《泛函分析》课程教学大纲

《泛函分析》教学大纲课程名称：泛函分析英文名称：FunctionalAnalysis课程编号：F035091232学分：2.5总学时/课内实践学时：40/0课程性质：选修课程开课单位：数理科学与工程学院数学系基层教学组织适应对象：信息与计算科学专业一、课程简介泛函分析是信息与计算科学专业的专业课之一，主要内容包括度量空间，线性空间及线性映射，Hahn-Banach定理及其应用，赋范线性空间，Hilbert空间及其应用，赋范线性空间的对偶，弱收敛与弱*收敛，有界线性算子，谱理论简介，紧算子理论等。通过本课程的学习，学生能够了解泛函分析的基本方法、基本思想及其在偏微分方程等现代数学分支中的广泛的应用，为学生进一步深入学习泛函分析的相关内容如自伴算子、半群理论以及快速进入数学研究的前沿领域等奠定坚实的基础。本课程的教学以教师讲授为主,辅以习题练习与学生自主自学。考核方式为平时作业（10%）期中考试（30%）和期末考试（60%）。Functionalanalysisisoneoftheprofessionalcoursesininformationandcomputationalscience,whichmainlyincludesmetricspaces,linearspacesandlinearmappings,HahnBanachtheoremanditsapplications,normedlinearspaces,Hilbertspacesandtheirapplications,dualityofnormedlinearspaces,weakconvergenceandweak*convergence,boundedlinearoperators,introductiontospectraltheory,compactoperatortheory,etc.Throughthestudyofthiscourse,studentswillbeabletounderstandthebasicmethodsandideasoffunctionalanalysis,aswellasitswideapplicationsinmodernmathematicalbranchessuchaspartialdifferentialequations.Thiswilllayasolidfoundationforstudentstofurtherdelveintotherelevantcontentoffunctionalanalysis,suchasselfadjointoperators,semigrouptheory,andquicklyentertheforefrontofmathematicalresearch.Thiscourseismainlytaughtbyteachers,supplementedbyexercisesandstudents’self-study.Theassessmentwillincludethehomework,themid-termexaminationandthefinalexamination,whichwillcountfor10%,30%and60%each.二、课程目标1.提高学生逻辑思维能力和抽象思维能力，培养学生科技报国的家国情怀和使命担当。2.理解度量空间的基本分析性质，理解无穷维线性空间的基本分析性质，认识无穷维线性空间上的线性映射的基本性质。3.了解泛函分析在偏微分方程等其他数学分支中的应用，具备运用泛函分析理论的分析数学问题的能力。1.Improvestudents'logicalandabstractthinkingabilities,cultivatetheirpatriotismandsenseofmissioninservingthecountrythroughscienceandtechnology.2.Understandthefundamentalanalyticalpropertiesofmetricspaces;Understandthefundamentalanalyticalpropertiesofinfinitedimensionallinearspacesandrecognizethebasicpropertiesoflinearmappingsoninfinitedimensionallinearspaces.3.Understandtheapplicationoffunctionalanalysisinotherbranchesofmathematicssuchaspartialdifferentialequations,andpossesstheabilitytoanalyzemathematicalproblemsusingfunctionalanalysistheory.三、课程目标与毕业要求对应关系本课程的课程目标对信息与计算科学专业毕业要求指标点的支撑情况如表1所示：表1课程目标与毕业要求对应关系毕业要求指标点课程目标毕业要求1：知识要求具有扎实的数学基础；了解数学的历史概况和广泛应用，以及当代数学的新发展。目标2，3毕业要求2：能力要求掌握数学科学的思想方法，具有扎实的数学基础和较强的数学语言表达能力。目标2，3毕业要求3：素质要求具有正确的人生观、价值观和道德观；具有较好的数学的人文社科素养。目标1四、课程教学安排课程共有4项教学内容，具体安排如下。表2：课程教学安排表序号教学内容思政元素课堂教学学时实验/实践教学学时学时小计1度量空间和赋范线性空间科学精神培养140142有界线性算子和连续线性泛函6063内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间爱国情怀100104巴拿赫空间中的基本定理哲学思想10010合计40040教学安排第一章度量空间和赋范线性空间教学要求：掌握度量空间中的极限，稠密集，连续映射（度量空间上的连续映射），柯西(Cauchy)点列和完备度量空间，度量空间的完备化。理解压缩映射原理及其应用，了解线性空间，赋范线性空间和巴拿赫(Banach)空间。教学内容：度量空间的例子，度量空间中的极限，稠密集，可分空间（几类特殊的点集，稠密性与可分性），连续映射（度量空间上的连续映射），柯西(Cauchy)点列和完备度量空间，度量空间的完备化，压缩映射原理及其应用，线性空间，赋范线性空间和巴拿赫(Banach)空间。重点难点：距离空间的完备性、紧性、列紧性判别法以及不动点定理。思政元素：我们在学习概念和定理时可引出相关数学家的研究经历，激励学生奋勇前行，学习他们刻苦钻研、不屈不挠的精神品质，同时也可以适当消除学习的枯燥感。例如在学习集合论的知识时，可以向学生介绍集合论的创造者———康托尔的故事。康托尔是想象力最丰富的数学家，他在27岁的时候，就表现出了惊人的数学天赋。他用有理数列构造实数，在数学发展历史上，这是“前无古人”的创意。从1874年开始，康托尔向神秘的“无穷”宣战，他成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应。然而，康托尔在学术上的成就，在最开始并没有得到同行的认可，就像哥白尼的日心说一样，他的成果遭到了严重的批判。在康托尔的余生中，由于事业和家庭生活两方面的打击，他患上了严重的精神疾病。然而，这位伟大的数学家并没有因为自己患病而放弃对数学的探索，在精神状态好的时候，他仍然坚持进行研究工作。

