案例4：电力系统的电压控制方法

案例4：电力系统的电压控制方法

一、案例正文

1.1电压稳定的概念

电力工业的市场化发展和各级电网的互联互通在优化资源配置

和提高经济效益的同时，对电力系统的电压稳定运行提出了更大的挑

战。电力系统的电压稳定运行是保证电力系统发展的基础，对电力系

统的电压稳定性研究是电力系统规划设计和运行研究领域中非常重

要的课题。国际大可网会议（CIGRE）和国际电气与电子工程师学会

电力工程分会（IEEE/PES）认为：电压稳定性是指电力系统遭受扰动

后母线维持稳定电压的能力。我国在《电力系统安全稳定导则》中将

电压稳定定义为：电力系统受到小扰动后，系统电压能够保持或恢复

到允许的范围内，不发生电压崩溃的能力。

1.2电压稳定分析方法

潮流方程是对电力系统电压稳定进行静态分析的核心，以扩展潮

流方程为基本模型，通过分析临界运行状态下系统的各类特征判断当

前状态是否稳定，根据不同特征选择不同的分析方法计算临界点，评

判电压稳定的静态分析方法主要有:连续潮流法灵敏度分析法、非线

性规划法、奇异值分解法和分岔分析法。

1.2.1连续潮流法

通过连续潮流法可有效分析电力系统的静态电压稳定性，连续潮

流法的计算步骤主要包括预测、校正、参数化和补偿控制。该方法常

用于电压稳定及负荷能力的分析,能够比较准确地计算出负荷裕度。

通过连续潮流计算不仅能够得到系统的电压稳定临界点，而且还可以

得到完整的负荷节点PV曲线。基于非线性潮流方程的连续潮济法计

算速度比较慢，一种改进的连续潮流法，通过结合电力网络的结构特

性引入新的状态变量，在每次迭代时不需要重新计算雅可比矩阵，从

而减少了大量计算，提高了连续潮流法计算的整体速度；还有基于特

勒根定理的改进连续潮流模型，通过对步长进行控制，有效提高了计

算速度。

1.2.2灵敏度分析法

灵敏度分析法在电力系统静态电压稳定分析中应用广泛，灵敏度

分析法基于电力系统潮流方程计算各物理量之间的微分关系，以此来

研究系统的电压稳定性，如dQi/d%、dPQi/dVI。通过灵敏度分析有

助于理解系统元件中冬控制变量对系统电压稳定性的影响，以研究负

荷裕度与各控制变量之间的关系。灵敏度方法求解方便，物理概念清

晰，计算量小，在简单电力系统中应用取得了不错的效果。有文献提

出静态电压稳定预防控制在线决策的核心环节是负荷裕度及其与控

制变量间灵敏度关系的快速计算，通过常规潮流方程总结了调控量与

状态量间的灵敏度关系，基于戴维南等值参数辨识方法并结合等值参

数与负荷裕度之间的数学关系，推演出调控量与负荷裕度间的解析关

联灵敏度，算例分析证明了灵敏度方法的有效性，通过灵敏度分析对

冬控制变量进行调整可有效提高系统的静态电压稳定性。

1.2.3非线性规划法

非线性规划法是求解最优化问题的堂用方法，属于运筹学的重要

部分，其中包括目标函数和非线性约束条件。非线性规划法在电力系

统中的应用相当广泛，也是求取静态电压稳定临界点的一种方法，常

规非线性规划法求解静态电压稳定临界点时没有考虑负荷增长时冬

发电机组有功出力的增长方式，导致计算结果过于理想。有一种结合

动态潮流思想，提出一种考虑发电机有功出力增长方式约束的动态非

线性规划法模型，结合实际选定的发电机有功出力增长方式来分担系

统全部有功不平衡功率，使得利用动态非线性规划法求得的电力系统

负荷裕度结果更加贴近实际。非线性规划法也可有效避免临近电压稳

定极限时潮流雅可比矩阵奇异及潮流不收敛的情形。随着系统规模的

扩大，约束方程数的急剧增加使非线性规划求解的难度增加，使该方

法的计算规模受到限制。

