管理经济学中的常用数学模型

管理经济学结课论文之

管理经济学中的常用数学模型

管理经济学中的常用数学模型

摘要：由于历史的缘由，我们国家经济运行中数学的应用曾经处在无足轻重的

地位。随着社会的进步和经济的进展,人们越来越清晰熟悉到数学不仅可以被广

泛应用于自然科学和工程技术，而且已经渗透到经济科学和社会科学的众多领

域。纵观世界经济理论讨论和经济管理科学的进展，不难发觉数学在经济学中的

地位已发生了巨大的变化。

在本文中，主要介绍并总结几种常见的经济学模型。包括管理经济学，计量

经济学，宏观经济学，微观经济学等当面。并对其中的个别模型，尤其涉及到很

多数学应用的模型，进行应用举例。

关键字：RT-DE模型ARCH模型B-S模型

1.RT-DE模型（回归技术与需求估量模型）

在很多经营管理实践中，管理者要想取得弹性方面的信息，必需先收集一组

数据，然后用数学中的统计方法估量需求函数，再依据需求方程算出弹性。

RT-DE模型就是一种估量需求函数的模型。在此，应用回归技术来模拟出函

数。下面对回归技术模型基本思想进行应用说明。在此，我们采纳成本函数分析

为例，由于相对而言，I口I归技术在成本函数的应用更简洁理解。

RT-DE模型，也许分为这样几个的过程：

建立理论模型一收集数据一选择函数形式一估量和解释结果。

1.1回归技术

一般来说，管理者想知道成本和产量之间的美系，即企业的总成本函数，就

可以依据函数猜测下一个生产周期，怎样模拟出这个函数？在此，我们采纳最小

二乘回归技术法⑴。

假设总收入和函数是线性的，对上表的数据进行一次拟合，设为o

之所以选择线性方程，是由于线性方程具有多个有点，比如，不需要转变它的形

式，即不需要转换数据就能对它进行处理。而且相对来说，它对变量系数的解释

较为简洁。在此，把Y的实际值和猜测值之间的离差（即点到直线的垂直距离）

匕-匕称为残值。易知，有且只有一组确定的直线使得离差的平方和最小，即

Z（Y-炉产最小。我们应用公式:

X（x,-x）（^.-n

a=Y-bX

即可拟合出对应的线性曲线。其中，又彳是上表中总成本和总产量的平均值。

1.2对回归估量的检验

拟合出来的参数不肯定精确，现在来检验两个参数之间的强度。

一般，可以用两种方法检验，一种是使用可决系数，即用肥来衡量整个方程是

否能很好地解释因变量的变化。其次种方法是使用t-统计量来检验因变量和一

个自变量之间的关系强度。

对于可决系数R2,有

Z（匕一号

其中，W指的是x,对应的在拟合出的函数上的值。

上式的可决系数正£[0,1]。当回归方程一点不能解释Y的变差，即自变量和

因变量之间没有关系，KJ。。假如方程能完全解释变差，R2=l.一般地，Az的

值越大，回归方程就“越好”。

t-检验（t-test）被用来确定因变量和每个自变量之间是否存在显著的关系。

这个检验要求计算被估量的回归系数的标准离差（品）。

=区（匕一丫14二^

Z（X,.-无/-

依据统计学的原理，可用下式估量b的95%的信置区间：b'土"鬲,式中,

为一种特殊的概率分布，即同学的t分布的值⑵。下标（n-k-1）是自由度

数，其中n为观看次数或数据点，k为式中自变景的数目。

假如自变量和因变量之间没有关系的话，参数b=0,在统计学中，检验X,Y

的强弱的标准方法是检查在95%的信置区间内是否包括零值。假如不包括，就说

//在统计学上度量的X和Y之间的关系显著，假如包括零值就说b不显著，意思

是两个变量之间不存在较强联系。

采纳上述的两种检验方法检验两变量的强如关系，假如检验的结果比较弱，

就要对数据进行重新拟合，进行两次或三次的拟合。反复进行检验，假如检验的

结果都如此，则说明X,Y之间没有存在联系，即成本和产量之间没有明显的，

可估量的关系。

此外，由于产量一成本数据点并不是刚好在回归线上，而是分布在回归线的

四周，这意味着回归猜测的方程是有误差的。我们定义S,是估量值的标准差，

即对猜测值的可能误差的度量°有，

Se=

n-k-\

猜测值匕称为因变量的点估量，那么猜测的Y的值的范围应是：

特殊强调的是，在大多经济关系里，涉及的不仅仅是一个因变量和一个自变

量的简洁关系。因此，多元回归技术在经济学中应用更广泛。应用上述模型的原

理，也可以对相关数据进行多元回归拟合。

1.3回归技术应用举例：

某种产品的产量和总成本给出以下一组数据：

HypotheticalDataTotalCostandTotalOutput

生产周期总成本（匕）总产量（XJ

1$1000

21505

31608

424010

523015

637023

741025

那么，依据回归技术，可.以拟合出上表的线性方程是：匕=87.08+12.2IX：

如图所示：

总产量，总成本和拟合曲线

500

(l400

巳300

X)一

200

覆y

S+十100

510152025

总产•X)

现在对拟合出来的系数进行检验：

首先，采纳可决系数的方法，那么有

76245.88

=0.954

Z（匕T）279942.86

由于配的值是0.954,在0到1之间，说明本次拟合的函数很胜利。

舞亲79,那么

采纳l检验，TTSh=

/?±/n=12.21±2.571(1.19),

这表示介于成本和产量之间的可能边际关系（即b的值）落在这个范围内的概率

是0.95o

再计算S,的值，有S"/9942.86〈2)(6245.71)二2714,

现在可以对下次的产量或成本进行计算，假设现在有初步方案的产量是22,

依据上述关系对成本进行估量，有：

Y=87.08+12.21(22)=355.70

再加入标准差的计算，那么得知当X=22时，Y在95%的信置区间内的可能取

值是：

y'±2.571(SJ,即355.70±2.571(27.14)。

1.4需求估量

一般经济理论，我们分析因变量PJ,与和T之间的预期关系，记作：

Qd=f(P」,P°,T)。

其中，P是此种商品的当前价格，I表示消费者的收入，分是其他商品的

价格，T代表者对此种商品的偏好指数。正常商品和需求是正向关系；对其他产

品的价格来说，若两种产品的互补品，?就与需求呈反向关系，若是替代品，

就呈正向关系；若在衡量T的方面没有额外信息，就不简洁猜测它和需求之诃的

关系⑶。

现在将上述的变量之间的关系设为线性的，即：

Qd=B+bpP+b,I+b()P()+brT,有了上面介绍的回归技术，只要收集因变量的

相关数据，就可以拟合出这些系数的值。

那么需求弹性邑=华・二=勾•二，从而，只要有P的相关数据，就可

dPQdQd

以算出E/,的值。同样的方法，可以计算出收入弹性和交叉弹性⑴。

此外，在介绍采纳幕函数的形式来猜测弹性的估量值。

设为◎"=AP"〃/力罚”丁为，我们知道，基函数的形式不能

采纳回归技术，那么通过一下方式转变函数的形式，

log（2）=log（A/〃〃//TT"D

即logQd=logA+aplogP+a,log/+&logP。+aTlogT,

应用回归技术，可以估量出上式中系数的值。

又骼=5—两边同哈得

aa(lT

dQp-PapAP'^I'P^T

dPQ：Qd

而2=r。与,

于是，Ep=ap。

由此可见，基函数的优点是它供应了弹性的估量值，与线性方程的弹性相比，

这些弹性都是常数，不受自变量变化的影响。幕函数的另一个特点是因自变量的

1单位所引起的需求量变化不是一个常数，它不仅取决于该变量，还取决于其他

变量的值,这点与线性函数不同，这意味着使用事函数在计算上会有较多的困难,

但它能较好地描述变量之间的现实关系。

选择什么样的函数形式取决于理论模型和结果的用途。假如需求量被认为是

自变量的线性函数，那么线性形式是相宜的。相反，假如是估量弹性，或为了考

虑变量之间的非线性关系，那么就应选择事函数。

1.5需求估量的举例

很多软件可以供应回归技术的分析E，只要输入方程形式和数据就可以拟合

出所要的系数。那么假设有一组数据，用的是基函数的形式进行拟合，数据如下:

满足指数价格P收入I其它商品价格几

拟合系数0.02248-0.22431.34580.1034

标准误差0.018850.05630.50120.8145

t-验证数据(1.19)(-3.98)(2.69)(0.13)

观看数目：224解=0.2515

那么，上述的系数代表的就是对应的弹性系数。由于价格弹性值是-0.2243,

代表此种产品是非弹性产品。乂有收入弹性值是L3458,说明此种产品是浪费

品。而其他产品的系数为正但是不是很大，说明这两种产品没有很强的关系。R2

的值是0.2515,这是人相当低的值，代表只有在四分之一的可变范围内，该产

品的需求是可以被猜测的。引起内的值偏低的缘由，可能是有变量被遗漏。

尽管回归分析对于估量需求函数和其他经济关系是一种有用的技术，但是假

如分析者在建立模型和解释结果上不细心，也可能消失严峻的问题。最可能消失

的三个问题是：变量遗漏、识别问题和多重共线。在文献【4】中，可以看到此

类问题的具体介绍。

2.ARCH模型

2.1ARCH模型简介

ARCH模型由美国加州高校圣迭哥分校罗伯特・恩格尔（Engle）教授

1982年在《计量经济学》杂志（Econometrica）的一篇论文中首次提巴。

并且是2003年诺贝尔经济学奖的计量经济学成果之一。被认为是最集中反

映了方差变化特点而被广泛应用于金融数据时间序列分析的模型。

所谓ARCH模型，依据英文直译是自回归条件异方差模型。粗略地说，

该模型将当前一切可采用信息作为条件，并采纳某种自回归形式来刻划方

差的变异，对于一个时间序列而言，在不同时刻可采用的信息不同，而相

应的条件方差也不同，采用ARCH模型，可以刻划出随时间而变异的条件方

差。

2.2ARCH模型的基本思想

ARCH模型的基本思想是指在以前信息集下，某一时刻一个噪声的发生

是听从正态分布。该正态分布的均值为零，方差是一个随时间变化的量（即

为条件异方差）。并且这个随时间变化的方差是过去有限项噪声值平方的线

性组合（即为自回归）。这样就构成了自回归条件异方差模型。

以匕表示收益或收益残差，假设匕=4£,…（1）

此处，4~沆/（0/），即听从独立同分布，均符合期望为o,方差为1的王态

分布。

9929

其中扬=4）+40_1+。2与-2+・・・+%£二〃+小・・・（2）

记为ARCH模型。称序列以听从q阶的ARCH的过程，记作£,一ARCH（q）。

为了保证却为正值，要求他>0,67,.>0,（i=l,2,3,4…），即各期收益以

费负线性组合，常数项为正数。

上面（1）和（2）式构成的模型被称为回归一ARCH模型。ARCH模型通

常对主体模型的随机扰动项进行建模分析。以便充分的提取残差中的信息，

使得最终的模型残差小成为白噪声e序列。

从上面的模型中可以看出，由于现在时刻噪声的方差是过去有限项噪声

值平方的回归，也就是说噪声的波动具有肯定的记忆性，因此，假如在以

前时刻噪声的方差变大，那么在此刻噪声的方差往往也跟着变大；假如在

以前时刻噪声的方差变小，那么在此刻噪声的方差往往也跟着变小。体现

到期货市场，那就是假如前一阶段期货合约价格波动变大，那么在此刻市

场价格波动也往往较大，反之亦然。这就是ARCH模型所具有描述波动的集

群性的特性，由此也打算它的无条件分布是一个尖峰胖尾的分布。

2.3ARCH模型的主要应用

ARCH模型是过去20年内金融计量学进展中最重大的创新。目前全部的

波动率模型中，ARCH类模型无论从理论讨论的深度还是从实证运用的广泛

性来说都是独一无二的。

ARCH模型主要应用在分析方面。从1982年开头就始终没有间断，经济学家

和计量经济学家们，力图通过不断挖掘这个模型的潜力，来不断增加我们

