第36练圆的方程直线与圆及圆与圆的位置关系

第36练圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系一、课本变式练1.（人A选择性必修一P88习题2.4T1变式）已知圆方程的圆心为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，即，所以圆心坐标为；故选C2.（人A选择性必修一P98习题2.5T13变式）如果圆上总存在两个点到原点的距离为，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】问题可转化为圆和圆相交，两圆圆心距，由得，解得，即.故选D3.（人A选择性必修一P98习题2.5T3变式）若直线与圆相交所得的弦长为，则_____．【答案】【解析】圆的圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为，由勾股定理可得，因为，解得.4.（人A选择性必修一P88习题2.4T9变式）已知动点到的距离是到的距离的2倍，记动点的轨迹为，直线：与交于，两点，若（点为坐标原点，表示面积），则___________．【答案】【解析】设，则，整理得．设，．联立，整理得，故①，②．又，故③．联立①②③，解得．二、考点分类练(一)圆的方程5.若方程表示一个圆，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，则.故选A6.设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．【答案】【解析】∵点M在直线上，∴设点M为，又因为点和均在上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴，，解得，∴，，的方程为.7.已知圆C的圆心为点，且与坐标轴相切.(1)求圆C的方程；(2)求直线被圆C所截得的弦长.【解析】（1）∵圆C的圆心为点，且与坐标轴相切，∴圆C的半径为，∴圆C的方程为.（2）∵圆C的圆心，∴圆心C到直线l的距离为.∴所求的弦长为.(二)直线与圆8．（2022届重庆市第八中学校高三下学期适应性月考）直线截圆截得的弦长为（

）A． B．2 C． D．4【答案】D【解析】圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离，所以弦长为.故选D.9.已知过点作圆的两条切线，，切点分别为，，则直线必过定点（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】圆的方程可化为，所以圆心.则以为直径的圆的圆心为，设以为直径的圆的半径为，则.所以以为直径的圆的方程为.过点作圆的切点分别为，,两圆的交点为,,即两圆的公共弦为.将两圆的方程相减可得直线的方程为，即.令得.所以直线必过定点.故选A.10.知点是函数的图象上的动点，则的最小值为__________.【答案】20【解析】由整理得，可知其图象是半圆，圆心为，半径为.又，其几何意义为点到直线距离的5倍，故分析点到直线距离的最小值即可.如图，作直线，点C到直线的距离，所以到直线的距离的最小值为，即的最小值为4，所以的最小值为.(三)圆与圆11.圆与圆的位置关系为（

）A．相交 B．内切 C．外切 D．相离【答案】A【解析】由与圆，可得圆心，半径，则，且，所以，所以两圆相交.故选A.12.（2023届广东省七校联合体高三上学期第一次联考）已知圆.若圆与圆有三条公切线，则的值为___________.【答案】【解析】由，得，所以圆的圆心为，半径为，因为圆，所以圆的圆心为，半径为，因为圆与圆有三条公切线，所以圆与圆相外切，即，解得，所以的值为.13.如图，圆与圆内切，且，大圆的半径为5.过动点P分别作圆､圆的切线PM､PN（M､N分别为切点），使，试通过建立适当的平面直角坐标系，求动点P的轨迹.【解析】如图，以所在直线为轴，以的中点为原点，建立直角坐标系，则，设，连接则根据勾股定理可得，，，由，可得，平方整理可得：，所以动点P的轨迹为圆心为，半径为的圆.(四)与圆有关的轨迹与最值问题14.（多选）（2022届】湖南省邵阳市第二中学高三下学期全真模拟）已知为坐标原点，圆：，则下列结论正确的是（

