专题12全等三角形-2020-2021学年八年级数学上学期期中考试高分直通车

20202021学年八年级数学上学期期中考试高分直通车（人教版）专题1.2全等三角形精讲精练【目标导航】【知识梳理】1. 全等图形（1）全等形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形．（2）全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．（3）三角形全等的符号“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．（4）对应顶点、对应边、对应角把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．2.全等三角形的性质：（1）性质1：全等三角形的对应边相等性质2：全等三角形的对应角相等说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等②全等三角形的周长相等，面积相等③平移、翻折、旋转前后的图形全等（2）关于全等三角形的性质应注意①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．3.全等三角形的判定：（1）判定定理1：SSS三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（4）判定定理4：AAS两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（5）判定定理5：HL斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．4.全等三角形的应用（1）全等三角形的性质与判定综合应用用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．（2）作辅助线构造全等三角形常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．5．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD=CE【典例剖析】【考点1】全等图形【例1】（2019秋•新乐市期中）下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（）A． B． C． D．【分析】直接利用全等图形的性质进而得出答案．【解析】如图所示：图形分割成两个全等的图形，．故选：B．【点评】此题主要考查了全等图形，正确把握全等图形的性质是解题关键．【变式1.1】（2019秋•建邺区期中）如果两个图形全等，那么这两个图形必定是（）A．形状大小均相同 B．形状相同，但大小不同 C．大小相同，但形状不同 D．形状大小均不相同【分析】根据全等图形的定义作答．【解析】能够完全重合的两个图形叫做全等形，所以如果两个图形全等，那么这两个图形必定是形状大小均相同．故选：A．【点评】考查了全等图形，能够完全重合的两个图形叫做全等形，所以，“全等图形”包括两个图形的形状和大小都是完全一样的．【变式1.2】（2019秋•路南区期中）下列说法正确的是（）A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个长方形是全等图形 C．两个全等图形面积一定相等 D．两个正方形一定是全等图形【分析】直接利用全等图形以及全等图形的性质判断得出答案．【解析】A、形状相同、大小相等的两个图形一定全等，故本选项不符合题意；B、长方形不一定是全等图形，故本选项不符合题意；C、两个全等图形面积一定相等，故本选项符合题意；D、两个正方形不一定是全等图形，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了全等图形和全等图形的性质，正确把握相关的定义或性质是解题关键．【变式1.3】（2019秋•开州区期末）下列说法不正确的是（）A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同 B．面积相等的两个图形是全等图形 C．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关 D．全等三角形的对应边相等，对应角相等【分析】直接利用全等图形的性质进而分析得出答案．【解析】A、如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同，正确，不合题意；B、面积相等的两个图形是全等图形，错误，符合题意；C、图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关，正确，不合题意；D、全等三角形的对应边相等，对应角相等，正确，不合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了全等图形的性质，正确掌握相关性质是解题关键．【变式1.4】（2019秋•呼和浩特期末）平移前后两个图形是全等图形，对应点连线（）A．平行但不相等 B．不平行也不相等 C．平行且相等 D．不相等【分析】根据平移的性质即可得出答案．【解析】平移前后两个图形是全等图形，对应点连线平行且相等．故选：C．【点评】本题利用了平移的基本性质：①图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．