数学素材：函数的应用（Ⅰ）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精教材习题点拨思考与讨论答：对于教材中例2的“客房问题”，是一个二次函数模型的具体应用，现实生活中的“调价问题"与其类似，其模型为：当某类商品在销售价格为b元时，可售出a件，现欲提价,若单价每提高m元，则销售量减少n个,求提高多少元时销售的总收入最高？设将商品售价提高x个m元，则总收入为y＝（b＋xm)（a－xn)＝－mnx2＋(am－bn）x＋ab。它是一个自变量为自然数的二次函数，且其二次项系数小于零．根据二次函数的知识知，它有最大值．探索与研究略习题2－3A1．解：设汽车行驶的时间为th，则汽车行驶的路程s（km)与时间t(h）之间的函数关系为s＝vt。当t＝1.5时，s＝90，则v＝60。因此所求的函数关系式为s＝60t。当t＝3时，s＝180。所以汽车3h所行驶的路程为180km。2．解：设食品的重量为xkg，则食品的价格y(元）与重量x（kg)之间的函数关系式为y＝kx.当x＝5时，y＝40,则k＝8。因此所求的函数关系式为y＝8x.当x＝8时,y＝64。所以8kg食品的价格为64元．3．解:设矩形菜地与墙相对的一边长为xm，则另一组对边的长为eq\f（300－x,2)m.从而矩形菜地的面积为S＝x·eq\f（300－x,2）＝－eq\f（1，2）(x－150)2＋11250（0＜x＜300)．当x＝150时，Smax＝11250，即当矩形与墙相对的一边长为150m，另一组对边的长为75m时，菜地的面积最大．4．解：当0＜s＜4时，f(s）＝10;当4≤s＜15时，f(s)＝10＋(x－4)×1.2＝1。2x＋5.2；当s≥15时，f(s）＝10＋11×1.2＋(x－15）×1。8＝1.8x－3.8.∴所求函数关系式为f（s)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（10(0〈s〈4），,1.2s＋5。2（4≤s〈15),，1.8s－3。8（s≥15).））5．解：设每件产品定价为x元，从而售出件数y（件）与定价x(元)之间的函数关系式为y＝kx＋b。由于直线过点(80，30），（120，20)，代入上式，可得k＝－eq\f（1,4),b＝50.∴y＝－eq\f(1，4)x＋50（x∈(0，200），且x为4的倍数）．6．解:设这个函数关系式为l＝k·G＋b，则eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（8.9＝k·0.02＋b，，10。1＝k·0。04＋b。）)解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝60，，b＝7。7。)）∴这个函数为l＝60G＋7.7.7．解：设生产第n（1≤n≤10，n∈N)档次的产品的利润为y元，则y＝[2(n－1)＋8]×[60－3（n－1）]＝－6(n－9)2＋864,∴当n＝9时，ymax＝864。∴当生产第9档次的产品时，可获得最大利润864元．习题2－3B1．解：设经过th后，两船距离最近，从而y＝eq\r(（16t)2＋（10－12t)2)＝eq\r（400\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f（3,10）))2＋64）。当t＝0.3h时,ymin＝8nmile。所以0.3h后,两船距离最近，最近距离是8nmile.2．解：设半圆的半径为rm，从而窗户的透光面积为S＝eq\f(1，2）πr2＋2r·eq\f（6－πr－2r，2）＝－eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（2＋\f（π，2)))r2＋6r＝－eq\f（4＋π,2）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r－\f(6,π＋4）))2＋eq\f（18,4＋π），其中r∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f（6，π＋2)））.所以当半圆的半径为eq\f（6，π＋4）m时，窗户的透光面积最大，为eq\f（18，4＋π)m2.3．解：设等腰梯形的腰长为xcm，则高为eq\f(\r（3），2)xcm，上底为eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(30－\f(3，2）x))cm，下底为eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(30－\f(x，2)））cm,从而梯形的面积为S＝eq\f(1，2)(60－2x）·eq\f（\r（3)，2)x＝－eq\f(\r(3）,2）(x－15)2＋eq\f（225,2）eq\r（3)，其中x∈（0,20）．所以当梯形的腰长为15cm,上底为7.5cm，下底为22.5cm时，梯形的面积最大．4．解:（1）y＝kx·eq\f（m－x，m)＝－eq\f（k,m）x2＋kx（0＜x＜m）．(2)y＝－eq\f(k，m）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co