考点24线面平行证明7种常见考法归类-2022-2023学年高一数学题型归纳与解题策略(人教A版2019)

考点24线面平行证明7种常见考法归类证明方法“一找二作三证明”“一找二作三证明”是证明线面平行的常用方法，此证明方法分为三步，具体的操作流程如下：第一步，就是“一找”：根据直线与平面平行的判定定理，要证明线面平行，只需要在这个平面内“找”出一条直线与已知直线平行即可.其次是“一找”的原则：一是要“找”的是线线平行，二是要在一个平面图形中“找”.第二步，就是“二作”：在分析题意之后，若不能直接“找”到所需要证明的线线平行的关系，则进入“二作”的程序.从三个方面去理解"二作"，第一方面"作"就是作辅助线或辅助平面，有简单的“作”或复杂的“作”；第二方面，每一次"作"的时候都要围绕证明所需去"作"，要证平行关系就去“作”线线平行；第三方面，要把线线平行的关系“作”在一个平面图形中.第三步，就是"三证明"：经过第一或第二步的操作之后，再按照分析的思路，快速而且规范地写出证明命题的整体过程.在"三证明"中要注意三点，第一，数学符号要标准，几何语言表述要规范；第二，书写要有层次性；第三，最后表述证明结果时要严格遵守判定定理的条件.注：线线平行的常见“找”法依据中位线的平行；平行四边形的对边平行；平行线的传递性；线面垂直的性质定理；（5）面面平行的性质定理.2、证明线面平行问题经常出现在立体几何试题中，此类问题主要考查线面平行的性质定理和判定定理的应用.而证明线面平行，关键在于作出合适的辅助线，构造出一组平行线或平行平面.（1）构造三角形的中位线证明线面平行，通常需运用线面平行的判定定理：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.那么在证明线面平行时，需找到一组平行线，使得其中一条直线在平面外，另一条直线在平面内.若已知一条线段的中点，且平面内或外的一条直线为三角形的底边，则可过三角形的中点作三角形的中位线，那么就可以根据三角形中位线的性质：中位线平行且等于底边的一半，来证明线面平行.在构造三角形的中位线时，要注意关注中点、线段的垂直平分线、三角形的重心等信息，结合图形的特征寻找中位线。（2）构造平行四边形我们知道，平行四边形的对边平行且相等.在证明线面平行时，可根据图形的特点，找到一组对边平行且相等的线段，分别将这四点连接，便可构造出平行四边形，使另一组对边分别为平面内外的一条直线，即可根据平行四边形的性质和线面平行的判定定理证明线面平行.通过直观观察，若平面内的一条直线与平面外的一条直线长度相等，一般猜想构造平行四边形，这时利用平行四边形对边平行得出线线平行，进而得到线面平行。（3）利用相似比寻找线平行如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，这也是得到线面平行的一种有力工具。题目中出现比值关系时，可考虑利用比值关系，寻找线线平行，进而得到线面平行。（4）利用直线与平面平行的性质定理寻找线线平行利用直线与平面平行的性质定理得到直线与直线平行，进而得到直线与平面平行。先证明线面平行（或题目已知线面平行），再利用线面平行的性质定理，得到线线平行，进而得到线面平行。（5）构造平行平面面面平行的性质有很多，常见的有：（1）若两个平面平行，则在一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面；（2）若两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行.在证明线面平行时，只要证明直线所在的平面和平面平行，那么就可以根据面面平行的性质，证明直线和平面平行.当构造三角形和平行四边形困难时，可以考虑构造平行平面.若要证明平面，只需构造一个平面//平面，且，那么根据平行平面的性质，即可证明平面.在构造平行平面时，可在平面内作一条直线，使其平行于.也可直接根据正方体、长方体、直棱柱的性质构造平行平面.考点一利用三角形的中位线证明线面平行考点二构造平行四边形证明线面平行考点三利用对应线段成比例证明线面平行考点四利用线面平行的性质证明线面平行考点五通过面面平行证线面平行考点六翻折类线面平行问题考点七线面平行的探索性问题考点一利用三角形的中位线证明线面平行1．（2023春·四川甘孜·高一统考期末）如图，棱长为2的正方体中，是的中点.(1)证明:平面;(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接交于，连接，证明后得线面平行；（2）由计算体积．（1）连接交于，连接，则为的中位线，所以，又平面，平面，平面；（2）为中点，则，又正方体中，到平面的距离为，2．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一校联考期末）如图，长方体中，，，点为的中点.(1)求证：直线平面PAC；(2)求异面直线与AP所成角的大小.【答案】(1)证明见解析(2)30°【分析】（1）设和交于点，可得，根据线面平行的判定定理即可得证．