【变式1.5】（2020春•梁平区期末）如图，图中由实线围成的图形与①是全等形的有②③．（填番号）【分析】根据全等形是可以完全重合的图形进行判定即可．【解析】由图可知，图上由实线围成的图形与①是全等形的有②，③，故答案为：②③．【点评】本题主要考查学生对全等形的概念的理解及运用，此题的关键是从边的角度来进行分析．【变式1.6】（2020春•石狮市期末）如图，四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'，则∠A的大小是95°．【分析】利用全等图形的定义可得∠D＝∠D′＝130°，然后再利用四边形内角和为360°可得答案．【解析】∵四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'，∴∠D＝∠D′＝130°，∴∠A＝360°﹣75°﹣60°﹣130°＝95°，故答案为：95°．【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．【考点2】全等三角形的性质【例2】如图所示，已知△ABC≌△FED，AF＝8，BE＝2．（1）求证：AC∥DF．（2）求AB的长．【分析】（1）根据全等三角形的性质和平行线的判定解答即可；（2）根据全等三角形的性质解答即可．【解析】证明：（1）∵△ABC≌△FED，∴∠A＝∠F．∴AC∥DF．（2）∵△ABC≌△FED，∴AB＝EF．∴AB﹣EB＝EF﹣EB．∴AE＝BF．∵AF＝8，BE＝2∴AE+BF＝8﹣2＝6∴AE＝3∴AB＝AE+BE＝3+2＝5【点评】此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应角相等和对应边相等解答．【变式2.1】（2020春•扶风县期末）如图，△AOB≌△COD，A和C，B和D是对应顶点，若BO＝6，AO＝3，AB＝5，则CD的长为（）A．5 B．8 C．10 D．不能确定【分析】根据全等三角形的对应边相等解答．【解析】∵△AOB≌△COD，∴CD＝AB＝5，故选：A．【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．【变式2.2】（2020•淄博）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（）A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．【解析】∵△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确，故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．【变式2.3】（2020春•万州区期末）如图，△ABC≌△DEC，A和D，B和E是对应点，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD的长为（）A．12 B．7 C．2 D．14【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．【解析】如图，△ABC≌△DEC，A和D，B和E是对应点，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，∴BC＝EC＝5，CD＝AC＝7，∴BD＝BC+CD＝12．故选：A．【点评】本题主要考查的是全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．【变式2.4】（2019秋•宿豫区期中）如图，△ABC≌△DBC，∠A＝45°，∠ACD＝86°，则∠ABC＝92°．【分析】根据全等三角形的性质得出∠ACB＝∠DCB，求出∠ACB，根据三角形内角和定理求出即可．【解析】∵△ABC≌△DBC，∴∠ACB＝∠DCB，∵∠ACD＝86°，∴∠ACB＝43°，∵∠A＝45°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝92°，故答案为：92．【点评】本题考查了三角形内角和定理和全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等．【变式2.5】（2019秋•内乡县期末）如图，已知△ABF≌△CDE．（1）若∠B＝30°，∠DCF＝40°，求∠EFC的度数；（2）若BD＝10，EF＝2，求BF的长．【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等，三角形的外角的性质计算；（2）根据全等三角形的对应边相等计算．【解析】（1）∵△ABF≌△CDE，∴∠D＝∠B＝30°，∴∠EFC＝∠DCF+∠D＝70°；（2）∵△ABF≌△CDE，∴BF＝DE，∴BF﹣EF＝DE﹣EF，即BE＝DF，∵BD＝10，EF＝2，∴BE＝（10﹣2）÷2＝4，∴BF＝BE+EF＝6．【点评】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键．【变式2.6】（2020春•宽城区期末）如图，△ACF≌△DBE，其中点A、B、C、D在一条直线上（1）若BE⊥AD，∠F＝62°，求∠A的大小；（2）若AD＝9cm，BC＝5cm，求AB的长．【分析】（1）根据全等三角形的性质得到∠FCA＝∠EBD＝90°，根据直角三角形的性质计算即可；（2）根据全等三角形的性质得到CA＝BD，结合图形得到AB＝CD，计算即可．