第二章有界线性算子和连续线性泛函

教学要求：掌握有界线性算子和连续线性泛函基本概念，特别是有界线性算子的概念与等价条件。了解广义函数。教学内容：有界线性算子和连续线性泛函，有界线性算子空间和共轭空间，广义函数。重点难点：有界线性算子和连续线性泛函；有界线性算子，连续线性泛函的等价条件。内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间

教学要求：掌握内积空间和希尔伯特空间的基本概念，特别是内积的定义，直交与直交系等概念。理解希尔伯特空间上的连续线性泛函，自伴算子、酉算子和正常算子。教学内容：内积空间的基本概念，投影定理，希尔伯特空间中的规范正交系，希尔伯特空间上的连续线性泛函，自伴算子、酉算子和正常算子。重点难点：内积空间和希尔伯特空间的特征。思政元素：讲述数学家的故事：例如，关肇直是我国著名的数学家，是中国现代控制理论的开拓者与传播人国内第一本泛函分析教程是他于1958年在北大开课时写出来的。为响应国家关于理论联系实际、科学技术为国民经济建设服务的号召，我国著名数学家田方增及时结合数学物理、国防科技数学开展泛函分析的工作，与关肇直合作共同开辟了中国原子能科学技术领域中“粒子迁移理论的数学问题”之研究，填补了中国在尖端科学技术领域中数学研究工作的一个空白，在中国成功地探索出应用泛函分析的一个重要科研领域。让学生感受到数学知识的更迭和数学家对知识的孜孜追求，增强学生的爱国情怀，激发学生民族自豪感和文化自信意识的共鸣。 第四章巴拿赫空间中的基本定理教学要求：掌握巴拿赫空间的概念，泛函延拓定理，开映照定理，闭图象定理，共鸣定理。理解强收敛、弱收敛和一致收敛，逆算子定理，闭图像定理。教学内容：泛函延拓定理，C的共轭空间，共轭算子，纲定理和一致有界性定理，强收敛、弱收敛和一致收敛，逆算子定理，闭图像定理。重点难点：巴拿赫空间中的几个基本定理。思政元素：巴拿赫空间中的几个基本定理之间的相互联系，启发学生寻找事物之间内在联系。五、课内实践教学内容及要求无六、课程考核与评价表4：成绩评定方式表考核环节分值考核/评价细则平时作业和考勤10根据平时作业和考勤得分按10%计入总成绩。