专题01空间几何体的外接球与内切球问题(典型例题题型归类练)

专题01空间几何体的外接球与内切球问题(典型例题+题型归类练)目录角度1：内切球等体积法角度2:内切球独立截面法角度3：外接球公式法角度4：外接球补型法角度5：外接球单面定球心法角度6：外接球双面定球心法一、必备秘籍1．球与多面体的接、切定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。类型一球的内切问题（等体积法）例如：在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下：即：，可求出.类型二球的外接问题1、公式法正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点2、补形法（补长方体或正方体）①墙角模型（三条线两个垂直）题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图）②对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，）3、单面定球心法（定+算）步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥中，选中底面，确定其外接圆圆心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心）；②过外心做（找）底面的垂线，如图中面,则球心一定在直线（注意不一定在线段上）上；③计算求半径:在直线上任取一点如图：则，利用公式可计算出球半径.4、双面定球心法（两次单面定球心）如图：在三棱锥中：①选定底面，定外接圆圆心②选定面，定外接圆圆心③分别过做面的垂线，和做面的垂线，两垂线交点即为外接球球心.二、典型例题角度1：内切球等体积法空间几何体的内切球问题①等体积法：将空间几何体拆分为以内切球球心为顶点的多个几何体，再利用等体积法求出内切球半径，主要用于多面体内切球问题；②独立截面法：主要用于旋转体中，通过独立截面（过球心的截面），在截面中求出内切球的半径.例题1．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥中，平面，且，若球在三棱锥的内部且与四个面都相切（称球为三棱锥的内切球），则球的表面积为（

）A． B． C． D．思路点拨：空间几何体内切球问题优先考虑等体积法（多面体）和独立截面法（旋转体）思路点拨：空间几何体内切球问题优先考虑等体积法（多面体）和独立截面法（旋转体）解答过程：第二步：以内切球球心为顶点，将三棱锥拆分成4个小三棱锥：分别为：三棱锥;三棱锥;三棱锥;三棱锥;并分别求出四个三棱锥的面积第一步：求出三棱锥的体积：第三步：利用等体积法求球半径：求出内切球半径第四步：利用球的表面积公式求表面积【答案】A【详解】解：因为平面，平面，平面，平面，所以，，，又，所以平面，所以，所以均为直角三角形，设球的半径为r，则，而，，所以，解得，所以球的表面积为，故选：A.角度2:内切球独立截面法例题2．（2022·全国·高一课时练习）轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的体积.思路点拨：空间几何体内切球问题优先考虑等体积法（多面体）和独立截面法（旋转体）解答过程：思路点拨：空间几何体内切球问题优先考虑等体积法（多面体）和独立截面法（旋转体）解答过程：第二步：在正三角形中，边长,正三角形高，在中，利用勾股定理求半径：，，解得：第一步：独立轴截面，在轴截面中求出圆锥内切球的半径第三步：利用体积公式求体积：【答案】如图作出轴截面，圆和相切与点，因为△ABC是正三角形，所以，AD＝AC＝2，，设内切求半径为，在中可得，，所以，解得，所以内切球体积为.角度3：外接球公式法外接球公式法①长方体外接球：在长方体中，设一个顶点出发的三条边长分别为：，，，则长方体外接球半径②正方体外接球：在正方体中，设边长为，则正方体外接球半径例题3．（2022·贵州黔西·高二期末（理））若一个长方体的长、宽，高分别为4，2，3，则这个长方体外接球的表面积为______________．思路点拨：直接利用长方体外接球半径公式求解思路点拨：直接利用长方体外接球半径公式求解解答过程：,所以外接球的表面积.【答案】【详解】由题知，长方体的体对角线即为外接球的直径，所以，所以所以外接球的表面积.故答案为：角度4：外接球补型法外接球补形法①墙角型：由一个顶点出发的三条棱两两互相垂直，可补形为长方体或正方体，再利用公式法求解外接球问题；②对棱相等型：如果一个多面体的对棱都相等，可以补形为长方体，或正方体，再利用公式法求解外接球问题；例题4．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．思路点拨：通过已知条件，发现在思路点拨：通过已知条件，发现在三棱锥中，对棱（三对）相等，可以判定为对棱相等型，通过补形为长方体求解解答过程：第一步：补形，构造长方体，在长方体中，画出三棱锥，设长方体的长为，宽为，高为，通过补形发现，三棱锥的六条棱为长方体的对角线，通过勾股定理求边长第二步：通过，，，三个式子相交得：，再利用长方体外接球公式求出半径：,所以三棱锥外接球的表面积为【答案】A三棱锥中，，，，构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，，则长方体的对角线长等于三棱锥外接球的直径，如图，设长方体的棱长分别为，，，则，，，则，因此三棱锥外接球的直径为，所以三棱锥外接球的表面积为．故选：A例题5．（2022·福建漳州·高二期末）在三棱锥中，侧棱、、两两垂直，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为_________．思路点拨：通过已知条件，发现在思路点拨：通过已知条件，发现在三棱锥中，侧棱、、两两垂直，可以判定为墙角型，通过补形为长方体求解解答过程：第一步：补形，构造长方体，在长方体中，画出三棱锥第二步：由已知：，，，利用公式求解外接球半径，则，所以球的表面积为【答案】将三棱锥补全为长方体，则长方体的外接球就是所求的外接球，设球半径为R，则，所以球的表面积为．故选答案为：．角度5：外接球单面定球心法外接球单面定球心①第一步：选定一个底面（如图底面三角形），求出三角形外接圆圆心如图：若为直角三角形，则外接圆圆心在斜边的中点上；若为正三角形，则外接圆圆心在重心位置；若为普通三角形，则利用正弦定理,确定出的位置②第二步：过点作出平面的垂线，如图为，则球心在直线上；③计算：在中，利用勾股定理求出外接球半径例题6．（2022·云南红河·高一期末）已知正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为，则该棱锥外接球的表面积是（

