第27练等差数列-高三数学一轮复习五层训练（新高考地区）

第27练等差数列一、课本变式练1.（人A选择性必修二P24习题4.2T1变式）设为等差数列的前n项和，已知，，则（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】由已知可得，，解可得，，故选C.2.（人A选择性必修二P24习题4.2T2变式）已知等差数列满足，，则的前项的和为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设等差数列公差为，，，，解得：，，解得：，的前项的和为.故选C.3.（人A选择性必修二P24习题4.2T8变式）“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三、三数之，剩二；五、五数之，剩三；七、七数之，剩二．问物几何？”即著名的“孙子问题”，最早由《孙子算经》提出，研究的是整除与同余的问题．现有这样一个问题：将1到2022这2022个数中，被3除余2且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的中位数为____________．【答案】1007【解析】由题意可知，既是3的倍数，又是5的倍数，即，所以，当时，，当时，，所以，数列共有135项，因此中位数为第68项，.4.（人A选择性必修二P24习题4.2T7变式）已知数列的前n项和为，，，且．(1)求证：数列是等差数列；(2)若，，成等比数列，求正整数m．【解析】(1)因为，所以，即，则．又，，满足，所以是公差为4的等差数列．(2)由（1）得，，则．又，所以，化简得，解得m＝7或（舍）．所以m的值为7．二、考点分类练(一)等差数列基本量的计算5.（2022届黑龙江省哈尔滨市三中高三模拟）已知等差数列的前n项和为，，，则（

）A．110 B．115 C．110 D．115【答案】B【解析】由题意知，，得，解得，所以.故选B6.（多选）（2022届重庆市高三下学期3月考试）朱世杰是历史上伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升.”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天比前一天多派7人，官府向修筑堤坝的每人每天发放大米3升.”则下列结论正确的有（

）A．将这1864人派谴完需要16天B．第十天派往筑堤的人数为134C．官府前6天共发放1467升大米D．官府前6天比后6天少发放1260升大米【答案】ACD【解析】记数列为第n天派遣的人数，数列为第n天获得的大米升数，则是以64为首项，7为公差的等差数列，即，是以192为首项，21为公差的等差数列，即，所以，B不正确.设第k天派遣完这1864人，则，解得（负值舍去），A正确；官府前6天共发放升大米，C正确，官府前6天比后6天少发放升大米，D正确.故选ACD7.记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．【答案】2【解析】由可得，化简得，即，解得.(二)等差数列的证明8．记为数列的前n项和．已知．(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值．【解析】(1)因为，即①，当时，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以为公差的等差数列．(2)解：由（1）可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以，所以，当或时．9.（2022届四川省成都市锦江区嘉祥外国语高级中学高考适应性考试）已知首项为2的数列满足，记.(1)求证：数列是等差数列，并求其通项公式；(2)求数列的前10项和.【解析】(1)，，即故是首项为2，公差为2的等差数列，.(2)知，，故.(三)等差数列前n和的最值10.设为等差数列的前n项和，且满足，.则当取得最小值时，n的值为（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【解析】设公差为d，由于，即，即，即，由于，所以，从而可得，所以当取得最小值时，n的值为6，故选B11.（2022届辽宁省渤海大学附属高级中学高三考前测试）若函数，其中n是正整数，则的最小值是______．【答案】100【解析】易知，要使取得最小值，正整数n必然在区间上，则∵，∴或时有最小值100．(四)等差数列的性质12.（2022届吉林省东北师范大学附属中学高三练习）数列为等差数列，前项的和为，若，，则当时，的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，则，故数列为递增数列，因为，，且当时，，所以，当时，，所以，满足当时，的最大值为.故选C.13.（2023届广西柳州市新高三摸底）记等差数列的前n项和为，若，则___．【答案】33【解析】等差数列中，，由得，则公差，首项，所以.三、最新模拟练14.（2022届湖北省武汉市高三下学期五月模拟）设公差不为零的等差数列的前n项和为，，则（

）A． B．1 C．1 D．【答案】C【解析】在等差数列中，，，故，又，故，则，故.故选C.15.（2022届江苏省淮安市高三下学期5月模拟）已知等差数列}的前n项和为，若，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意可得，则，因为，可得，则，设等差数列的公差为，则，由题意可得，可得.即的取值范围是.故选C.16.（2022届新昌中学高三下学期5月适应性考试）设等差数列的前n项和为，首项，公差，若对任意的，总存在，使．则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得，则得，即，令得，即①，即得.因为首项，公差，则得，即.又因为，所以，代入①得.当时，由得即，所以，即因此当或11时，的最小值为.故选C17.（多选）（2022届河北省辛集市高三下学期3月质量检测）已知等差数列的前n项和为，且满足，，则（

