专题08函数的单调性与奇偶性（原卷版）

专题08函数的单调性与奇偶性【知识导图】【方法探究】探究一：函数单调性的判断与证明【方法概述】1.利用定义判断或证明函数单调性的步骤2.求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性，(2)利用函数的图象，(3)若所求出函数的单调递增区间或单调递减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开。【例题1】判断下列选项中正确的是（

）A．函数的单调递减区间是B．若对于区间I上的函数，满足对于任意的，，，则函数在I上是增函数C．已知时，，则D．已知，则．【例题2】已知函数，下列属于函数单调递减区间的是（

）A．（1，2] B．[10，4) C．(4，0) D．(0，4)探究二：函数单调性的应用【方法概述】1.由函数单调性求参数范围的处理方法(1)由函数解析式求参数若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件，若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性．若为复合函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)——数形结合，探求参数满足的条件．(2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域．2.利用函数的单调性求最值的关注点(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)．(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)．(3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．(4)如果函数定义域为闭区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．【例题3】函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（

）A．(－∞，1] B．(1，5) C．[1，5) D．[1，4]【例题4】已知，，若，则的最值是（

）A．最大值为3，最小值 B．最大值为，无最小值 C．最大值为3，无最小值 D．无最大值，最小值为探究三：函数奇偶性的判断【方法概述】判断函数的奇偶性，一般有以下两种方法(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．【例题5】已知定义在R上的函数满足，且是奇函数，则（

）A．是偶函数 B．的图象关于直线对称C．是奇函数 D．的图象关于点对称【例题6】关于函数，描述不正确的是（

）A．的定义域为 B．的值域为C．在定义域上是增函数 D．的图像关于原点对称探究四：利用函数的奇偶性求值【方法概述】利用奇偶性求值的常见类型(1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数．(2)求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值．【例题7】是定义在上的偶函数，是奇函数，当时，，则（

）A． B． C． D．【例题8】已知函数的定义域是R，为偶函数，，成立，，则（

）A．1 B．1 C．2 D．2探究五：利用函数的奇偶性求解析式【方法概述】(1)已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．(2)已知函数f(x)，g(x)组合运算与奇偶性，则把x换为－x，构造方程组求解．【例题9】函数在上为奇函数，当时，，则当，（

）A． B． C． D．【例题10】若函数，（a，）为奇函数，则的值为（）A． B． C．1 D．4探究六：利用函数的单调性与奇偶性比较大小【方法概述】比较大小的求解策略，看自变量是否在同一单调区间上(1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小．(2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．【例题11】设函数是定义在实数集上的奇函数，在区间上是增函数，且，则有（

）A． B．C． D．【例题12】已知值域为的函数在上单调递增，且，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．探究七：利用函数的单调性与奇偶性解不等式【方法概述】利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类(1)利用图象解不等式．(2)转化为简单不等式求解．①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式；②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解．【例题13】定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【例题14】已知是定义在上的减函数，且对任意，都有，则不等式f（x2）>的解集为（

）A． B．C． D．【冲关训练】一、单选题1．下列结论正确的是（

）A．当时， B．若，且，则C．当时，的最小值为2 D．当时，无最大值2．函数在R上为减函数，且，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．3．设，，，则(

)A． B． C． D．4．对于函数，下列说法正确的是（

）A．若，．则函数的最小值为B．若，，则函数的单调递增区间C．若，，则函数是单调函数D．若，，则函数是奇函数5．函数的图像大致是（

）A． B．C． D．6．若函数在上是增函数，则与的大小关系是（

）A． B． C． D．7．若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则当时，函数的解析式为（

）A． B． C． D．8．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．9．若函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值为（

）A．2 B．2或 C．3 D．3或10．已知是R上的奇函数，且，当，，且时，，则当时，不等式的解集为（

）A． B．C． D．二、多选题11．设函数，则下列说法正确的是（

）A．若，则在上单调递减 B．若，无最大值，也无最小值C．若，则 D．若，则12．已知为偶函数，且为奇函数，若，则（

）A． B． C． D．13．已知函数的定义域为，是奇函数，则使得成立的充分条件是（

）A．在上单调 B．为偶函数C．为偶函数 D．14．已知函数，下列结论正确的是（

）A．定义域、值域分别是， B．单调减区间是C．定义域、值域分别是， D．单调减区间是15．下列函数中，在上单调递增且图像关于轴对称的是（

）A． B． C． D．16．已知函数的定义域为A，若对任意，存在正数M，使得成立，则称函数是定义在A上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（

）A．

B．C．

D．三、填空题17．函数为奇函数，是定义在上的减函数，若，则实数的取值范围为______．18．已知函数的定义域是，对任意，都有：，且当时，．给出结论：①是偶函数；②是奇函数；③在上是增函数；④在上是减函数．则正确结论的序号是________．19．设.若当时，恒有，则的取值范围是____.20．关于函数的性质，有如下说法：①若函数的定义域为，则一定是偶函数；②已知是定义域内的增函数，且，则是减函数；③若是定义域为的奇函数，则函数的图像关于点对称；④已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是.其中正确说法的序号有___________.21．定义在R上的奇函数满足，则___________．22．已知，函数，若对任意，恒成立，则a的取值范围是______．四、解答题23．已知．(1)若对，都有成立，求实数x的取值范围；(2)记关于x的不等式的解集为A，求集合A．24．已知函数，点，是图象上的两点.(1)求a，b的值；(2)判断函数的奇偶性，并说明理由；(3)判断函数在上的单调性，并说明理由.25．函数，(1)若在上是奇函数，求的值；(2)当时，求在区间上的最大值和最小值；(3)设，当时，函数既有最大值又有最小值，求的取值范围（用表示）26．已知函数满足下列3个条件：①函数的图象关于原点对称；②函数在上单调递减；③函数过定点．(1)请猜测出一个满足题意的函数，并写出其解析式；(2)求（1）中