【解析】（1）∵BE⊥AD，∴∠EBD＝90°，∵△ACF≌△DBE，∴∠FCA＝∠EBD＝90°，∴∠A＝90°﹣∠F＝28°；（2）∵△ACF≌△DBE，∴CA＝BD，∴CA﹣CB＝BD﹣BC，即AB＝CD，∵AD＝9cm，BC＝5cm，∴AB+CD＝9﹣5＝4cm，∴AB＝2cm．【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．【考点3】全等三角形的判定【例3】（2020春•市中区期末）如图，已知线段AC、BD相交于点E，连接AB、DC、BC，AE＝DE，∠A＝∠D．求证：△ABE≌△DCE．【分析】根据全等三角形的判断定理即可得到结论．【解析】证明：在△ABE和△DCE中，∵∠A∴△ABE≌△DCE（ASA）．【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握是全等三角形的判定定理是解题的关键．【变式3.1】（2020秋•岳麓区校级月考）如图，△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不正确的是（）A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DC C．AC＝DC，∠A＝∠D D．BC＝EC，∠A＝∠D【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即可．【解析】∵AB＝DE，∴当BC＝EC，∠B＝∠E时，满足SAS，可证明△ABC≌△DEC，故A可以；当BC＝EC，AC＝DC时，满足SSS，可证明△ABC≌△DEC，故B可以；当AC＝DC，∠A＝∠D时，满足SAS，可证明△ABC≌△DEC，故C可以；当BC＝EC，∠A＝∠D时，在△ABC中是ASS，在△DEC中是ASS，故不能证明△ABC≌△DEC，故D不可以；故选：D．【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．【变式3.2】（2020秋•渝中区校级月考）已知：如图，AC＝DE，∠1＝∠2，要使△ABC≌△DFE，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理合适的是（）∠A＝∠D（ASA） B．AB＝DF（SAS） C．BC＝FE（SSA） D．∠B＝∠F（ASA）【分析】利用全等三角形的判定方法分别进行分析即可．【解析】A、添加条件∠A＝∠D判定△ABC≌△DFE用的判定方法是ASA，故原题说法正确；B、添加条件AB＝DF不能判定△ABC≌△DFE，故原题说法错误；C、添加条件BC＝FE判定△ABC≌△DFE用的判定方法是SAS，故原题说法错误；D、添加条件∠B＝∠F判定△ABC≌△DFE用的判定方法是AAS，故原题说法错误；故选：A．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式3.3】（2020春•长清区期中）点D、E分别在线段AB、AC上，CD与BE相交于点O，已知AE＝AD，添加以下哪一个条件不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B＝∠C B．∠BEA＝∠CDA C．BE＝CD D．AB＝AC【分析】由已知条件AE＝AD、∠A＝∠A，结合各选项条件分别依据“AAS、ASA、SSA、SAS”，逐一作出判断即可得，其中SSA不能任意判定三角形全等．【解析】A．由AE＝AD、∠A＝∠A、∠B＝∠C可依据“AAS”判定△ABE≌△ACD，此选项不符合题意；B．由AE＝AD、∠A＝∠A、∠BEA＝∠CDA可依据“ASA”判定△ABE≌△ACD，此选项不符合题意；C．由BE＝CD、AE＝AD、∠A＝∠A不能判定△ABE≌△ACD，此选项符合题意；D．由AE＝AD、∠A＝∠A、AB＝AC可依据“SAS”判定△ABE≌△ACD，此选项不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．【变式3.4】（2020春•海淀区校级月考）已知，如图，∠D＝∠A，EF∥BC，添加一个条件：AC＝DF（AB＝DE或BC＝EF），使得△ABC≌△DEF．【分析】根据题目中的条件和全等三角形的判定，可以写出添加的条件，注意本题答案不唯一．【解析】∵EF∥BC，∴∠ACB＝∠DFE，又∵∠D＝∠A，∴添加条件AC＝DF，可以使得△ABC≌△DEF（ASA），添加条件AB＝DE，可以使得△ABC≌△DEF（AAS），添加条件BC＝EF，可以使得△ABC≌△DEF（AAS），故答案为：AC＝DF（AB＝DE或BC＝EF）．【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答．【变式3.5】（2020春•平阴县期末）如图，已知：∠A＝∠D，∠1＝∠2，下列条件中：①∠E＝∠B；②EF＝BC；③AB＝EF；④AF＝CD．能使△ABC≌△DEF的有②④．（填序号）【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理和已知条件逐个判断即可．