解释和猜测市场的力量。从国外的讨论状况来看，大致有两个讨论方向：

一是讨论ARCH模型的拓展，完善ARCH模型。自ARCH模型始创以来，

经受了两次突破。一■次是BollerslevT.提出广义ARCH（Generalized

ARCH）,即GARCH模型。此模型将ARCH模型中的方差用ARMA模型⑷表示,

那么GARCH（p,q）模型为:

婷=%+«屋］+・.・+%£乙+£"匕+…+也吃

其次个应用是将ARCH模型作为一种度量金融时间序列数据波动性的有

效工具，并应用于与波动性有关广泛讨论领域。包括政策讨论、理论命题

检验、季节性分析等方面。

ARCH模型能精确地模拟时间序列变量的波动性的变化，它

在金融工程学的实证讨论中应用广泛，使人们能更加精确地把

握风险（波动性），尤其是应用在风险价值（ValueatRisk）理论中，在

华尔街是尽人皆知的工具。

3.B-S模型（期权定价模型）

3.1B-S模型简介

B-S是两位经济学家BLACK、SCHOLES名字的缩写，为了纪念他们发觉

该模型而用他们的名字命名。在20世纪70年月，布莱克与斯科尔斯提出

了该模型。认为，只有股价的当前值与将来的猜测有关；变量过去的历史

与演化方式与将来的猜测不相关。模型表明，期权价格的打算特别简单，

合约期限、股票现价、无风险资产的利率水平以及交割价格等都会影响期

权价格。1979年，科克斯（Cox）、罗斯（Ross）和卢宾斯坦（Rubinsetein）

的论文《期权定价：一种简化方法》提出了二项式模型（BinomialModel）,

该模型建立了期权定价数值法的基础，解决了美式期权定价的问题。其中，

B-S期权定价模型（以下简称B-S模型）中的B-S公式，荣获诺贝尔经济学奖。

3.2B-S模型基本思想

期权定价模型基于对冲证券组合的思想。投资者可建立期权与其标的

股票的组合来保证确定酬劳。在均衡时，此确定酬劳必需得到无风险利率。

期权的这肯定价思想与无套利定价的思想是全都的。所谓无套利定价就是

说任何零投入的投资只能得到零回报，任何非零投入的投资，只能得到与

该项投资的风险所对应的平均回报，而不能获得超额回报（超过与风险相

当的酬劳的利润）。从Black-Scholes期权定价模型的推导中，不难看出

期权定价本质上就是无套利定价。

B-S模型及其假设条件

B-S模型有5个重要的假设

1、金融资产收益率听从对数正态分布；

2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；

3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本；

4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得（该假设后被放弃）；

5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不行实施。

荣获诺贝尔经济学奖的B-S定价公式

C=S,N（d）_I,e_r.t•N（d-crj

其中：

c为叫买权期的值；

s为现在的股价；

1为敲定价格（也叫执行价格或履行价格）；

。为自然数的底；

r为无风险利率；

t为期权到期的时间；

G年度化方差；

NO—正态分布变量的累积概率分布函数，在此应说明两点：

第一，该模型中无风险利率必需是连续复利形式。一个简洁的或不连

续的无风险利率（设为％）一般是一年复利一次，而r要求利率连续复利

必需转化为r方能代入上式计算。两者换算关系为：-=31+“）或2=-7。

例如%二0.06,则厂ln（l+0.06）=0.85