《复变函数》课程教学大纲

《复变函数》教学大纲课程名称：复变函数英文名称：FunctionsofComplexVariables课程编号：F035091101学分：2.5总学时/课内实践学时：40/0课程性质：必修课程开课单位：数理科学与工程学院数学系基层教学组织适应对象：信息与计算科学专业一、课程简介《复变函数》是数学专业一门主要的专业必修课。它的理论和方法，对于数学的其他学科以及物理，力学，工程技术中的一些问题有许多重要的应用。通过本课程的教学，应使学生掌握复变函数的基本理论和方法，获得独立地分析和解决某些有关的理论和实际问题的能力。本课程的内容主要包括:复数与复变函数，复变函数的导数及其性质，复变函数的积分及其性质，解析函数的性质、幂级数和洛朗级数的展开，孤立奇点的分类，留数及其应用，共形映射的概念及性质。本课程的教学以教师讲授为主,辅以习题练习与学生自主自学。考核方式为平时作业（20%）期中考试（30%）和期末考试（50%）。本课程将数学理论知识应用于专业学科，启迪学生数学理论与实践相结合的思维惯性，灌输科学技术能够改造客观世界科研情怀。Thiscourseisamajorrequiredcourseformathematicsmajors.Itstheoriesandmethodshavemanyimportantapplicationstootherdisciplinesofmathematicsandsomeproblemsinphysics,mechanicsandengineeringtechnology.Throughtheteachingofthiscourse,studentsshouldmasterthebasictheoriesandmethodsofcomplexvariablefunctions,andacquiretheabilitytoindependentlyanalyzeandsolvesomerelatedtheoreticalandpracticalproblems.Thecontentofthiscoursemainlyincludes:complexnumberandcomplexvariablefunction,derivativeofcomplexvariablefunctionanditsproperties,integralofcomplexvariablefunctionanditsproperties,propertiesofanalyticfunction,expansionofpowerseriesandLaurentseries,classificationofisolatedsingularpoint,residueanditsapplication,conceptandpropertiesofconformalmapping.Thiscourseismainlytaughtbyteachers,supplementedbyexercisesandstudents’self-study.Theassessmentwillincludethehomework,themid-termexaminationandthefinalexamination,whichwillcountfor20%,20%and60%each.Thiscourseappliesmathematicaltheoryknowledgetoprofessionaldisciplines,enlightensstudents’thinkinginertiaofcombiningmathematicaltheorywithpractice,andinstillsscientifictechnologytotransformthescientificresearchfeelingsoftheobjectiveworld.二、课程目标1.注重学生科学思维方法训练和科学精神培养，激发学生科技报国的家国情怀和使命担当。2.理解复变函数的导数以及复变函数解析的概念；熟悉复变函数解析的充要条件；了解指数函数、三角函数、对数函数及幂函数的定义及它们的主要性质；了解复变函数积分的概念与性质，会求复变函数的积分；理解柯西-古萨定理，掌握牛顿－莱布尼兹公式、柯西积分公式、高阶导数公式，能熟练计算复变函数的积分；掌握留数的计算和留数定理应用。3.能够运用数学的基本理论，对数学中的有关重要事实、现象和公式给出理论上的解释与处理，提高分析问题和解决问题的能力。1.Payattentiontothetrainingofstudents’scientificthinkingmethodsandscientificspiritandstimulatestudents'feelingsandmissionofservingthecountrythroughscienceandtechnology.2.Understandthederivativesofcomplexfunctionsandtheconceptsofcomplexfunctionanalysis;Familiarwiththesufficientandnecessaryconditionsfortheanalysisofcomplexvariablefunctions;Understandthedefinitionsofexponential,trigonometric,logarithmicandpowerfunctionsandtheirmainproperties;Understandtheconceptandpropertiesoftheintegrationofcomplexvariablefunctions,andbeabletofindtheintegrationofcomplexvariablefunctions;UnderstandtheCauchy-Goursattheorem,mastertheNewton-Leibnizformula,Cauchyintegralformulaanhigherderivativeformula,andbeproficienttocalculatetheintegrationofcomplexvariablefunctions;Masterthecalculationofresidueandapplicationoftheresiduetheorem.3.Beabletoapplythebasictheoriesofmathematics,givetheoreticalexplanationsanddealwithimportantfacts,phenomenaandformulasinmathematics,andimprovetheabilitytoanalyzeandsolveproblems.三、课程目标与毕业要求对应关系本课程的课程目标对信息与计算科学专业毕业要求指标点的支撑情况如表1所示：表1：课程目标与毕业要求对应关系毕业要求指标点课程目标毕业要求1：知识要求具有扎实的数学基础，掌握信息科学、计算科学和计算机科学的基本理论和基本知识。课程目标2毕业要求2：能力要求通过系统的数学思维训练，掌握数学科学的思想方法，具有扎实的数学基础和较强的数学语言表达能力。课程目标2课程目标3能运用所学数学和计算机知识解决某些科研或生产中的实际问题。毕业要求3：素质要求具有正确的人生观、价值观和道德观，爱国、诚信、友善、守法，具有高度的社会责任感；具有良好的心理素质和积极的人生态度。课程目标1四、课程教学安排课程共有6项教学内容，具体安排如下。表2：课程教学安排表序号教学内容思政元素课堂教学学时实验/实践教学学时学时小计1复数的运算，复函数职业教育和爱国教育662解析函数——663柯西定理与柯西公式科学精神培养884解析函数的幂级数与洛朗级数——885留数定理与辐角原理家国情怀和使命担当886分式线性变换——44合计4040教学安排1.复数的运算，复函数教学要求：掌握复数的各种表示方法及其运算，了解区域的概念。了解复球面与无穷远点的概念。理解复函数的基本概念,掌握复函数的极限和连续性的概念，掌握几个基本的初等复函数。重点难点：函数的基本概念，几个基本的初等复函数。教学内容：复数的各种表示方法及其运算，复平面上的拓扑与复数域的完备性，区域的概念，复球面与无穷远点的概念。复函数的基本概念，复函数的极限和连续性的概念，复变量函数的形式偏导数掌握几个基本的初等复函数。思政元素：引入当代科学家事迹，增强爱国情怀。2.解析函数教学要求：理解复函数的导数及复函数解析的概念，掌握复变函数解析的充要条件。重点难点：解析函数的概念，可导的充要条件。教学内容：解析函数的定义，可导的充要条件，解析映射的几何意义。3.柯西定理与柯西公式教学要求：了解复变函数积分的定义及性质，会求复变函数的积分。理解柯西积分定理，掌握柯西积分公式和解析函数的高阶导数公式。了解解析函数无限次可导的性质，理解解析函数的最大模定理。重点难点：柯西积分定理，最大模定理。教学内容：复变量函数的曲线积分，柯西定理，柯西积分公式及其应用，解析函数的最大模定理。思政元素：引入当代数学家事迹，弘扬爱国主义情怀，以及数学家治之以恒的科研情怀。4.解析函数的幂级数与洛朗级数教学要求：理解复数项级数收敛、发散及绝对收敛等概念。了解幂级数收敛的概念，会求幂级数的收敛半径。理解幂级数在收敛圆内的一些基本性质，理解泰勒定理，会利用它们将一些简单的解析函数展开为幂级数。理解洛朗展开及孤立奇点的分类(包括无穷远点),会用间接方法将简单的函数在其孤立奇点附近展开为洛朗级数。重点难点：解析函数的幂级数展开，解析函数的洛朗展开。教学内容：解析函数的序列与幂级数，解析函数的幂级数展开，洛朗展开，解析函数的孤立奇点，整函数与亚纯函数。5.留数定理与辐角原理教学要求：留数概念，掌握极点处留数的求法，掌握留数定理。掌握用留数求围道积分的方法。会用留数求一些实函数的积分。理解辐角原理。重点难点：辐角原理，利用留数定理计算一些定积分。教学内容：留数定理，亚纯函数的辐角原理，留数定理在定积分计算中的应用。思政元素：讲授留数定理应用时，在用Fourier变换描述和证明海森堡量子不确定性原理时，介绍我国科学家潘建伟团队在量子通讯和量子计算机上的成就。6.分式线性变换教学要求：理解解析函数导数的几何意义及共形映射的概念，掌握线性映射的性质和分式性映射的保圆性及保对称性，了解函数w=zα(α为正有理数)重点难点：共形映射，分式线性变换。教学内容：解析映射的几何特征，分式线性变换。五、课内实践教学内容及要求无六、课程考核与评价表3：成绩评定方式表考核环节分值考核/评价细则平时作业和考勤10根据平时作业