【解析】①∠E＝∠B，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，∴①错误；②EF＝BC，符合全等三角形的判定定理，可以用AAS证明△ABC≌△DEF，∴②正确；③AB＝EF，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，∴③错误；④∵AF＝CD，∴AF+FC＝CD+FC，∴AC＝DF，在△ABC和△DEF中，∠A∴△ABC≌△DEF（ASA），∴④正确；故答案为：②④．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．【变式3.6】（2020春•鼓楼区校级月考）如图，点E在AB上，∠A＝∠B＝∠CED＝90°，CE＝ED．求证：△ACE≌△BED．【分析】证出∠C＝∠DEB，根据AAS证明三角形全等即可．【解析】证明：∵∠A＝∠B＝∠CED＝90°，∴∠C+∠CEA＝90°，∠CEA+∠DEB＝90°，∴∠C＝∠DEB，在△ACE和△BED中，∵∠A∴△ACE≌△BED（AAS）．【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．【考点4】直角三角形全等的判定【例4】（2019春•铜仁市期末）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2，求证：Rt△ADE≌Rt△BEC．【分析】根据已知条件，利用直角三角形的特殊判定方法可以证明题目结论．【解析】证明：∵∠1＝∠2，∴DE＝CE．∵∠A＝∠B＝90°，∴△ADE和△EBC是直角三角形，而AD＝BE．∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）【点评】本题考查了直角三角形全等的判定及性质；主要利用了直角三角形全等的判定方法HL，也利用了等腰三角形的性质：等角对等边，做题时要综合利用这些知识．【变式4.1】（2019秋•桐梓县期末）下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（）A．两条直角边对应相等 B．两个锐角对应相等 C．斜边和一直角边对应相等 D．斜边和一锐角对应相等【分析】根据全等三角形的判定方法一一判断即可．【解析】A、根据SAS可以判定三角形全等，本选项不符合题意．B、AA不能判定三角形全等，本选项符合题意．C、根据HL可以判定三角形全等，本选项不符合题意．D、根据AAS可以判定三角形全等，本选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式4.2】（2019秋•诸城市期末）如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加一个条件是（）A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AE＝BF【分析】根据垂直定义求出∠CFD＝∠AEB＝90°，再根据全等三角形的判定定理推出即可．【解析】条件是AB＝CD，理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠CFD＝∠AEB＝90°，在Rt△ABE和Rt△DCF中，AB=∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），故选：A．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．【变式4.3】（2020春•昌图县期末）下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（）A．一锐角对应相等 B．两锐角对应相等 C．一条边对应相等 D．两条直角边对应相等【分析】判定两个直角三角形全等的方法有：SAS、SSS、AAS、ASA、HL五种．据此作答．【解析】两直角三角形隐含一个条件是两直角相等，要判定两直角三角形全等，起码还要两个条件，故可排除A、C；而B构成了AAA，不能判定全等；D构成了SAS，可以判定两个直角三角形全等．故选：D．【点评】此题主要考查两个直角三角形全等的判定，除了一般三角形全等的4种外，还有特殊的判定：HL．【变式4.4】（2019秋•勃利县期末）如图，AB⊥BC、DC⊥BC，垂足分别为B、C，AB＝6，BC＝8，CD＝2，点P为BC边上一动点，当BP＝2时，形成的Rt△ABP与Rt△PCD全等．【分析】当BP＝2时，Rt△ABP≌Rt△PCD，由BC＝8可得CP＝6，进而可得AB＝CP，BP＝CD，再结合AB⊥BC、DC⊥BC可得∠B＝∠C＝90°，可利用SAS判定△ABP≌△PCD．【解析】当BP＝2时，Rt△ABP≌Rt△PCD，∵BC＝8，BP＝2，∴PC＝6，∵AB⊥BC、DC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，在△ABP和△PCD中AB=∴△ABP≌△PCD（SAS），故答案为：2．【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法，关键是掌握SAS定理．【变式4.5】如图，已知CB⊥AD，AE⊥CD，垂足分别为B，E，AE，BC相交于点F，AB＝BC．若AB＝8，CF＝2，则BD＝6．【分析】根据“ASA”证明△ABF≌△CBD，BF＝BD，求出BF＝6，即可得出答案．【解析】证明：∵CB⊥AD，AE⊥CD，∴∠ABF＝∠CBD＝∠AED＝90°，∴∠A+∠D＝∠C+∠D＝90°，∴∠A＝∠C，在△ABF和△CBD中，∠A∴△ABF≌△CBD（ASA），∴BF＝BD，∵BC＝AB＝8，BF＝BC﹣CF＝8﹣2＝6，∴BD＝BF＝6；故答案为：6．