531单调性（原卷版）

5．3．1单调性【题型归纳目录】题型一：利用导数求函数的单调区间题型二：函数图象与导函数图象的关系题型三：已知单调性求参数的取值范围题型四：判断、证明函数的单调性题型五：含参数单调性讨论情形一：函数为一次函数情形二：函数为准一次函数情形三：函数为二次函数型1、可因式分解2、不可因式分解型情形四：函数为准二次函数型【知识点梳理】知识点一、函数的单调性与导数的关系导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，①若，则在这个区间上单调递增；②若，则在这个区间上单调递减；③若恒有，则在这一区间上为常函数．反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）．知识点诠释：1、因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上，即切线斜率为正时，函数在这个区间上单调递增；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区间上单调递减；即导函数的正负决定了原函数的增减．2、若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍单调递增（减函数的情形完全类似）．即在某区间上，在这个区间上单调递增；在这个区间上单调递减，但反之不成立．3、在某区间上单调递增在该区间；在某区间上单调递减在该区间．在区间内，．．（或）是在区间内单调递增（或减）的充分不必要条件！例如：，，，而在R上递增．4、只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数．5、注意导函数图象与原函数图象间关系．知识点二、利用导数研究函数的单调性利用导数判断函数单调性的基本方法设函数在区间内可导，（1）如果恒有，则函数在内单调递增；（2）如果恒有，则函数在内单调递减；（3）如果恒有，则函数在内为常数函数．知识点诠释：（1）若函数在区间内单调递增，则，若函数在内单调递减，则．（2）或恒成立，求参数值的范围的方法——分离参数法：或．知识点三、利用导数求函数单调区间的基本步骤（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）在函数的定义域内解不等式或；（4）确定的单调区间．或者：令，求出它在定义域内的一切实数根．把这些实数根和函数的间断点（即的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内的符号．知识点诠释：1、求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集．2、求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确．知识点四：讨论单调区间问题类型一：不含参数单调性讨论（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）；（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；（3）求根做图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）；（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）；类型二：含参数单调性讨论（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）；（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；（5）导数图像定区间；【典型例题】题型一：利用导数求函数的单调区间例1．（2022·全国·高二单元测试）函数的单调减区间为__________．例2．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））设函数，若函数的图象在点处的切线方程为，则函数的单调增区间为__________．例3．（2022·全国·高二专题练习）函数的单调递增区间为__________.变式1．（2022·全国·高二专题练习）函数的单调递增区间是______________.变式2．（2022·全国·高二专题练习）函数的单调增区间为_________.变式3．（2022·吉林省实验中学高二阶段练习）函数的单调递增区间是______．【方法技巧与总结】（1）求函数的单调区间常用解不等式，函数在解集与定义域的交集上单调递减．解不等式，函数在解集与定义域的交集上为单调递增．（2）注意写单调区间时，不是连续的区间一般不能用并集符号“”．题型二：函数图象与导函数图象的关系例4．（2022·北京·牛栏山一中高二阶段练习）设是函数的导函数，在同一个直角坐标系中，和的图象不可能是（

）A． B．C． D．例5．（2022·广东·广州南洋英文学校高二期中）已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（

）A． B．C． D．例6．（2022·重庆·万州纯阳中学校高二期中）已知函数在上可导，的图象如图所示，其中为函数的导数，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．变式4．（2022·福建泉州·高二期中）已知函数的导函数为的图象如图所示，则函数的图象可能为（

）A． B．C． D．变式5．（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（文））函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象（

