5.2.3 简单复合函数的导数课件-高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.2.3简单复合函数的导数1.基本初等函数的导数公式：复习引入2.导数的四则运算法则探究1：复合函数的概念思考1：如何求函数y=ln(2x－1)的导数？现有方法无法求出它的导数：（1）用定义不能求出极限；（2）不是基本初等函数，没有求导公式；（3）不是基本初等函数的和、差、积、商，不能用导数的四则运算法则解决这个问题.思考：如何求函数y=ln(2x－1)的导数？追问1：函数y＝ln(2x-1)可以用基本初等函数表示吗？它的结构特点是什么？若设

，则y=lnu，从而函数y=ln(2x－1)可以看成是由y=lnu和

复合而成的一个复合函数.把y与u的关系记作y=f(u)，u与x的关系记作u=g(x)，那么这个“复合”过程可表示为y=f(u)=f(g(x))=ln(2x－1).一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).复合函数的概念归纳总结外层函数内层函数说明：复合函数y=f(g(x))以下函数是由哪些函数复合而成的？练习反思归纳：从外向内分解成基本初等函数直到中间变量.思考2：如何求复合函数的导数呢?我们先来研究y=sin2x的导数.探究2：复合函数的导数设u=2x，y=sinu.

猜想y=sin2x的导数与函数y=sinu，u=2x的导数有关.

以y′x

表示y对x的导数,以y′u

表示y对u的导数,以u′x

表示u对x的导数.我们可以先得到函数y=sinu，u=2x的导数y′u=(sinu′)=cosu,u′x

=(2x)′=2.

我们可以再换个角度来求y′x

：y′x

=(sin2x)′=(2sinxcosx)′=2[(sinx)'·cosx＋sinx·(cosx)'

]=2[cosx·cosx＋sinx·(-sinx)]=2[cos2x-sin2x]=2cos2x.可以发现，y′x

=2cos2x=cosu·2=y′u

·u′x归纳总结复合函数的求导法则一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.[f(g(x))]′=f′(g(x))·g′(x)结果显示y′x＝y'u·u′x

结构特点思考4：现在，你可以用复合函数的求导法则来求函数

y＝ln(2x-1)的导数了吗？解：函数y＝ln(2x-1)可以看成是由y＝lnu和u＝2x-1复合而成.以y′u

表示对u求导,以u′x表示对x求导.因为y'u＝(lnu)'＝,u'x＝2,所以y'x＝y'u·u'x＝

·2

=

分解求导

相乘

回代复合函数y＝f(g(x))求导的基本步骤是：（1）分解：设u=g(x)，则y=f(u).

（2）求导：

y′u=f′(u)，u′x

=g′(x)（3）相乘：y′x＝y'u·u′x（4）回代：用u=g(x)替换上式中的u.反思归纳

例1：求下列函数的导数:解：例题说明：对复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程及中间变量，直接运用公式，从外层开始由外向内逐层求导.如解：求函数的导数.课本P79求下列函数的导数:解：练习课本P81解：求下列函数的导数:课本P81例题例2：某个弹簧震子在震动过程中的位移y(单位:mm),关于时间t(单位:s)的函数满足关系.求函数y在t=3s时的导数，并解释它的实际意义.解:课本P80练习1.某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系式s(t)＝3sin (0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义.将t＝18代入s′(t)，2.求下列函数在给定点处的导数:解：课本P81例题解：练习课本P81随堂检测1.曲线y＝2xex－2在点(2,4)处切线的斜率等于（

）A.2e B.e C.6 D.2解析：∵y＝2xex－2，∴y′＝2ex－2＋2xex－2，∴k＝y′|x＝2＝2e0＋4e0＝6，故选C.3.已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________．解：∵f(x)＝x2＋2xf′(1)，∴f′(x)＝2x＋2f′(1).令x＝1，得f′(1)＝2×1＋2f′(1)，解得f′(1)＝－2，∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝2×0－4＝－4.5.已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为_____.解析：设直线y＝x＋1切曲线y＝ln(x＋a)于点(x0，y0)，则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)，又y0＝ln(x0＋a)，∴y0＝0，∴x0＝－1，∴a＝2.一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数.

记作：y=f(g(x)).1.复合函数：2.