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．【变式4.6】（2020春•岱岳区期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足．AE＝CF，求证：∠ACB＝90°．【分析】先利用HL定理证明△ACE和△CBF全等，再根据全等三角形对应角相等可以得到∠EAC＝∠BCF，因为∠EAC+ACE＝90°，所以∠ACE+∠BCF＝90°，根据平角定义可得∠ACB＝90°．【解析】证明：如图，在Rt△ACE和Rt△CBF中，AC=∴Rt△ACE≌Rt△CBF（HL），∴∠EAC＝∠BCF，∵∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠ACE+∠BCF＝90°，∴∠ACB＝180°﹣90°＝90°．【点评】本题主要考查直角三角形的判定，全等三角形对应角相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键．【考点5】全等三角形的判定与性质【例5】（2020春•渌口区期末）如图，BD，CE分别是△ABC的高，且BE＝CD，求证：Rt△BEC≌Rt△CDB．【分析】根据高的定义求出∠BEC＝∠CDB＝90°，根据全等三角形的判定定理HL推出即可．【解析】证明：∵BD，CE分别是△ABC的高，∴∠BEC＝∠CDB＝90°，在Rt△BEC和Rt△CDB中，BC=∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL）．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．【变式5.1】（2019秋•铜山区期末）如图，∠CAE＝∠BAD，∠B＝∠D，AC＝AE，△ABC与△ADE全等吗？为什么？【分析】根据∠CAE＝∠BAD，可得∠CAB＝∠EAD，又已知∠B＝∠D，AC＝AE，可利用AAS证明△ABC≌△ADE．【解答】解：△ABC≌△ADE．∵∠CAE＝∠BAD，∴∠CAB＝∠EAD，在△ABC和△ADE，∵∠B∴△ABC≌△ADE（AAS）．【变式5.2】（2020•增城区一模）如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠C＝∠D．求证：△ABC≌△AED．【分析】据∠1＝∠2可得∠BAC＝∠EAD，再加上条件AB＝AE，∠C＝∠D可证明△ABC≌△AED．【解答】证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠EAC＝∠2+∠EAC，即∠BAC＝∠EAD．∵在△ABC和△AED中，∠C∴△ABC≌△AED（AAS）．【变式5.3】（2019秋•北海期末）如图，A、D、F、B在同一直线上，AD＝BF，AE＝BC，且AE∥BC．求证：△AEF≌△BCD．【分析】由AE∥BC，根据平行线的性质，可得∠A＝∠B，又由AD＝BF，AE＝BC，根据SAS，即可证得：△AEF≌△BCD．【解答】解：∵AE∥BC，∴∠A＝∠B，∵AD＝BF，∴AF＝BD，在△AEF和△BCD中，AE=∴△AEF≌△BCD（SAS）．【变式5.4】（2018秋•建湖县期中）如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，BF＝EC．求证：Rt△ABC≌Rt△DEF．【分析】先由BF＝EC得到BC＝EF，再根据“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DEF．【解答】证明：∵BF＝EC，∴BF+FC＝FC+EC，即BC＝EF，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABC和△DEF都是直角三角形，在Rt△ABC和Rt△DEF中AB=∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．【变式5.5】（2020春•常熟市期末）如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AF＝CE．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，求∠CFD的度数．【分析】（1）由平行线的性质得出∠BAE＝∠FCD，根据SAS可得出△ABE≌△CDF；（2）求出∠AEB＝∠BCE+∠CBE＝100°，可得出∠CFD＝∠AEB＝100°．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠FCD，∵AF＝CE，∴AE＝CF，又∵AB＝CD，∴△ABE≌△CDF（SAS）．（2）解：∵∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，∴∠AEB＝∠BCE+∠CBE＝30°+70°＝100°，∵△ABE≌△CDF，∴∠CFD＝∠AEB＝100°．【考点6】全等三角形的应用【例6】（2019秋•广饶县期末）如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离：现在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD＝AC；连接BC并延长到E，使CE＝CB；连接DE并测量出它的长度．