1.2.4奇异值分解法

奇异值分解是有关矩阵问题的强有力的计算工具，已在众多领域

中得到应用。该方法由潮流雅可比矩阵的行列式符号决定所研究系统

是稳定的或不稳定的，可以将潮流方程的雅可比矩阵进行奇异值分解,

潮流雅可比矩阵的最小奇异值作为静态电压稳定性的指标，将其加入

目标函数构造优化模型。以最小奇异值作为静态电压稳定性的指标计

算量小，实现简单。其中最小奇异值大小为当前运行点和电压稳定极

限之间的距离，左奇异向量和右奇异向量中的最大元素分别指示功率

注入最灵敏的方向和电压幅值。

1.2.5分岔分析法

从数学的角度来看，分岔分析法研究的主要是非线性方程中参数

统运行点接近鞍结分岔点时数值发散的问题，该方法通过在常规潮流

方程中添加连续性参数，可以沿着负荷增长的方向逐步追踪P-V曲线

的轨迹达到鼻点为止（如图1所示），电力系统的负荷裕度可定义为当

负荷按照某种增长方式逼近电压崩溃点时：系统当前运行点到电压崩

溃点的距离。

图IP-V曲线示意图

参数化的连续潮流方程可以表示为：

f（x,a,p）=o（1）

式中，X为状态变量，a为负荷裕度，p表示系统指定参数。节点i的连

续潮流方程展开式为：

AE=PGi-PLi-Vi^=i匕（Gijcos%+Bijsin办）+入（△七，一△

P〃）=0（2）

n

△Qi=Qa~QLI一匕W，（Gi，sin%—cos8订）+入（一△QLi）=0

7=i

（3）

式中，匕和,分别表示节点i和节点/的电压幅值，PGi和QGi分别表示节

点i上常规电源的有功功率和无功功率，Qij表示节点i和节点，的电压

相角差值，2和Q〃，分别表示节点i上的负荷功率，Gu和%分别表示

节点i和节禹之间的网络导纳的实部和虚部，APGI表示节点i的发电机

注入变化趋势，AP〃和表示节点i的负荷变化趋势。

L3.3鞍结点分岔点的灵敏度

在鞍结点分岔点(%*〃*),系统的雅可比知阵奇异，因此系统的雅

可比矩阵存在零特征值，且存在一个相对于该零特征值的左特

征向量3(%*,不)满足：

①此人*)瞿|=0(4)

■I-

在分岔点对于不同的参数p均满足上式，将公式(1)进行线性化处

理可得：

+察△入+及Ap=0(5)

dxdXdpl

式中，d/ya%为系统的雅可比矩阵，为潮流方程对负荷增长系

数a的导数a//3p为潮流方程对任意参数P的导数。将零特征值对应的

左特征向量3(%*"*)左乘上式，可得：

38，入*)修△入喘”)=。⑹

从而得出鞍结点分岔点处负荷裕度a对任意参数P的灵敏度公式

为为:

加=益=一3(”入埸/3(X*,入嚏(7)

1.3.3.1线路投切的灵敏度计算

在线路投切的灵敏度计算中，任意参数p表示开断的线路参数，

包括线路电纳、对地容纳以及线路电导，AP表示开断线路的负参数向

量，0〃即表示潮流方程对开断线路参数的导数矩阵。根据连续潮流

方程可得:如果开断线路i-只有节点i和节点/的功率平衡方程与开

断线路参数有关系，因此矩阵。△Pi/OPij中只有。△号/。句、MQi/

dPij、d^Qj/dPtj.d△号/。均非零。这4个非零元素分别为：

n

△Pl=Pot—匕*W，*(G〃c。s%+%sine；j)+r^PGi-APQ

;=i

=0

(8)

n

AQi=Qoi-ViW4(G〃sin%—BijCos鲂)+矛(-AQQ=0

J=I

⑼

n

%=Poj-Vt24(%c。s%+Bjtsin稣)+矛(APGJ-"切)=0

；=i

(io)

n

△Qj=Qoj-ViW4(%sine-t-BjiCOs所)+a*(-AQu)=0

i=l

(II)