（2）由，得即为异面直线与所成的角．求得各个边长，根据三角函数的定义，即可得答案.【详解】（1）设和交于点，则为的中点，连接，∵是的中点，∴，又∵平面，平面，∴直线平面；（2）由(1)知，，∴即为异面直线与所成的角，∵，，且，∴．又，∴故异面直线与所成角的大小为．3．（2023春·四川绵阳·高一校考期末）如图，正方体边长为分别为中点．(1)求证：平面；(2)求异面直线与所成角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)45°【分析】（1）连接，根据，结合判定定理即可证明；（2）根据题意，是两异面直线与所成角或其补角，再求解即可.【详解】（1）证明：连接，∵分别为中点，∴，又∵平面，平面，∴平面．（2）解：∵，∴是两异面直线与所成角或其补角，∵是等腰直角三角形，∴，∴两异面直线与所成角的大小为45°．4．（2023春·浙江·高一期中）在直三棱柱中，，，，D是AB的中点．(1)求三棱锥的体积；(2)求证：∥平面；(3)求三棱柱的外接球的表面积．【答案】(1)5；(2)详见解析；(3).【分析】（1）由题可得，然后结合条件利用棱锥体积公式即得；（2）设与相交于点，可得，根据线面平行的判定定理，即得；（3）由题可得三棱柱的外接球即为以为棱的长方体的外接球，然后利用长方体的性质即得.【详解】（1）因为，，，所以，即，又D是AB的中点，所以；（2）设与相交于点，连接，在中，为的中点，为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；（3）由题可知在直三棱柱中，两两垂直，所以直三棱柱的外接球即为以为棱的长方体的外接球，设直三棱柱的外接球的半径为，则，即，所以三棱柱的外接球的表面积为.5．（2023春·陕西汉中·高一校考期末）如图，正四棱锥的高，，，为侧棱的中点．(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）计算出点到底面的距离以及的面积，再利用锥体的体积公式可求得三棱锥的体积.【详解】（1）证明：因为四边形为正方形，，则为的中点，因为为的中点，则，又因为平面，平面，所以，平面.（2）解：在正四棱锥中，为底面的中心，则底面，因为为的中点，则点到平面的距离为，，因此，.6．（2023春·四川绵阳·高一统考期末）如图，四棱锥中，底面为边长为2的菱形且对角线与交于点O，底面，点E是的中点．(1)求证：∥平面；(2)若三棱锥的体积为，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由中位线证得，即可证得∥平面；（2）取中点F，证得平面，再由结合棱锥的体积公式即可求解.【详解】（1）证明：连接．∵点O，E分别为的中点，∴，∵平面平面，∴∥平面；（2）取中点F，连接．∵E为中点，∴为的中位线，∴，且．由菱形的性质知，为边长为2的等边三角形．又平面，∴平面，，点E是的中点，∴，∴．考点二构造平行四边形证明线面平行7．（2023秋·陕西汉中·高一统考期末）如图，四棱锥的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别为AB，PD的中点，且PA＝AD＝2．(1)求证：平面PEC；(2)求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）取PC的中点G，由题可得，然后根据线面平行的判定定理即得；（2）根据锥体的体积公式结合条件即得.【详解】（1）取PC的中点G，连接EG，FG，因为F是的中点，所以，因为E是AB的中点，所以，所以，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）因为PA⊥平面ABCD，F为PD的中点，且PA＝AD＝2，四边形ABCD是正方形，所以三棱锥的体积为：＝．8．（2023春·天津河东·高一校考期末）如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，且，，M、N分别为PD、BC的中点．(1)求证：平面；(2)求：异面直线与所成的角．【答案】(1)证明见解析(2)60°【分析】（1）取的中点为，连接，再由，结合线面平行的判定证明即可；（2）由得出为直线与所成的角，进而得出异面直线与所成的角．【详解】（1）取的中点为，连接分别为的中点，且，即四边形为平行四边形平面，平面平面；（2）平面，，为直线与所成的角即异面直线与所成的角为9．（2023春·安徽宿州·高一校考期末）P为正方形ABCD所在平面外一点，E，F，G分别为PD，AB，DC的中点，如图．求证：(1)AE∥平面PCF；(2)平面PCF∥平面AEG.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）取PC中点H，分别连接EH，FH，根据E，F，H分别为PD，AB，PC的中点，得到EAFH为平行四边形，从而EA∥FH，再利用线面平行的判定定理证明；（2）根据E，G分别为PD，CD的中点，得到EG∥PC，利用线面平行的判定定理得到EG∥平面PCF，再利用面面平行的判定定理证明.