（1）求证：DE＝AB；（2）如果DE的长度是8m，则AB的长度是多少？【分析】（1）利用SAS直接得出△CDE≌△CAB，进而得出答案；（2）利用（1）中所求得出AB的长即可．【解析】（1）证明：在△CDE和△CAB中，CD=∴△CDE≌△CAB（SAS），∴DE＝AB；（2）解：∵DE＝AB，DE＝8m，∴AB＝8m．答：AB的长度是8m．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，得出△CDE≌△CAB是解题关键．【变式6.1】（2020春•南岸区期末）为了测量池塘两侧A，B两点间的距离，在地面上找一点C，连接AC，BC，使∠ACB＝90°，然后在BC的延长线上确定点D，使CD＝BC，得到△ABC≌△ADC，通过测量AD的长，得AB的长．那么△ABC≌△ADC的理由是（）A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS【分析】根据SAS即可证明△ACB≌△ACD，由此即可解决问题．【解析】在△ACB和△ACD中，AC=∴△ABC≌△ADC（SAS），∴AB＝AD（全等三角形的对应边相等）．故选：A．【点评】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．【变式6.2】（2020春•长清区期末）如图，两根旗杆间相距20米，某人从点B沿BA走向点A，一段时间后他到达点M，此时他分别仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM＝DM．已知旗杆BD的高为12米，该人的运动速度为2米/秒，则这个人运动到点M所用时间是4秒．【分析】根据题意证明∠C＝∠DMB，利用AAS证明△ACM≌△BMD，根据全等三角形的性质得到BD＝AM＝12米，再利用时间＝路程÷速度加上即可．【解析】∵∠CMD＝90°，∴∠CMA+∠DMB＝90°，又∵∠CAM＝90°，∴∠CMA+∠C＝90°，∴∠C＝∠DMB．在Rt△ACM和Rt△BMD中，∠A∴Rt△ACM≌Rt△BMD（AAS），∴BD＝AM＝12米，∴BM＝20﹣12＝8（米），∵该人的运动速度为2m/s，∴他到达点M时，运动时间为8÷2＝4（s）．故答案为4．【点评】本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是利用互余关系找三角形全等的条件，对应角相等，并巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．本题的关键是求得Rt△ACM≌Rt△BMD．【变式6.3】（2020•如皋市一模）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长．为什么？【分析】由垂线的定义可得出∠B＝∠EDC＝90°，结合BC＝DC，∠ACB＝∠ECD，即可证出△ABC≌△EDC（ASA），利用全等三角形的性质可得出AB＝ED．【解析】DE＝AB，理由如下：∵AB⊥BF，DE⊥BF，∴∠B＝∠EDC＝90°．在△ABC和△EDC中，∠B∴△ABC≌△EDC（ASA），∴AB＝ED．【点评】本题考查了全等三角形的应用，利用全等三角形的判定定理ASA证出△ABC≌△EDC是解题的关键．【变式6.4】（2020春•楚雄州期末）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答．【解析】由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，在△ADC和△CEB中，∠ADC∴△ADC≌△CEB（AAS）；由题意得：AD＝EC＝6cm，DC＝BE＝14cm，∴DE＝DC+CE＝20（cm），答：两堵木墙之间的距离为20cm．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．【变式6.5】（2020春•肃州区期末）如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一面同时施工，工人师傅在AC上取一点B，在小山外取一点D，连接BD并延长，使DF＝BD，过F点作AB的平行线MF，连接MD并延长，在延长线上取一点E，使DE＝DM，在E点开工就能使A，C，E成一条直线，你知道其中的道理吗？【分析】首先证明△BDE≌△FDM（SAS），可得∠BEM＝∠FME，进而得到BE∥MF，再由AB∥MF可得A、C、E三点在一条直线上．【解答】解：∵在△BDE和△FDM中BD=∴△BDE≌△FDM（SAS），∴∠BEM＝∠FME，∴BE∥MF，∵AB∥MF，∴A、C、E三点在一条直线上．【变式6.6】（2019秋•邗江区校级月考）如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，在河岸BM上截取BC＝CD，作ED⊥BD交AC的延长线于点E，垂足为点D．（DE≠CD）（1）线段DE的长度就是A、B两点间的距离（2）请说明（1）成立的理由．【分析】（1）根据题意确定DE＝AB；（2）根据已知条件得到两个三角形全等，利用全等三角形的性质得到结论即可．【解答】解：（1）线段DE的长度就是A、B两点间的距离；故答案为：DE；（2）∵AB⊥BC，DE⊥BD∴∠ABC＝∠EDC＝90°又∵∠ACB＝∠DCE，BC＝CD∴△ABC≌△CDE（ASA）∴AB＝DE．