《图的定义和术语》课件

图的定义和术语图是数据结构的一种重要形式，用于表示实体之间的关系。它由节点和边组成，节点表示实体，边表示实体之间的关系。什么是图?节点和边图是由节点和边组成的结构，节点表示对象，边表示对象之间的关系。抽象模型图是一种抽象模型，用于表示实体和它们之间的关系。广泛应用图广泛应用于计算机科学、数学、物理学等各个领域，用于解决各种问题。图的元素和结构图由节点（顶点）和边组成。节点表示图中的对象，边表示节点之间的关系。边可以是有向的或无向的。有向边表示节点之间的单向关系，无向边表示节点之间的双向关系。图的结构可以是简单的，也可以是复杂的。一个图可以包含多个节点和边，节点之间也可以有多条边连接。图的分类无向图无向图中边没有方向性，连接两个节点的边表示节点之间存在双向关系。例如，社交网络中朋友关系可以用无向图表示。有向图有向图中边有方向性，表示节点之间存在单向关系，例如网页链接可以表示为有向图，其中一条边表示一个网页指向另一个网页。完全图完全图是每对节点之间都有一条边的图，完全图中的边数为n(n-1)/2，其中n是节点数。例如，一个班级的学生关系可以用完全图表示。稀疏图和稠密图稀疏图是指边数远小于节点数的图，稠密图是指边数接近节点数的图。稀疏图常用于表示关系较弱的网络，而稠密图常用于表示关系紧密的网络。有向图和无向图有向图有向图的边是有方向的，表示两个节点之间的单向关系。例如，在社交网络中，用户A关注用户B可以用一条从A到B的有向边表示。无向图无向图的边是双向的，表示两个节点之间的相互关系。例如，在道路网络中，两座城市之间有一条道路，可以用一条连接两座城市的无向边表示。邻接关系相邻节点如果两个节点之间存在一条边，它们就被认为是相邻的。例如，节点A和节点B之间存在一条边，则节点A和节点B是相邻节点。邻接矩阵邻接矩阵是一种用于表示图中节点之间邻接关系的数据结构。在邻接矩阵中，矩阵的每个元素代表两个节点之间是否存在边。邻接表邻接表是另一种表示图中节点之间邻接关系的数据结构。在邻接表中，每个节点都关联一个列表，该列表包含所有与该节点相邻的节点。度和连通性度顶点的度表示与它相连的边的数量。无向图中，顶点度为与其相连边的数量；有向图中，顶点度分为入度和出度，分别表示指向该顶点的边数和从该顶点发出的边数。连通性连通性指图中顶点之间的连接情况。无向图中，如果两个顶点之间存在路径，则它们是连通的；有向图中，如果从一个顶点到另一个顶点存在路径，则它们是强连通的。路径路径是图中顶点和边的序列，表示从一个顶点到另一个顶点的路线。路径的长度为路径上边的数量。路径和连通分量1路径从一个顶点到另一个顶点的顶点序列2简单路径路径上没有重复顶点3回路起点和终点相同的路径4连通分量图中任何两个顶点之间都存在路径的子图路径是图中连接两个顶点的顶点序列。简单路径是指路径中没有重复顶点。回路则是起点和终点相同的路径。连通分量是图中任何两个顶点之间都存在路径的子图。环与树环环是指图中存在一条路径，起点和终点是同一个节点。环的存在可能会影响算法效率，需要特殊处理。树树是无环连通图，每个节点都有且只有一个父节点，除了根节点。树结构在计算机科学中被广泛应用，例如文件系统和数据结构。网络流与最小割网络流网络流是指在一个网络中，从源点到汇点传输的流量。最小割最小割是指网络中，将源点和汇点分离的最小容量的边集。最大流最小割定理最大流最小割定理表明，一个网络中最大流的流量等于最小割的容量。拓扑排序有向无环图拓扑排序适用于有向无环图(DAG)，这种图中不存在循环。线性排序它为图中的顶点提供了一个线性排序，其中每个顶点都在其所有后继节点之前。依赖关系拓扑排序可以用来表示任务之间的依赖关系，例如，在项目管理中。最短路径问题路径长度最小化寻找连接起点和终点的最短路径，路径长度可以是距离、时间、成本等。应用场景导航、路线规划、物流配送、网络路由等领域中，寻找最佳路径。算法示例Dijkstra算法、A*算法等，常用于解决单源最短路径问题。最小生成树问题11.连接所有节点最小生成树问题旨在找到连接图中所有节点的边集合，且总边权最小。22.无环最小生成树是一个无环图，即不存在任何环路。33.贪婪算法常用的算法如普里姆算法和克鲁斯卡尔算法，都利用贪婪策略逐步构建最小生成树。匹配问题二分匹配二分匹配是将两个集合中的元素进行配对，每个元素只能匹配一次，例如，将婚礼中的宾客安排座位。