【详解】（1）证明：如图所示：，取PC中点H，分别连接EH，FH，∵E，F，H分别为PD，AB，PC的中点，∴，∴EAFH为平行四边形．∴EA∥FH.又平面PCF，平面PCF，∴AE∥平面PCF.（2）∵E，G分别为PD，CD的中点，∴EG∥PC.又平面PCF，平面PCF，∴EG∥平面PCF.由(1)知AE∥平面PCF，EG∩AE＝E.∴平面PCF∥平面AEG.10．（2023春·吉林长春·高一长春市第五中学校考期末）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，.(1)若为侧棱的中点，求证：平面；(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点，通过，即可证明平面；（2）利用等积法，即求解即可【详解】（1）取的中点，连接，，在中，，在梯形中，，∴，，∴四边形是平行四边形，∴，而平面，平面，∴平面；（2）∵，，而∴平面，即为三棱锥的高，因为，，所以，又，所以11．（2010春·湖北孝感·高一统考期末）如图所示，在正方体中，点N在BD上，点M在上，且，求证：平面．【答案】证明见解析【分析】方法一:作，易证四边形为平行四边形，从而得到，即可得证.方法二:连接CN并延长交BA所在直线于点P，连接，从而可证，结论即可得证.【详解】证明

证法一：如图所示，作，交于点E，作，交AB于点F，连接EF，则平面，且，．∵在正方体中，，，∴．∴．,∴．又，∴四边形为平行四边形，∴．∵平面，平面，∴平面．证法二：如图所示，连接CN并延长交BA所在直线于点P，连接，则平面．易知，∴，又，，∴，∴，∴．∵平面，平面，∴平面．12．（2023春·河北邯郸·高一统考期末）在直三棱柱中，，分别是，的中点.(1)求证：平面；(2)若，，，求点到平面的距离.【答案】(1)详见解析(2)【分析】（1）首先连结连结交于点，再证明四边形是平行四边形，即可根据线线平行，证明线面平行；（2）利用等体积转化，求点到平面的距离.（1）连结交于点，连结，因为点分别是的中点，所以，且，所以，即四边形是平行四边形，所以，且平面，平面，所以平面；（2）因为，则,,，所以，所以，,因为，且，，所以平面，因为，所以点到平面的距离为1，，根据等体积转化可知，即，解得：，所以点到平面的距离为.考点三利用对应线段成比例证明线面平行13．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，点M、N分别为直线上的点，且满足，求证：平面.【答案】证明见解析【分析】通过线线平行来证得平面.【详解】连接BD，∵，∴，∵平面ABCD，平面ABCD，∴平面.14．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，点在线段上且.证明直线平面;证明：连接交于点，连接,∵，,∴△∽△,即，又∵，∴∴又∵、∴

15．（2016秋·江苏扬州·高二开学考试）如图，在四棱锥中，，且，，点在棱上，且．求证:平面．证明：连接交于，连．因为，所以，故又，所以．平面平面，所以平面．16．（2023秋·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考期末）如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，且，，⊥平面，，，点为线段的靠近点的三等分点.（1）求证：平面；（2）若异面直线与所成的角为，求多面体的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）连接AC交BD于点O，连接OE，利用三角形相似证明对应线段成比例，得出，即可证明；（2）利用分割补形法通过即可计算.【详解】（1）连接AC交BD于点O，连接OE.因ABCD是直角梯形，且，，，，所以和相似，且有，又点E为线段PA的靠近点P的三等分点，有，所以有.∥，又平面，所以∥平面.（2）直线PA与BC所成的角为，，即，又AD=4，PD⊥平面ABCD，所以PD=AD=4.计算得，.多面体体积.【点睛】关键点睛：本题考查线面平行的判断定理和多面体体积计算，解题的关键是通过三角形的相似成比例得出平行关系.考点四利用线面平行的性质证明线面平行17．（2023春·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期中）如图所示，在四棱锥中，平面，E是的中点.(1)求证：//平面(2)求证：//平面.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【分析】（1）由线面平行的性质可证得，进而证得平面；（2）取中点，先证四边形为平行四边形，进而证得，即可证得平面.