17定积分的简单应用-高二数学理科选修教学课件(人教A版)

第一章导数及其应用本章内容1.1

变化率与导数1.2

导数的计算1.3

导数在研究函数中的应用1.4

生活中的优化问题举例1.5

定积分的概念1.6

微积分基本定理1.7

定积分的简单应用第一章小结1.7定积分的简单应用

定积分在几何中的应用

定积分在物理中的应用复习与提高第一章导数及其应用1.7.1&1.7.2定积分在几何与物理中的应用（两课时）怎样用定积分求曲边图形的面积?学习要点

问题1.

定积分几何背景是什么?根据这一背景定积分在几何中能解决什么样的问题?定积分的几何背景是曲边梯形的面积.

将曲边梯形的面积细分,用小矩形面积近似代替后求和取极限.Oxyaby=f(x)f(a)f(b)

由此,我们可以用定积分求一些曲边图形的面积.例1.

计算由曲线y2=x,y=x2

所围图形的面积S.解:画出图形,CABDy=x2xyOy2=x所求面积应为OCBA与ODBA的面积之差.曲边梯形解交点B

得区间[0,A]=[0,1],∴面积S=

例2.

计算直线y=x-4,曲线y=

以及x

轴所围图形的面积S.解:画出图形,Cy=x-4ABxyO所求面积应为OBC与三解形ABC的面积之差.曲边梯形解交点得B(8,4),∴面积S=又因为点A

的坐标为A(4,0).

例2.

计算直线y=x-4,曲线y=

以及x

轴所围图形的面积S.解:画出图形,Cy=x-4ABxyO所求面积应为ODA的面积S1与图形ADB的面曲边梯形解交点得A(4,0),B(8,4).∴面积S=而S2又等于曲边梯形DACB与△BAC的面积之差.解法二(课本),D积S2之和.S1S2

例(补充).

求曲线y=x2-2x

与曲线y=-x2+2x

所围成的图形的面积.解:解两曲线的交点得(0,0),(2,0).(如图)AxyO2y=x2-2xy=-x2+2x

这是两曲线与x

轴围成的两曲边梯形面积的和.=0.图中面积为0吗

例(补充).

求曲线y=x2-2x

与曲线y=-x2+2x

所围成的图形的面积.AxyO2y=x2-2xy=-x2+2x由定积分定义:用表示小多边形的面积.当图象在x

轴下边时,f(xi)<0.所以曲线在x

轴下边时,定积分是个负数.则面积要取其相反数.∴此题的面积应为练习:(课本58页)只一题.练习:(课本58页)求下列曲线所围成的图形的面积:(1)

y=x2,y=2x+3;(2)

y=ex,y=e,x=0.解:(1)画出图形,CCABy=x2xyOy=2x+3解出交点A(3,9),=9.练习:(课本58页)求下列曲线所围成的图形的面积:(1)

y=x2,y=2x+3;(2)

y=ex,y=e,x=0.解:(2)画出图形,解出交点A(1,e),=1.BCA1y=exxyOy=e【小结】求曲边图形的面积(1)将函数曲线所围成的曲边图形分成几个曲边梯形的和或差.(2)每个曲边梯形的面积等于函数在给定区间上的定积分.(3)当给定区间的函数在x

轴下方时,函数在此区间上的定积分为负,曲边梯形的面积等于定积分的相反数.习题1.7A组第1题.B组第1、2、3题.习题1.7A组1.

求下列曲线所围成图形的面积:

(1)

曲线y=cosx,y=0;

(2)

曲线y=9-x2,y=x+7.解:(1)画出图形,1xyOy=cosx=2.∵图形在x

轴下边,习题1.7A组1.

求下列曲线所围成图形的面积:

(1)

曲线y=cosx,y=0;

(2)

曲线y=9-x2,y=x+7.解:(2)画出图形,解交点得A(-2,5),B(1,8).ABy=9-x2xyOy=x+7B组1.

由定积分的性质和几何意义,说明下列各式的值:

(1)(2)解:(1)所以定积分的几何意义是图中半圆的面积.axyO-a而半圆面积是被积函数是这时圆x2+y2=a2

的上半个圆(如图).B组1.

由定积分的性质和几何意义,说明下列各式的值:

(1)(2)解:(2)是圆(x-1)2+y2=1的上半圆.被积函数y=x

是直线.1xyOy=xAB被积函数两函数在区间[0,1]内的积分之差为如图阴影部分面积.

2.