【考点7】角平分线的性质【例7】（2019秋•兰州期末）在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：DC＝2：1，BC＝7.8cm，求点D到AB的距离．【分析】先要过D作出垂线段DE，根据角平分线的性质求出CD＝DE，再根据已知即可求得D到AB的距离的大小．【解析】过点D作DE⊥AB于E．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC∴CD＝DE又BD：DC＝2：1，BC＝7.8cm∴DC＝7.8÷（2+1）＝7.8÷3＝2.6cm．∴DE＝DC＝2.6cm．∴点D到AB的距离为2.6cm．【点评】此题主要考查角平分线的性质，关键是根据角平分线上的点到角的两边的距离相等进行解答．【变式7.1】（2020春•丹东期末）如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，AE平分∠CAB，交BD于点E，AB＝8，DE＝3，则△ABE的面积等于（）A．15 B．12 C．10 D．14【分析】过点E作EF⊥AB于点F，由角平分线的性质可得EF的值等于DE的值，再按照三角形的面积计算公式计算即可．【解析】过点E作EF⊥AB于点F，如图：∵BD是AC边上的高，∴ED⊥AC，又∵AE平分∠CAB，DE＝3，∴EF＝3，∵AB＝8，∴△ABE的面积为：8×3÷2＝12．故选：B．【点评】本题考查了角平分线的性质及三角形的面积计算，属于基础知识的考查，难度不大．【变式7.2】（2020春•抚州期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，若CD＝2，AB＝9，则△ABD的面积为9．【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，得DE＝DC＝2，再根据三角形的面积计算公式得出△ABD的面积．【解析】如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵BD平分∠ABC，又∵DE⊥AB，DC⊥BC，∴DE＝DC＝2，∴△ABD的面积=12•AB•DE=12×9故答案为：9．【点评】本题主要考查了角平分线的性质与三角形的面积计算公式．作出辅助线是正确解答本题的关键．【变式7.3】（2020春•泰山区期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：DC＝2：1，BC＝12cm，则D到AB的距离为4cm．【分析】过点D作DE⊥AB，根据题意求出DC，根据角平分线的性质解答即可．【解析】过点D作DE⊥AB于E，∵BD：DC＝2：1，BC＝12，∴DC＝4，∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE＝DC＝4，即D到AB的距离为4cm，故答案为：4．【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．【变式7.4】（2020春•娄星区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AB＝5，DC＝2，则△ABD的面积为5．【分析】作DH⊥AB于H，如图，根据角平分线的性质得到DH＝DC＝2，然后根据三角形面积公式计算．【解析】作DH⊥AB于H，如图，∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，∴DH＝DC＝2，∴△ABD的面积=12×5×2故答案为5．【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．【变式7.5】（2020春•岳阳期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，且E为AB的中点．（1）求∠B的度数．（2）若DE＝5，求BC的长．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据等腰三角形的性质得到∠2＝∠B，根据直角三角形的性质列式计算，得到答案；（2）根据角平分线的性质求出CD，根据含30°的直角三角形的性质计算即可．【解析】（1）∵DE⊥AB于点E，E为AB的中点，∴DE是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠2＝∠B，∵∠C＝90°，∴∠B＝∠1＝∠2＝30°；（2）∵DE⊥AB，∠B＝30°，∴BD＝2DE＝10，∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DC＝DE＝5，∴BC＝CD+BD＝15．【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．【变式7.6】（2020春•会宁县期末）如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠B＝50°，∠C＝62°，DE⊥AC，（1）求∠ADE的度数；（2）若DE＝3，求点D到AB的距离．【分析】（1）先利用三角形内角和计算出∠BAC＝68°，再利用角平分线的定义得到∠DAC＝34°，然后利用互余计算出∠ADE的度数；（2）作DF⊥AB于F，如图，然后根据角平分线的性质得到DF＝DE＝3．