【详解】（1）因为平面，平面，平面平面，所以，又平面，平面，则平面；（2）取中点，连接，易得，且，由（1）知且，则且，则四边形为平行四边形，则，又平面，平面，则平面.18．（2023春·宁夏吴忠·高一吴忠中学校考期中）空间四边形被一平面所截，、、、分别在、、、上，截面是矩形．(1)求证：平面；(2)求异面直线、所成的角．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）证明平面，利用线面平行的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）利用线面平行的性质可证得，结合异面直线所成角的定义以及已知条件可求得异面直线、所成的角．【详解】（1）证明：因为四边形是矩形，则，平面，平面，所以，平面，因为平面，平面平面，，平面，平面，因此，平面.（2）解：因为四边形是矩形，则，平面，平面，平面，平面，平面平面，，因为，，，，因此，面直线、所成的角为.19．（2023春·湖南长沙·高一长沙市南雅中学校考期中）在三棱锥ABCD中，E，F分别是棱BC，CD上的点，且平面ABD.(1)求证：平面AEF；(2)若平面BCD，，，记三棱锥FACE与三棱锥FADE的体积分别为，，且，求三棱锥BADF的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据平面ABD，利用线面平行的性质定理得到，再利用线面平行的判定定理证明；（2）根据，，，得到，再根据平面，由求解.【详解】（1）证明：∵平面ABD，平面BCD，平面平面，∴，又∵平面AEF，平面AEF，∴平面AEF；（2）∵，，且，∴，∴，∴，由（1）知，∴，又因为，所以，所以，因为平面，所以.考点五通过面面平行证线面平行20．（2023秋·河南安阳·高一安阳市第三十九中学校考期末）如图，在直四棱柱（侧棱垂直底面的棱柱称为直棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为2的菱形，且∠DAB＝60°，AA1＝AB，点E，F分别为DD1，CC1的中点，点G在D1F上．(1)证明：平面；(2)求三棱锥B﹣ACE的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）通过面面平行的性质来证得平面.（2）结合锥体体积公式求得正确答案.【详解】（1）连接BD交AC于点O，则O为BD的中点，连接BF，OE，BD1，则．∵平面ACE，OE⊂平面ACE，∴平面ACE．∵，ED1＝CF，∴四边形D1ECF为平行四边形，∴．又∵平面ACE，EC⊂平面ACE，∴平面ACE．∵，BD1⊂平面BD1F，D1F⊂平面BD1F，∴平面平面ACE，∵BG⊂平面BD1F，∴平面ACE．（2）在△ABC中，AB＝BC＝2，∠CAB＝30°，则AC边上的高为1，，∴．又点E到平面ABC的距离为DE，且DE＝1，，.21．（2023春·浙江·高一期中）已知三棱锥中，△ABC，△ACD都是等边三角形，，E，F分别为棱AB，棱BD的中点，G是△BCE的重心．(1)求异面直线CE与BD所成角的余弦值；(2)求证：FG平面ADC．【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）取的中点，连接，证明，则异面直线CE与BD所成角的平面角即为或其补角，解即可；（2）取的中点，连接，证明平面平面，再根据面面平行的性质即可得证.【详解】（1）解：取的中点，连接，因为E为棱AB的中点，所以，则异面直线CE与BD所成角的平面角即为或其补角，设，则，，在中，，即异面直线CE与BD所成角的余弦值为；（2）解：取的中点，连接，因为E，F分别为棱AB，棱BD的中点，所以，又平面，平面，所以平面，平面，又平面，所以平面平面，又因为G是△BCE的重心，所以点在上，故平面，所以FG平面ADC．22．（2023春·山西晋中·高一榆次一中校考期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F，G分别为线段BC，PB，AD的中点．(1)证明：平面PAC；(2)在线段BD上找一点H，使得平面PCG，并说明理由．【答案】(1)详见解析；(2)详见解析.【分析】（1）利用线面平行的判定定理即证；（2）AE与BD的交点H即为所求，利用面面平行的判定定理可得平面AEF∥平面PCG，进而即得．【详解】（1）∵E、F分别是BC，BP中点，∴EF∥PC，∵平面PAC，平面PAC，∴EF∥平面PAC．（2）连接AE，与BD相交于H，即为所求点，∵E、G分别是BC、AD中点，∴AE∥CG，∵平面PCG，CG⊂平面PCG，∴AE∥平面PCG，又∵EF∥PC，PC⊂平面PCG，平面PCG，∴EF∥平面PCG，AE∩EF＝E，AE，EF⊂平面AEF，∴平面AEF∥平面PCG，平面AEF，∴平面PCG.考点六翻折类线面平行问题23．（2023春·湖北十堰·高一丹江口市第一中学校考期末）如图1，在直角梯形中，，，点为的中点，点在，将四边形沿边折起，如图2.