）A．圆与圆内切B．直线与圆相离C．圆上到直线的距离等于1的点最多两个D．过直线上任一点作圆的切线，切点为，，则四边形面积的最小值为【答案】ACD【解析】圆的圆心，半径，而圆的圆心，所以，所以圆与圆内切，A正确；圆心到直线的距离，故圆和直线相切或相交，B错误；因为圆心到直线的距离为：，因为，又因为圆的半径为1，所以上到直线的距离等于1的点最多两个，故C正确；过直线上任一点作圆的切线，切点为，，四边形面积为：，当垂直直线时，有最小值，且，因为，所以，则四边形面积的最小值为，故D正确.故选ACD.15.（2023届河南省郑州市第四高级中学高三第一次调研）已知圆，点P是直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为______．【答案】【解析】圆，即，由于PA，PB分别切圆C于点A，B，则，，，所以，因为，所以，又，所以，所以，即，所以最短时，最短，点C到直线的距离即为的最小值，所以，所以的最小值为16.已知圆，平面上一动点满足：且，．求动点的轨迹方程；【答案】【解析】设，由，所以，整理得，即动点的轨迹方程．三、最新模拟练17.（2022届浙江省杭州二中、温州中学，金华一中三校高三下学期5月仿真模拟）过x轴正半轴上一作圆的两条切线，切点分别为A，B，若，则的最小值为（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】A【解析】如图，连接交于点，易得，，由，最小时，最大，又，可得，即，最大时，最小，最小；又，则，故的最小值为1.故选A.18.（2022届广东省潮州市瓷都中学高三下学期第三次模拟）圆C：上恰好存在2个点，它到直线的距离为1，则R的一个取值可能为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】圆C：的圆心，半径R，点C到直线的距离为圆C上恰好存在2个点到直线的距离为1，则，故选B19.（多选）（2022届山东省青岛市高三下学期5月二模）已知，则下述正确的是（

）A．圆C的半径 B．点在圆C的内部C．直线与圆C相切 D．圆与圆C相交【答案】ACD【解析】由，得，则圆心，半径，所以A正确，对于B，因为点到圆心的距离为，所以点在圆C的外部，所以B错误，对于C，因为圆心到直线的距离为，所以直线与圆C相切，所以C正确，对于D，圆的圆心为，半径，因为，，所以圆与圆C相交，所以D正确，故选ACD20.（2023届云南省昆明市第一中学高中高三第一次摸底）已知圆和圆交于两点，则直线的方程是___________.【答案】【解析】由两圆相交，则交线的方程由两圆方程相减得到，所以直线的方程是.故答案为21.（2022届辽宁省渤海大学附属高中高三考前测试）已知动点到的距离是到的距离的2倍，记动点的轨迹为，直线：与交于，两点，若（点为坐标原点，表示面积），则___________．【答案】【解析】设，则，整理得．设，．联立，整理得，故①，②．又，故③．联立①②③，解得．22.（2022山东省烟台市莱州市高三上学期12月月考）已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点.（1）求圆的方程；（2）若圆与直线：交于，两点，_____________，求的值.从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：；条件②：.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.【解析】（1）设圆心坐标为，半径为.由圆的圆心在直线上，知：.又∵圆与轴相切于点，∴，，则.∴圆的圆心坐标为，则圆的方程为.（2）如果选择条件①：，而，∴圆心到直线的距离，则，解得或.如果选择条件②：，而，∴圆心到直线的距离，则，解得或.四、高考真题练23.(2022高考全国卷甲)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为 ()A． B． C． D．【答案】B【解析】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆的标准方程为．由题意可得，可得，解得或，所以圆心的坐标为或，圆心到直线的距离均为；圆心到直线的距离均为，圆心到直线的距离均为；所以，圆心到直线的距离为．故选B．24.（2022高考全国卷乙）过四点中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】或或或（写出其中一个即可）【解析】解法一：依题意设圆的方程为,若过,,,则,解得,所以圆的方程为,即；若过,,,则,解得,所以圆的方程为,即；若过,,,则,解得,所以圆的方程为,即；若过,,,则,解得,所以圆的方程为,即；故答案为：或或或；解法二：由于只要求写出其中一个圆的方程,我们写最简单的一个：设,可知,所以以OB为直径的圆就是过点的圆,因为OB中点为,,所以过点的圆的方程为.25.（2022新高考全国卷1）写出与圆和都相切的一条直线的方程______．【答案】或或【解析】圆的圆心为,半径为,圆的圆心为,半径为,两圆圆心距为,等于两圆半径之和,故两圆外切,如图,当切线为l时,因为,所以,设方程为O到l的距离,解得,所以l的方程为,当切线为m时,设直线方程为,其中,,由题意,解得,当切线为n时,易知切线方程为,26.（2022新高考全国卷2）设点,若直线关于对称的直线与圆有公共点,则a的取值范围是_____．【答案】【解析】关于对称的点的坐标为,在直线上,所以所在直线即为直线,所以直线的方程为,即；圆,圆心,半径,由直线l与圆有公共点,得圆心到直线的距离,即,解得,即五、综合提升练27.在平面直角坐标系中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆的两条切线，，为切点，满足，则的取值范围是（