）A． B． C． D．思路点拨：在思路点拨：在正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为，可考虑单面定球心法解答过程：第一步：选定底面，确定其外接圆圆心（为正三角形重心），则第二步：确定球心：由于三棱锥，则，面，则球心在直线上；且第三步：利用勾股定理求半径：由解得;第四步：所以球的表面积为.【答案】C【详解】过点作平面，垂足为，连接，由已知得，，设外接球的球心为，在上，球的半径为，则由得，，解得，所以球的表面积为.例题7．（2022·江苏南通·高一期中）在三棱锥中，已知平面，，，，，则该三棱锥外接球的表面积为______.思路点拨：在思路点拨：在三棱锥中，没有适合补形的条件，可考虑单面定球心法解答过程：第一步：选定底面，确定其外接圆圆心（采用正弦定理），由第二步：确定球心：由于平面,过作平面的垂线，则球心在该直线上，由于到的距离与到的距离相等，故;第三步：求半径;第四步：三棱锥外接球的表面积【答案】在底面

中，，，，由余弦定理可得，设外接圆的圆心为，半径为r，球心为O，由正弦定理可得，，得，底面ABC，且球心到点P，A的距离相等，球心与底面的距离为

，球心与圆心的连线垂直于底面，，，该三棱锥外接球的表面积故答案为：故选：C.角度6：外接球双面定球心法双面定球心①第一步：选定一个底面（如图底面三角形），求出三角形外接圆圆心如图：若为直角三角形，则外接圆圆心在斜边的中点上；若为正三角形，则外接圆圆心在重心位置；若为普通三角形，则利用正弦定理,确定出的位置②第二步：过点作出平面的垂线；③第三步：重复上述两步，再做一条垂线；④第四步：两条垂线的交点为球心例题8．（2022·广东梅州·高一阶段练习）如图，在三棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，且，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B根据题意，作出图形，如图所示，因为是以AC为斜边的等腰直角三角形，所以的外心在中点，设为，设的外心为，中点为，，因为，所以必在连线上，则，即，因为两平面交线为，为平面所在圆面中心，所以，，又因为二面角的大小为，，所以，所以，锥体外接球半径，则三棱锥的外接球表面积为，故选：B三、题型归类练1．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，，，若三棱锥的内切球的表面积为，则此三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D连接，并延长交底面于点，连接，并延长交于，在三棱锥中，，，三棱锥是正四面体，是的中心，平面，三棱锥的内切球的表面积为，，解得球的半径，设，则，，，，，，解得，，此三棱锥的体积为.故选：D.2．（2022·江苏·盐城市大丰区新丰中学高三阶段练习）若圆锥的内切球(球面与圆锥的侧面以及底面都相切)的半径为，当该圆锥体积是球体积两倍时，该圆锥的高为（）A． B． C． D．【答案】B如下图组合体的轴截面，设圆锥半径为，圆锥高为，则，，，由得,代入得①，由“该圆锥体积是球体积两倍”可知，即②，联立两式得.故选:B3．（2022·全国·高三专题练习）若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为（