式中，Poi、Qoi是初始状态下节点i注入的有功功率和无功功率，Poj、

Qoj是初始状态下节点j注入的有功功率和无功功率。

线路i-j断开后导致负荷裕度有所变化，其变化量△入叮由式(12)计

算：

pOAPtcQdAQ]pdAPj〜八dAQ,

△电=3西邸ij+3两5/+3'丽即。+3，标啊i

（12）

式中，M和的分别表示节点i和节点/的有功功率平衡方程，AQi和

△Q,分别表示节点i和节点/的无功功率平衡方程,表示线路开断前

后输电线路参数变化量，s=-co（x*,r）/（co（x*,r）（a//dA））,砂为

向量小对应节点i尢功功率平衡方程中的元素，为向量小对应节点i

有功功率平衡方程中的元素，方Q/为向量G对应节点/无功功率平衡方

程中的元素，5JP/为向量G对应节点/有功功率平衡方程中的元素。

1.3.3.2变压器分接头的灵敏度计算

通过计算负荷裕度对变压器分接头的灵敏度，可有效筛选出提高

负荷裕度效果较强的变压器，对筛选出的变压器进行调整可有效提高

系统的静态电压稳定性。关于负荷裕度对变压器分接头的灵敏度计算,

计算方法与线路投切类似，将变压器等效成7T型电路如图2所示。

图2变压器丸型等效电跖

变压器分接头位置可以表示为：

k=1+kp•t(13)

式中,k为变压器分接头；芍为变压器调整时单位档位的大小，其数值通

常为0.0125;t为变压器分接头所处的档位，通常情况下

加[—8,—7,…7,8],若升高一档则t+1,若降低一档则t—1。假设变

压器可以连续调节，则dk/dt=0.0125o

变压器节点i处的自导纳为:

GCI;n_(kT)y/工如_”

ii+必t-----yT(14)

由式(14)可得，节点i处的自导纳与分接头位置无关，则其对t的

偏导为:

㈣=0(15)

九

吗=0(16)

和

变压器支路的互导纳为-笠，其对珀勺偏导为：

ik

dGijd(G)dkkpG

--=-------Lr----(17)

UAtLLdLikv(dXLA/"2

dBU=*)dkR=M

dtdkdtk2(18)

变压器节点i处的自导纳为：

cIjD_(l-k)yr,yr_yr

Gjj+jBjj+工—记(19)

对t的偏导为:

dGJJ_d信)dkc=-2kpG

dtdkdtUk3(20)

dBJj=壮忌)dkB="B

dtdkdtUk3(21)

根据上式关于节点导纳阵的偏导计算结果，结合公式(8)・(11)推导

功率平衡方程对变压器档位的偏导为：

誓=一碧匕匕(Geos勿+BsinB^(22)

Uviv

嘿=-%VM(Gcos9ij_8sin%)(23)

写2=察-*V"j(Gcoseij+Bsin*j)(24)

=一鲁叫2-今匕匕.(Gsin%•-BcosBtj)(25)

1.4满足静态电压稳定增强要求的发电机最佳调整方法

1.4.1发电机最佳调整模型

优化发电机出力能够提升电力系统的静态电压稳定性，欲将系统

的负荷裕度提高指定百分比％%,计算需要调整的发电机并确定其有

功出力。

1.4.1.1目标函数

①参与出力调整的发电机台数最少

mi咯日I(26)

式中，尤表示节点i处的发电机是否参与出力调整，心£{0,1},若该发

电机参与出力调整，则叫=1(反之，匕=0)；4为全部发电机所在

节点组成的集合。

②发电成本最小

mink©(PGi)(27)

式中，C《)为节点i处发电机的发电成本函数；h为节点i处发电机调

整后的有功出力，即PG»=P&i+k/PGi；其中，P&为初始状态下节点

i处发电机的有功出力，APG?为所求的有功出力调整量。

1.4.1.2约束条件

①负荷裕度约束

目标函数(式(26)〜式(27))需在负荷裕度满足指定条件下，

即

A>(1+x%)〃(28)

式中，大丁和九分别为优化前和优化后系统的负荷裕度；x%为负荷裕度

提升需求，由运行人员根据系统运行情况毙前指定。

②连续潮流平衡约束

对节点i(im=1,23…m)，应满足连续潮流平衡方程：

PGI+^PGi~PLi~匕£为Vj^Gijeos%+B^sin%)+

-APQ=0(29)

m

QQLI-匕分，(Gi/sin%-Bjjcos%)+乂―AQQ=0

J=i

(30)

式中，P8和盘i表示初始状态下节点i处发电机的有功出力与无功

出力；和表示节点i处的负荷功率；7几为系统的总节点个数。

③发电机出力调整约束

调整过程中，忽略网络功率损耗，则参与调节的发电机有功功率

调整量总和为零，即

£畛33=0(31)

同时，调整过程应满足有功出力上下限约束，即

<PGI+KGI<2i,max，i€A(32)

式中，PGi.max和PGLznin分别为节点i处的发电机有功出力允许的上下

限值。

④静态安全运行约束

各节点电压幅值应满足约束：

匕,min——匕,max,，=1,2,3,…6(33)