如图,一桥拱的形状为抛物线,已知该抛物线拱的高为常数h,宽为常数b,求证:抛物线拱的面积hbABOxy证明:以跨度AB为x轴,AB的中点为原点建立平面直角坐标系.则抛物线方程设为y=h-kx2,当x=

时y=0代入后求得即抛物线为抛物线拱的面积为

3.

求由曲线y=x2+2与直线y=3x,x=0,x=2所围成平面图形的面积.解:画出图形,ABy=x2+2xyOy=3x12所围图形由两部分构成,一部分在区间[0,1],另一部分在区间[1,2],则解交点得A(1,3),B(2,6).=1.定积分在物理中的应用

怎样用定积分求变速运动的路程和变力所做的功?学习要点1.

变速直线运动的路程

例3.

一辆汽车的速度-时间曲线如图所示,求汽车在这1min行驶的路程.t/sv/(m/s)O10203040506010203040ABC解:由曲线得分段函数为所以这1min行驶的路程由三段构成:=1350(m).(答略)2.

变力作功

问题1.

一物体在恒力F(单位:N)的作用下做直线运动,沿F相同的方向移动了s(单位:m),其所做的功是多少?如果F(单位:N)是变力呢?同样沿着与F

相同的方向从a移动到b

所做的功是多少?变力做的功:

所以变力F(x)从a移动到b

所做的功等于F(x)在区间[a,b]上的定积分:恒力做的功W=Fs.变力F(x)是位移x

的函数.Oxyaby=F(x)F(a)F(b)功等于力与距离的乘积,即如图的曲边梯形的面积.

例4.

如图,在弹性限度内,将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm处,求克服弹力所作的功.解:在弹性限度内,弹簧拉伸(或压缩)的长度x

与所用的力F(x)成正比,即F(x)=kx(k为比例系数).则弹簧从平衡位置被拉长lm时,所作的功为lFO答:克服弹力所作的功为练习:(课本59页)第1、2题.练习:(课本59页)

1.

一物体沿直线以v=2t+3(t

的单位:s,v

的单位:m/s)的速度运动,求该物体在3~5s间行进的路程.解:路程是速度的定积分,即=(52+35)-(32+33)=22(m).答:该物体在3~5s间行进的路程是22m.

2.

一物体在力F(x)=3x+4(x

的单位:m,F

的单位:N)的作用下,沿着与力F

相同的方向,从x=0处运动到x=4处,求力F(x)所作的功.解:力F(x)在移动距离0~4之间所作的功是F(x)在区间[0,4]上的定积分.即=40(J).答:力F(x)所作的功为40J.【小结】1.

变速运动的路程路程是速度函数的定积分.例3中的速度函数是一个分段函数,分区间对不同函数作定积分.2.

变力所做的功功是变力函数的定积分.习题1.7A组第2、3、4、5、6题.B组第4题.习题1.7A组

2.

把一个带+q电量的点电荷放在r

轴上原点处,形成一个电场,已知在该电场中,距离原点为r

处的单位电荷受到的电场力由公式(其中k为常数)确定.在该电场中,一个单位正电荷在电场力的作用下,沿着r

轴的方向从r=a

处移动到r=b(a<b)处,求电场力对它所做的功.解:电场力所做的功是它在区间[a,b]上的定积分,即答:电场力对电荷所做的功是

3.

以初速度40m/s垂直向上抛一物体,ts时刻的速度(单位:m/s)为v=40-10t,问多少秒后此物体达到最高?最大高度是多少?解:(1)当v=0时,物体达到最高,即40-10t=0,解得t=4.即4秒后物体达到最高.(2)最大高度是在时间段0到4秒内速度v

的定积分,即=80(m).

答:4秒后物体达到最高,最大高度是80米.

4.

物体A

以速度v=3t2+1(t

的单位:s,v

的单位:m/s)在一直线上运动,在此直线上与物体A

出发的同时,物体B

在物体A的正前方5m处以v=10t(t

的单位:s,v

的单位:m/s)的速度与A

同向运动,两物体何时相遇?相遇地与物体A

的出发地的距离是多少?B解:A,B

相遇时,在等时间,A

比B

的路程多5m.即得解得t=5(s).当t=5时,=130(m).

答:5秒后两物体相遇,相遇时与物体A

的出发地相距130m.5mA

5.

弹簧所受的压缩力F

与缩短的距离l

按胡克定律F=kl

计算,如果10N的力能使弹簧压缩1cm,那么把弹簧从平衡位置压缩10cm(