得抛物线经过点A，坐标为(0,3)，那么c=3.即可判断出抛物线的解析式，进而可得x=1时，小球达到的最大的高度；

(2)抛物线经过点A，坐标为(0,3)，那么函数解析式中的c=3.易得点F和点22.【答案】解：(1)如图，依题意建立平面直角坐标系，

∵点C(0,259)为抛物形水柱的顶点，

∴设抛物线解析式为y=ax2+259，

将点P(-4,1)代入，得1=a(-4)2+259，

解得a=-19.【解析】(1)根据题意确定抛物线的顶点坐标为C(0,259)，设抛物线解析式y=ax2+259，将点P(-4,1)代入抛物线解析式求a即可；

23.【答案】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装，

∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，

∴加工“正”服装的有(70-x-y)人，

∵“正”服装总件数和“风”服装相等，

∴(70-x-y)×1=2y，

整理得：y=-13x+703；

任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：x[100-2(x-10)]，

∴w=2y×24+(70-x-y)×48+x[100-2(x-10)]，

整理得：w=(-16x+1120)+(-32x+2240)+(-2x2+120x)，

∴w=-2x2+72x+3360(x>10)，

任务3：由任务2得w=-2x2+72x+3360=-2(【解