式中，匕、％max和匕,m讥分别为节点t的电压幅值及允许的电压上下限

值。

输电线路〃•上视在功率的取值范围:

\Sij\<Sjmax，i，j=1,2,3,♦・.zn（34）

式中，片和Sjm”分别为连接在节点i和/之间的线路容量和允许的线

路容量限值。

142模型转化

根据第二章灵敏度计算方法可以得到鞍结分岔点（％*,不）处的负

荷裕度入对各台发电机有功出力p的灵敏度：

.=.=-3（%*"*境/3。/堵（35）

ApUpUA

式中，力为负荷裕度对节点i处发电机有功出力的灵敏度。力>0表示

若增加节点i处发电机有功出力可以提高负荷裕度；反之，/<0表示

节点i处发电机减少出力可以提高负荷裕度；而当历《0,则节点i处

发电机有功出力调整对负荷裕度的影响不明显，因此本文不考虑灵敏

度接近于0的发电机参与调整。发电机有功出力最大调整量为：

ADfPGi,max—^Gi>。.A

△PG「=髭"-PG…V。L"（36）

尽管部分发电机灵敏度数值较大，但其可调有功区间较小，因此

本章采用式（37）来估算负荷裕度的最大变化量，并以此为依据将发

电机进行排序。

△%=7］心PGmax，1EA附7）

式中，△々是通过灵敏度数值与发电机有功出力最大可调整量估算出

的负荷裕度变化量。

本文所提模型中发电机是否参与出力调整可表示为（M整数变量,

发电机有功功率调整量有界且连续，因此该问题是一个多目标混合整

数非线性规划问题。为降低该问题的计算复杂性，本文将多目标规划

问题转化成两个子问题进行求解，算法步骤如图3所示。

子问题1：采用灵敏度方法快速估算不同发电机调整台数的负荷

裕度提升区间，求解所提问题的整数变量；

子问题2：应用灵敏度法将原问题的非线性等式约束进行线性化

处理，转化成线性规划问题来计算最优解。

图3满足负荷裕度要求的发电机调整流程图

1.4.3发电机最佳调整问题的求解

1.发电机调整台数计算

该子问题采用基于灵敏度的方法估算发电机调整台数，前文已经

介绍了灵敏度方法及裕度估算，因此，为实现参与调整发电机的计算,

本文构造了一个基于灵敏度的发电机调整台数估算子问题的数学模

型，根据负荷裕度提升需求确定需要调整的发电机集合。

max2g匕/APGi(38)

stEE如/IVE-kg<£3此忻H(39)

Eiwa履=n,nG{2,3,4,}(40)

式中，九为参与调整的发电机台数；式(39)保证了在选取发电机增

强负荷裕度时其灵敏度数值要有止有负，式(31)保证了参与调整的

发电机台数最少为2。

上述子问题解决的是：当采取两台发电机(即n=2)参与出力调

整时，通过上述模型可得到：①估算出系统最大负荷裕度变化量；②

参与调整的两台发电机节点组成的集合B；③各发电机有功出力调节

量APGi(iC8)。根据计算出的发电机节点集合及有功出力调节量，运

用连续潮流法计算出此时具体的负荷裕度变化量△鼠以此类推，当采

取多台发电机(即n>2)参与调整时，均可用该方法求解负荷裕度最

大变化量。

根据上述子问题的解可以得到不同台数发电机调整与负荷裕度

提升范围的对应关系，以此作为依据，运行人员可根据提升需求选择

对应的发电机，求解出所提问题的整数变量，将对应的发电机节点集

合8传送至下一阶段进行具体调节量的计算。

2.发电机调节量计算

该子问题以子问题1的解作为给定值，求解发电机有功出力的具

体调节量。本文采用灵敏度方法，将负荷裕度约束线性化处理，针对

所提问题构造如下数学模型：

s・t.SiGB/APGI>ax%AT(41)

式中，a是补偿因子，一般取为(1.01〜1.03),它主要是为补偿线性灵敏

度的不足而设计，后续仿真中a取1.02o

该子问题在数学上属于线性混合整数规划问题，利用现有的线性

规划求解器，求解出发电机有功出力调整量APG&eB),并确定新的

发电机出力。

在本文中由于负荷裕度的计算是非线性的，因此需要检查电力系

统在新的出力下是否满足系统负荷裕