(1)证明：图2中的平面；(2)在图2中，若，求该几何体的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取中点，连接，分别证得和，结合面面平行的判定定理，证得平面平面，即可证得平面.（2）由，得到，证得，连接，把该几何体分割为四棱锥和三棱锥，结合锥体的体积公式，即可求解.【详解】（1）证明：取中点，连接，因为，所以四边形是平行四边形，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，且平面，所以平面，同理可知：四边形是平行四边形，所以，证得平面，因为平面，且，平面，所以平面平面，因为平面，所以平面.（2）解：若，因为，，则，故，所以两两垂直，连接，该几何体分割为四棱锥和三棱锥，则，因为平面平面，故，所以该几何体的体积为.24．（2023秋·贵州铜仁·高三校考阶段练习）如图①，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝CD＝1.现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图②.(1)求证：AM∥平面BEC；(2)求点D到平面BEC的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】取EC的中点为N，连接MN，BN,利用中位线可知四边形ABNM为平行四边形，可得BN∥AM，由线面平行的判定定理即可证明(2)根据又VE－BCD＝VD－BCE，由等体积法求出点到面的距离即可.【详解】证明：取EC的中点为N，连接MN，BN.在△EDC中，M，N分别为ED，EC的中点，所以MN∥CD，且MN＝CD.由已知AB∥CD，AB＝CD，得MN∥AB，且MN＝AB.故四边形ABNM为平行四边形，因此BN∥AM.又因为BN⊂平面BEC，且AM⊄平面BEC，所以AM∥平面BEC.(2)解：由已知得BC⊥BD，BC⊥DE，又BD∩DE＝D，所以BC⊥平面BDE.而BE⊂平面BDE，所以BC⊥BE.故S△BCE＝BE·BC＝××＝.S△BCD＝BD·BC＝××＝1.又VE－BCD＝VD－BCE，设点D到平面BEC的距离为h，则S△BCD·DE＝S△BCE·h，所以h＝＝.【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，等体积法求点到面的距离，属于中档题.25．（2023春·河北邯郸·高一校联考期中）如图，矩形中，，，为边的中点，将沿直线翻折成，且，点为线段的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）取的中点，连结，，利用三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质定理，线面平行的判定定理证明；（2）取的中点，连结，，利用勾股定理逆定理可得，进而利用线面垂直的判定定理得到平面,得到线面角，进而计算求解.【详解】（1）证明：取的中点，连结，，因为，均为中点，故且，又因为，且，则且，因此四边形为平行四边形，故，平面，故平面；（2）取的中点，连结，，因为，所以且.在中，，因为，故，又∵平面故平面.因此为直线与平面所成角，在中，，故.26．（2023秋·陕西咸阳·高三武功县普集高级中学统考开学考试）如图①所示，在矩形中，，，点为的中点，现将沿直线翻折成，使平面平面，点为线段的中点，如图②所示.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）取的中点，连接，，利用题设条件推导出四边形为平行四边形，从而得到，由此能够证明平面．（2）过作，为垂直足，由题设条件推导出平面，再由，，得到，由此能求出三棱锥的体积．【详解】解：（1）证明：如图所示，取的中点，连接､，则，且，又，且，从而有且，所以四边形为平行四边形，故有，又平面，平面，所以平面.（2）如图所示，过作，点为垂足，因为平面平面，且平面平面，所以平面，因为，所以，又，所以.考点七线面平行的探索性问题27．（2023春·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为的中点.(1)证明：AF平面；(2)在线段上是否存在一点，使得平面，并给出必要的证明.【答案】(1)证明见解析(2)存在，证明见解析【分析】（1）取中点，证明四边形为平行四边形即可；（2）设，取中点，先证明平面，即可证明点在线段靠近端的三等分点时符合题意.【详解】（1）证明：取中点，连接，在中，为的中点，.为的中点，，即四边形为平行四边形，.平面平面平面.（2）设，取中点，连接，则在中，分别是的中点，平面平面，平面.与相似，且相似比为，为的三等分点.在点位置时满足平面.即点在线段靠近端的三等分点时符合题意.28．（2023春·重庆九龙坡·高一重庆市铁路中学校校考期中）如图所示，在四棱锥中，平面，，E是的中点．（1）求证：；（2）若M是线段上一动点，则线段上是否存在点N，使平面？说明理由．【答案】（1