）A． B．C．当且仅当时，取最小值 D．【答案】AB【解析】设数列的公差为d，由，，得解得，，所以，，则，，A，B正确；令，得，且，则或时，取最小值，C不正确；因为，所以，D不正确．故选AB18.（多选）（2022届湖北省华中师大一附中高三考前测试）记数列是等差数列，下列结论中不恒成立的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】ACD【解析】设等差数列的首项为，公差为，则对于A，由数列是等差数列及，所以可取，所以不成立，故A正确；对于B，由数列是等差数列，所以，所以恒成立，故B不正确；对于C,由数列是等差数列，可取，所以不成立，故C正确；对于D，由数列是等差数列，得，无论为何值，均有所以若，则恒不成立，故D正确.故选ACD.19.（2022届四川省内江市第六中学高三下学期仿真）已知数列满足，，，则数列的前20项和为___________.【答案】330【解析】由题意，当为奇数时，，所以数列是公差为，首项为的等差数列，所以，当为偶数时，，所以数列是公差为，首项为的等差数列，所以，20.（2022届湖北省武汉市第二中学高三下学期5月全仿真模拟）已知数列满足，且，，.(1)求实数，使得数列为等差数列；(2)在（1）的条件下，设数列的前项和为，求的取值范围【解析】(1)若存在实数,使得数列为等差数列,则必是与无关的常数又所以,经检验,符合题意所以(2)由（1）知数列是等差数列,其首项为2,公差为1,则所以所以又递增所以所以21.（2023届广东省惠州市高三上学期第一次调研）已知数列的前项和为，，现有如下三个条件分别为：条件①；条件②；条件③；请从上述三个条件中选择能够确定一个数列的两个条件，并完成解答.您选择的条件是___________和___________.(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，求数列的前项和.【解析】(1)选①②时：解法1：由可知数列是以公差的等差数列，又得，得，故，即解法2：由可知数列是以公差的等差数列，又得，则，即选②③时：由可知数列是以公差的等差数列，由可知，即得，故，即选①③这两个条件无法确定数列.(2)所以四、高考真题练22.(2020高考全国卷甲)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石) () ()A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块【答案】C【解析】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，，设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为，因为下层比中层多729块，所以，即即，解得，所以．故选C23.(2019高考全国卷乙)记为等差数列的前项和．已知，，则 ()A．B．C．D．【答案】A【解析】，所以，故选A．24.(2019高考全国卷丙)记为等差数列{an}的前n项和，，则___________．【答案】4．【解析】因，所以，即，所以．25.（2020新高考全国卷1）记为数列的前n项和,已知是公差为的等差数列．（1）求的通项公式；（2）证明：．【解析】（1）∵,∴,∴,又∵是公差为的等差数列,∴,∴,∴,∴,整理得,所以,即,所以数列是常数数列,所以,∴的通项公式.（2）∴.26.（2022高考全国卷甲）记为数列的前n项和．已知．（1）证明：是等差数列；（2）若成等比数列,求的最小值．【解析】（1）因为,即①,当时,②,①②得,,即,即,所以,且,所以是公差的等差数列．（2）由（1）可得,,,又,,成等比数列,所以,即,解得,所以,所以,所以,当或时取得最小值．五、综合提升练27.（2022届重庆市第一中学校高三下学期5月月考）已知等差数列（公差不为零）和等差数列的前n项和分别为，，如果关于x的实系数方程有实数解，那么以下2021个方程中，无实数解的方程最多有（

）A．1008个 B．1009个 C．1010个 D．1011个【答案】C【解析】由题意得：，其中，，代入上式得：，要想方程无实数解，则，显然第1011个方程有解，设方程与方程的判别式分别为和，则，等号成立的条件是a1=a2021.所以和至多一个成立，同理可证：和至多一个成立，……，和至多一个成立，且，综上，在所给的2021个方程中，无实数根的方程最多1010个，故选C28.（多选）（2022届福建省南平市高三质量检测）如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中且.记，如记为，记为，记为，以此类推；设数列的前项和为.则（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】由题，第一圈从点到点共8个点，由对称性可知；第二圈从点到点共16个点，由对称性可知，即，以此类推，可得第圈的个点对应的这项的和为0，即，设在第圈，则，由此可知前圈共有个数，故，则，所在点的坐标为，则，所在点的坐标为，则，所在点的坐标为，则，故A正确；，故B正确；所在点的坐标为，则，所在点的坐标为，则，故C错误；，对应点的坐标为，，…，，所以，故D正确.故选ABD29.（2022届浙江省宁波市北仑中学高三上学期考试）设数列的前项和为，，()，(，).且､均为等差数列，则_________.【答案】【解析】又，即数列是首项为，公差为的等差数列，①，又分别构成等差数列，根据①式可得②，③，④，由②+③，得，又是等差数列，所以必为常数，所以，或，由①得，即，，，又，，即或(舍