【解析】（1）∵∠B＝50°，∠C＝62°，∴∠BAC＝180°﹣50°﹣62°＝68°，∵AD是角平分线，∴∠DAC=12∠BAC＝∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠ADE＝90°﹣34°＝56°；（2）作DF⊥AB于F，如图，∵AD是角平分线，DF⊥AB，DE⊥AC，∴DF＝DE＝3，即点D到AB的距离为3．【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．【考点8】全等三角形综合问题【例8】（2020•溧阳市一模）如图，将Rt△ABC沿BC所在直线平移得到△DEF．（1）如图①，当点E移动到点C处时，连接AD，求证：△CDA≌△ABC；（2）如图②，当点E移动到BC中点时，连接AD、AE、CD，请你判断四边形AECD的形状，并说明理由．【分析】（1）由平移性质得AB∥CD，AB＝CD，由平行线的性质得∠BAC＝∠DCA，进而利用公共边相等，根据SAS定理得出结论；（2）由平移性质得AD∥BE，AD＝BE，再由中点E，得AD＝EC，进而得四边形AECD是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得AE＝CE，进而根据菱形的判定定理得四边形AECD是菱形．【解答】解：由平移知，AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAC＝∠DCA，在△CDA和△ABC中CD=∴△CDA≌△ABC（SAS）；（2）∵将Rt△ABC沿BC所在直线平移得到△DEF，∴AD∥BE，AD＝BE，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，∴AD∥CE，AD＝CE，∴四边形AECD是平行四边形，∵∠BAC＝90°，E是BC的中点，∴AE＝CE，∴四边形AECD是菱形．【变式8.1】（2020•金坛区二模）如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．（1）求证：∠AEB＝∠DEB；（2）若∠A＝100°，∠C＝50°，求∠AEB的度数．【分析】（1）根据BE平分∠ABC，可以得到∠ABE＝∠DBE，然后根据题目中的条件即可证明△ABE和△DBE全等，从而可以得到结论成立；（2）根据三角形内角和定理和角平分线定义可以得到∠AEB的度数．【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBE．在△ABE和△DBE中，AB=∴△ABE≌△DBE（SAS），∴∠AEB＝∠DEB；（2）解：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBE，∵∠A＝100°，∠C＝50°，∴∠ABC＝30°，∴∠ABE＝15°，∴∠AEB＝180°﹣∠A﹣∠ABE＝180°﹣100°﹣15°＝65°．【变式8.2】（2019秋•常熟市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，点D为△ABC内一点，∠ABD＝∠ACD＝20°，E为BD延长线上的一点，且AB＝AE．（1）求∠BAD的度数；（2）求证：DE平分∠ADC；（3）请判断AD，BD，DE之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）利用SAS定理证明△ABD≌△ACD，可求出答案；（2）求出∠ABC＝∠ACB＝50°，可得出∠DBC＝∠DCB＝30°，证得∠ADE＝∠EDC，则结论得证；（3）在DE上取点F，使DF＝DA，连接AF．证明△ADF为等边三角形，可得∠ADF＝∠AFD＝60°，再证明△ABD≌△AEF（AAS）．得出BD＝EF，则结论DE＝AD+BD得证．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠ABD＝∠ACD，∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACD，∴∠DBC＝∠DCB，∴BD＝CD．在△ABD与△ACD中，AB=∴△ABD≌△ACD（SAS），∴∠BAD=1（2）证明：∵∠ADE是△ABD的外角，∴∠ADE＝∠BAD+∠ABD＝60°，∵∠BAC＝80°，∴∠ABC＝∠ACB＝50°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠EDC＝∠DBC+∠DCB＝60°，∴∠ADE＝∠EDC，∴DE平分∠ADC．（3）结论：DE＝AD+BD．在DE上取点F，使DF＝DA，连接AF．∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠E，∵DA＝DF，∠ADE＝60°，∴△ADF为等边三角形，∴∠ADF＝∠AFD＝60°，∴∠ADB＝∠AFE＝120°．在△ABD与△AEF中，∠ABE∴△ABD≌△AEF（AAS）．∴BD＝EF，∵DE＝DF+EF，∴DE＝AD+BD．【变式8.3】（2019秋•宿豫区期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）求证：DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？并说明理由．【分析】（1）