）A． B．C． D．变式6．（2022·四川成都·高二期中（理））函数f（x）的图象如图所示，则的解集为（

）A． B．C． D．变式7．（2022·陕西西安·高二期中（理））设是函数的导函数，将和的图象画在同一直角坐标系中，下列不可能正确的是（

）A． B．C． D．【方法技巧与总结】（1）函数的单调性与其导函数的正负之间的关系：在某个区间内，若，则在上单调递增；如果，则在这个区间上单调递减；若恒有，则是常数函数，不具有单调性．（2）函数图象变化得越快，的绝对值越大，不是的值越大．题型三：已知单调性求参数的取值范围例7．（2022·全国·高二单元测试）已知函数的单调减区间为，若，则的最大值为______．例8．（2022·全国·高二课时练习）已知函数的单调递减区间为，则的值为________．例9．（2022·北京海淀·高二期末）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是_____________．变式8．（2022·重庆·高二阶段练习）已知函数上，单调递增，在上单调递减，则实数的取值范围为______.变式9．（2022·湖南·邵阳市第二中学高二期中）若函数在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范围是___________.变式10．（2022·广东·北京师范大学珠海分校附属外国语学校高二期中）若在上是减函数，则实数a的取值范围是_________.变式11．（2022·全国·高二）已知函数的单调递减区间是，则的值为______.变式12．（2022·广东·肇庆市高要区第二中学高二阶段练习）若函数在其定义域上单调递增，则实数a的取值范围是___.变式13．（2022·江苏·高二单元测试）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是________.变式14．（2022·北京市丰台第八中学高二期中）“当时，函数在区间上不是单调函数”为真命题的的一个取值是__________．变式15．（2022·四川·攀枝花七中高二阶段练习（理））已知函数.若函数在区间上不是单调函数，则实数t的取值范围为__________．变式16．（2022·全国·高二课时练习）已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是________．变式17．（2022·天津·耀华中学高二阶段练习）若函数f（x）＝x2+x﹣lnx+1在其定义域的一个子区间（2k﹣1，k+2）内不是单调函数，则实数k的取值范围是___．【方法技巧与总结】（1）利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即（或）恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．②先令（或），求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时是否满足题意．（2）理清运算对象，选择运算方法，求得运算结果，充分体现数学运算的数学核心素养．题型四：判断、证明函数的单调性例10．（2022·江苏·高二单元测试）证明函数f(x)＝x＋sinx在R上是增函数.例11．（2022·江苏·高二课时练习）用导数证明：(1)在区间上是增函数；(2)在区间上是减函数．例12．（2022·全国·高二专题练习）证明：(1)函数在定义域上是减函数；(2)函数在区间上是增函数．变式18．（2022·江苏·高二专题练习）证明函数是R上的增函数．变式19．（2022·全国·高二课时练习）证明函数在区间上单调递减．【方法技巧与总结】判断、证明函数的单调性的步骤：1、求导；2、变形（分解或配方）；3、判断导数式的符号，下结论．题型五：含参数单调性讨论情形一：函数为一次函数例13．（2022·贵州六盘水·高二期末（文））已知函数.讨论的单调性；例14．（2022·浙江·镇海中学高二期中）已知函数，其中.讨论函数的单调性；例15．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高二阶段练习）已知函数．求函数的单调区间；情形二：函数为准一次函数变式20．（2022·全国·模拟预测（文））设函数，其中．当时，求函数的单调区间；变式21．（2022·江苏·华罗庚中学三模）已知函数，（为自然对数的底数，）．求函数的单调区间；变式22．（2022·云南师大附中模拟预测（理））已知函数，其中．讨论的单调性；变式23．（2022·云南师大附中高三阶段练习（文））已知函数．讨论的单调性；情形三：函数为二次函数型1、可因式分解变式24．（2022·河南·睢县高级中学高二阶段练习（理））已知函数.(1)当时，求曲线在点的切线方程；(2)讨论函数的单调性.变式25．（2022·全国·高二课时练习）求函数的单调区间.变式26．（2022·重庆市璧山来凤中学校高二阶段练习）已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；变式27．（2022·浙江省江山中学模拟预测）函数．讨论函数的单调性；变式28．（2022·广东·潮州市瓷都中学三模）已知函数．讨论函数的单调性；变式29．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知函数．求函数的单调区间；变式30．（2022·内蒙古·满洲里市第一中学高二期末（理））已知函数（）.(1)，求函数在处的切线方程；(2)讨论函数的单调性.2、不可因式分解型变式31．（2022·江苏徐州·模拟预测）已知函数，函数的导函数为．讨论函数的单调性；变式32．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，试讨论的单调区间.【方法技巧与总结】1、关于含参函数单调性的讨论问题，要根据导函数的情况来作出选择，通过对新函数零点个数的讨论，从而得到原函数对应导数的正负，最终判断原函数的增减．（注意定义域的间断情况）．2、需要求二阶导的题目，往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性，结合一阶导函数端点处的函数值或零点可判断一阶导函数正负区间段．3、利用草稿图像辅助说明．情形四：函数为准二次函数型变式33．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））设函数．讨论的单调性；变式34．（2022·全国·二模（理））已知函数．讨论的单调性；变式35．（2022·北京·高二期末）若函数.(1)求曲线在点处的切线的方程；(2)判断方程解的个数，并说明理由；(3)当，设，求的单调区间.变式36．（2022·浙江·模拟预测）已知函数．讨论的单调性；【方法技巧与总结】（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）；（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；（5）导数图像定区间；【同步练习】一、单选题1．（2022·四川省芦山中学高二期中（理））函数的单调减区间是（

）A． B． C． D．以上都不对2．（2022·福建·莆田一中高二期中）定义在上的可导函数的导函数记为，若为奇函数且，当时，，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．3．（2022·河北·滦南县第四中学高二期末）已知函数是R上的单调增函数，则t的值可能是（

）A．t＝1 B．t＝0 C．t＝－1 D．不存在4．（2022·全国·高二课时练习）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（理））已知是定义在上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．6．（2022·黑龙江齐齐哈尔·高二期末）华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”现有函数，则它的图象大致是（

）A． B．C． D．7．（2022·江西·上高二中高二阶段练习（文））已知定义在上的函数满足，，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．8．（2022·江西·高二开学考试）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2022·广东·雷州市白沙中学高二阶段练习）下列选项中，在上单调递增的函数有（

）A． B． C． D．10．（2022·广东潮州·高二期末）已知函数与的图象如图所示，则下列结论正确的为（

）A．曲线是的图象，曲线是的图象B．曲线是的图象，曲线是的图象C．不等式组的解集为D．不等式组的解集为11．（2022·广东云浮·高二期末）已知定义在R上的函数的导函数为，且，，则下列结论正确的有（

）A．若，