最大匹配最大匹配是指在所有可能的匹配中，找到匹配的元素数量最多的匹配，例如，在体育比赛中将运动员分配到不同的队伍。完美匹配完美匹配是指每个元素都被匹配，例如，在商务谈判中，双方达成一致，所有参与者都找到合适的合作伙伴。染色问题为图中每个顶点分配不同的颜色，使得相邻顶点拥有不同颜色。可用于解决现实世界中的问题，例如地图着色，电路板设计等。图着色问题有广泛的应用，在计算机科学和运筹学中十分重要。图的表示方法11.邻接矩阵用二维数组存储顶点之间的连接关系，适用于稠密图。22.邻接表用链表或数组存储每个顶点连接的边，适用于稀疏图。33.边集数组用数组存储每条边的信息，适用于无向图。邻接矩阵定义邻接矩阵是一个二维数组，用于表示图中顶点之间的连接关系。矩阵中的每个元素都代表两个顶点之间的边是否存在。优点邻接矩阵易于实现，可以快速判断两个顶点之间是否存在边。缺点如果图是稀疏的，即顶点之间连接较少，则邻接矩阵会浪费大量空间。应用邻接矩阵适用于表示稠密图，即顶点之间连接较多，例如社交网络。邻接表存储方式每个顶点对应一个链表，链表中包含了所有与该顶点相连的顶点。链表节点存储相邻顶点和相应的边权重。优点节省空间，对于稀疏图特别有效，可以方便地查找与某个顶点相邻的顶点。缺点无法直接查找两个顶点之间是否存在边，需要遍历对应链表。边集数组边集数组使用边集数组表示图，数组中的每个元素都表示图中的一条边，通常包括边的起点、终点以及边权。优点这种方法存储简洁，适合存储稀疏图，并且易于实现一些算法，例如Kruskal算法。应用场景1:社交网络分析社交网络分析中，图结构可以有效地表示用户关系和信息传播路径。节点代表用户，边代表用户之间的关系。通过分析图结构，可以揭示社交网络中的用户群体、影响力人物和信息传播趋势，为社交平台的运营和管理提供参考。应用场景2:路径规划与导航路径规划和导航是图论应用最广泛的领域之一。例如，GoogleMaps和百度地图等导航应用使用图结构来表示道路网络，利用图算法计算最短路径或最优路径。用户输入起点和终点，导航应用会根据图结构和交通状况，计算最佳路线并提供导航信息，帮助用户快速安全地到达目的地。应用场景3:推荐系统推荐系统是图算法的典型应用场景之一。例如，基于用户行为数据和商品特征构建用户-商品图，利用图算法发现用户偏好，为用户推荐更精准的商品。图算法可以有效解决推荐系统的冷启动问题。例如，通过图算法分析用户和商品之间的关联关系，为新用户或新商品建立初始推荐列表。应用场景4:交通网络优化交通网络优化利用图的理论来提高交通效率、降低成本。例如，优化公交路线、规划交通信号灯、交通流量控制等。应用场景5:电子电路设计图论在电子电路设计中应用广泛，特别是用于电路布局和布线优化。图的节点可以代表电路中的元件，边可以代表元件之间的连接。通过图论算法，可以找到最佳的元件布局和布线方案，从而提高电路性能和降低成本。应用场景6:生物信息学生物信息学是生物学与计算机科学交叉学科，利用计算机技术处理生物数据。图论在基因组学、蛋白质组学等领域有广泛应用，例如：基因网络分析、蛋白质相互作用网络预测。典型图算法深度优先搜索深度优先搜索是一种遍历图的方式。它从一个起始节点开始，沿着一条路径一直走到尽头，然后再回溯到上一个节点，尝试另外一条路径，直到所有节点都被访问过。广度优先搜索广度优先搜索也是一种遍历图的方式。它从一个起始节点开始，首先访问所有与它直接相连的节点，然后再访问这些节点的邻居，依次类推，直到所有节点都被访问过。深度优先搜索11.探索路径从起始节点开始，沿着一条路径深入探索，直到遇到没有访问过的节点。22.回溯如果当前节点没有未访问的邻接节点，则回溯到上一个节点，继续探索其他路径。33.标记访问为了避免重复访问节点，需要记录每个节点是否被访问过。44.递归实现深度优先搜索通常使用递归的方式实现，每个节点都会递归地调用深度优先搜索算法。广度优先搜索从起点开始广度优先搜索算法从图中的起点开始，逐层遍历所有节点。层次遍历它优先访问与起点距离最近的节点，然后逐渐访问距离更远的节点。队列结构算法使用队列来存储待访问的节点，保证按照层级顺序进行访问。路径寻找广度优先搜索常用于查找最短路径、判断连通性、寻找所有节点的距离等。Dijkstra算法最短路径找到图中两点之间的最短路径加权图适用于节点之间有权重值的图贪婪算法每次选择权重最小的边，逐步构建最短路径Kruskal算法贪婪算法从边权最小的