）．A． B．C． D．【答案】B【解析】设，，则，整理得，，解得（舍去）或，所以点P的轨迹方程为，若直线与相切时，，解得或，当曲线与圆有四个交点时，对应的满足题意，当时，如图所示，二者一个交点，存在一个点，不符合题意，当时，如下图所示，此时二者有三个交点，存在三个点，不符合题意，当时，如图所示，二者有两个交点，存在两个点，不符合题意，当时，如图所示，二者没有交点，不存在点满足题意，当时，二者有四个交点，存在四个点，满足题意，综上，．故选B．28.（多选）已知a>0，圆C：，则（

）A．存在3个不同的a，使得圆C与x轴或y轴相切B．存在2个不同的a，使得圆C在x轴和y轴上截得的线段相等C．存在2个不同的a，使得圆C过坐标原点D．存在唯一的a，使得圆C的面积被直线平分【答案】ACD【解析】由条件可知，圆C的半径为1，圆心坐标为（a，lna），即圆心在曲线y＝lnx上运动．对于A，当a＝1时，圆C与y轴相切，当，即a＝e或时，圆C与x轴相切，所以满足要求的a有3个，A正确；对于B，若圆C在x轴和y轴上截得的线段相等，则圆心到x轴和y轴的距离相等，故圆心在上，又圆心在y＝lnx上，作图可知曲线y＝lnx与y＝x没有公共点，与y＝x有一个交点，所以满足要求的a仅有一个，B错误；对于C，若圆C过坐标原点，则，如下图可知，曲线y＝lnx与有两个交点，所以满足要求的a有2个，C正确；对于D，若圆C的面积被直线平分，则直线经过圆心（a，lna），计算可知曲线y＝lnx在x＝e处的切线恰好为，即满足要求的a仅有一个，故D正确．故选ACD.29.（2023届湖北省九校教研协作体高三上学期考试）如图，经过坐标原点O且互相垂直的两条直线AC和BD与圆相交于A，C，B，D四点，M为弦AB的中点，有下列结论：①弦AC长度的最小值为；②线段BO长度的最大值为；③点M的轨迹是一个圆；④四边形ABCD面积的取值范围为．其中所有正确结论的序号为______．【答案】①③④【解析】由题设，则圆心，半径，由圆的性质知：当圆心与直线距离最大为时AC长度的最小，此时，①正确；BO长度最大，则圆心与共线且在它们中间，此时，②错误；若分别是的中点，则且，且，又，易知：为矩形，而，若圆心到直线的距离且，所以，则，故，所以在以为直径，交点为圆心的圆上，③正确；由上分析：，，而，所以，令，则，当，即时，；当或5，即或时，；所以，④正确；故答案为①③④30.（2022届福建省厦门市高三毕业班第四次质量检测）中，，线段上的点M满足．(1)记M的轨迹为，求的方程