）A．2：1 B．4：1 C．8：1 D．8：3【答案】A设圆锥的高为，底面半径为，则当球面与圆锥的侧面以及底面都相切时，轴截面如图，由可得：，即，圆锥的体积．当且仅当，即时取等号．该圆锥体积的最小值为．内切球体积为．该圆锥体积与其内切球体积比．故选：A．4．（2022·全国·高三专题练习）已知三棱锥三条侧棱、、两两互相垂直，且，，分别为该三棱锥内切球和外接球上的动点，则，两点间的距离最大值为______．【答案】由已知可将该三棱锥补成如图所示正方体．则三棱锥内切球球心，外接球球心，以及内切球与面的切点三点均在上，且．设内切球半径为，外接球半径为，则．由，解得，故，两点间距离的最大值为．故答案为：.5．（2022·陕西·三模（文））已知球O为正四面体的内切球，E为棱的中点，，则平面截球所得截面圆的直径为___________.【答案】球O为正四面体的内切球，，所以正四面体的体积为.设正四面体的内切球半径为r，则，故内切球半径，平面截球O所得截面经过球心，故平面截球O所得截面圆直径为.6．（2022·山西·高二期末）如图所示，用一个平行于圆锥SO的底面的平面截这个圆锥，截得的圆台，上、下底面的面积之比为1：9，截去的圆锥的底面半径是3，圆锥SO的高为18．则截得圆台的体积为________；若圆锥SO中有一内切球，则内切球的表面积为________．【答案】

##由题意得：截得的圆台，上、下底面半径之比为1:3，截去的圆锥的底面半径是3，故下底面半径为9，则圆锥SO的体积为，由相似知识得：，故，故截去的圆锥体积为，故截得圆台的体积为，画出内切球的截面图，如下：则有，设内切球半径为R，则，，由勾股定理得：，由得：，解得：，故内切球的表面积为.故答案为：，7．（2022·江西·景德镇一中高一期末）正方体的外接球体积与内切球体积的比为（

）A．3 B． C． D．2【答案】B设正方体的棱长为，则其外接球的半径为，内切球的半径为，所以正方体的外接球与内切球的体积之比是.故选：B8．（2022·辽宁·高一期末）设正四棱柱的外接球球心为，已知，且，则该正四棱柱外接球的表面积为___________.【答案】解：正四棱柱的外接球球心为，在正四棱柱的中心，如图，即体对角线的中点为，连接设半径，则因为正四棱柱，所以，则，在直角三角形中有，，故解得，所以外接球表面积.故答案为：.9．（2022·广西桂林·高一期末）已知四面体的棱长都等于2，那么它的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C如图，正四面体棱长为2，平面于，则是中心，，平面，平面，则，设外接球球心为，则在，则为外接半径，由得，解得，所以其外接球的表面积为，故选：C．10．（2022·全国·高三专题练习（文））已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD的外接球的表面积为______．【答案】设四面体ABCD的外接球的半径为R，将四面体ABCD置于长宽高分别为a，b，c的长方体中，故，故，故四面体ABCD的外接球的表面积为．故答案为：11．（2022·重庆·高一阶段练习）在三棱锥中，平面，，，，，则四面体的外接球的表面积为_____【答案】16因为，，，所以，所以，因为平面，平面，所以，，将三棱锥中补形为长方体，如图：则四面体的外接球就是长方体的外接球，所以该球的半径为，所以四面体的外接球的表面积为.故答案为；.12．（2022·全国·高三专题练习）四边形ABDC是菱形，，，沿对角线BC翻折后，二面角ABDC的余弦值为，则三棱锥DABC的外接球的体积为_____.【答案】##如图，取的中点为，连接AM,DM,则,则二面角的平面角为，，由四边形ABDC是菱形，可知为正三角形，设球心在平面内的射影为，在平面内的射影为，则为的中心，所以，，，由于二面角ABDC的余弦值为，故