5.3.1函数的单调性课件（2）高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.1函数的单调性（2）复习引入1.一般地，函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系:在某个区间(a,b)上,如果

,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增;在某个区间(a,b)上,如果

,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.如果在某个区间上恒有

，那么函数y=f(x)在这个区间上是常数函数.①求出函数的定义域；②求出函数的导数f

(x)；③判定导数f

(x)的符号；④确定函数f(x)的单调性.2.判定函数单调性的步骤：思考1：如何利用导数来研究形如

的函数的单调性？原函数定义域导函数求导运算导函数的正负原函数的单调性解不等式函数单调性与导数的关系解：令，解得，或.对求导数，得

函数的定义域为.单调递增单调递减单调递增和把函数定义域划分成三个区间，

在各个区间的正负，以及的单调性如表所示：所以，在和上单调递增，在上单调递减，如图所示.例3：例题课本P87判断函数y=f(x)的单调性的步骤：第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导数f′(x)的零点；第3步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.利用导数研究函数y=f(x)的单调性的优势：不熟悉的、复杂的函数熟悉的、简单的函数转化归纳总结单调递减单调递增单调递减所以，在和上单调递减，在上单调递增，如图所示.1.判断下列函数的单调性，并求出单调区间：（1）（2）解：（1）函数的定义域为.对求导数，得令，解得，或练习xyO-1•1•课本P89判断下列函数的单调性，并求出单调区间：（2）解：函数的定义域为.单调递增单调递减单调递增所以，在和上单调递增，在上单调递减，如图所示.令，解得，或.xyO•1•对求导数，得课本P89思考2：研究对数函数y=lnx与幂函数y=x3在区间(0,＋∞)上增长快慢的情况.xyO(2)xyO1•(1)探究：函数增减的快慢与导数的关系函数增减的快慢与导数的关系归纳总结一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)由图象可知若f′(x)>0，则f(x)单调递增，f′(x)越大，函数f(x)增长得就越快；同样，若f′(x)<0，则f(x)单调递减，|f′(x)|越大，函数f(x)递减得就越快.例2：xyO1•解：例题课本P891.函数y=f′(x)的图象如图所示，试画出函数y=f(x)图象的大致形状.xyOabedc解：xyOabedc练习课本P892.已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是(

)∵函数在(0,1]上单调递增，例题函数的单调性与其导函数的正负的关系：注意：此关系常常用于已知函数的单调性，求函数中参数的取值范围.在某个区间(a,b)内反之归纳总结1.设函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1,＋∞)内是增函数，则实数a的取值范围是____________．解：f′(x)＝3x2＋a.∵f(x)在(1,＋∞)内是增函数，∴3x2＋a≥0对x∈(1,＋∞)恒成立，

即a≥－3x2对x∈(1,＋∞)恒成立.又当x∈(1,＋∞)时，－3x2<－3，

∴a≥－3.[－3,＋∞)练习随堂检测3.如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()解析：由导函数的图象，可知两个函数在x0处切线斜率相同，可以排除A，B，C答案.证明：课本P895.求下列函数的单调区间.(1)f(x)＝x2·e－x；解：易知函数的定义域为(－∞，＋∞).f′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x·(2x－x2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)单调递减f(0)单调递增f(2)单调递减∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0,2).5.求下列函数的单调区间.解：易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,0)和(0,1)，单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞).当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1，0)(0,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－－0＋f(x)单调递增f(－1)单调递减单调

递减f(1)单调递增1.函数单调性与导数符号的关系是：课堂小结2.判断函数y=f(x)的单调性的步骤：第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导数f′(x)的零点；第3步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.一般地，设