5.2.1三角函数的概念课件高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章三角函数5.2.1三角函数的概念课程标准1.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.2.已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值.3.能利用三角函数的定义,理解正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.4.通过对任意角三角函数定义的理解,掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.－32°1.初中学习的三角函数的概念.在Rt△OMP中，∠OMP=90°，则

2.初中学习的30°，45°，60°的正弦、余弦、正切值.α30°45°60°sinαcosαtanα

1温故知新3.上节可学习的弧度制

正实数零负实数正角零角负角任意角的集合实数集R↔在弧度制下，角的集合与实数集的一一对应，已经将角的范围扩展到了全体实数.温故知新

如图，在单位圆O上的点P以A为起点作逆时针方向旋转，建立一个数学模型，刻画点P的位置变化.

如图，

以角的顶点O(单位圆的圆心)为坐标原点，以角的始边(射线OA)为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系.则点A的坐标为(1,0).现设α的终边与单位圆的交点P为(x,y).射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP.yx(1,0)(x,y)新知探究单位圆：半径r=1的圆

yx(1,0)(x,y)

知识点1

三角函数的概念知识点1

三角函数的概念1.概念

前提如图,设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与

相交于点P(x,y)

定义正弦函数把

叫做α的正弦函数,记作sinα,即y=sinα函数值y是角α的终边与所在单位圆交点的纵坐标

余弦函数把

叫做α的余弦函数,记作cosα,即

正切函数把

叫做α的正切,记作tanα,即

=tanα(x≠0即

α≠+kΠ（k∈Z))

三角函数我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数单位圆

点P的纵坐标y点P的横坐标xx=cosα三角函数以角为自变量2.三角函数的解析式和定义域如下表所示

类型解析式定义域正弦函数y=sinx

余弦函数y=cosx

正切函数y=tanx

即角x的终边不能在y轴上

RR注意这里的x，y不代表横纵坐标，代表自变量和函数值探究点一利用三角函数的定义求三角函数值yx(x,y)

知识点1

三角函数的概念1.概念

如图,设α是一个任意角，α∈R，若角α终边上一点P(x,y)(不与原点重合)不是单位圆上一点,则

yx(x,y)三角函数的第二定义过关自诊1.三角函数值的大小与点P在角α终边上的位置是否有关?提示

三角函数值是比值,它的大小与点P在角α终边上的位置无关,只与角α的终边位置有关,即三角函数值的大小只与角有关.过关自诊2.[北师大版教材习题]已知角β的终边经过点M(-3,-1),则sinβ=

,cosβ=

.

探究点一利用三角函数的定义求三角函数值【例1】

求解下列各题:(1)若角α的终边与单位圆的交点是P(x≠0),则sinα=

,cosα=

,tanα=

;

规律方法利用三角函数的定义求一个角的三角函数值的几种情况(1)若已知角,则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标,即可求出各三角函数值.(2)若已知角α终边上一点P(x,y)(x≠0)是单位圆上的点,则sin

α=y,cos

α=x,(3)若已知角α终边上一点P(x,y)(不与原点重合)不是单位圆上一点,则先求

(4)若已知角α终边上点的坐标含参数,则需进行分类讨论.

(3)已知角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边在射线4x-3y=0(x≤0)上,则cosα-sinα=

.

解析

∵角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边在射线4x-3y=0(x≤0)上,设终边上一点P(x,y),|OP|=r≠0(O为坐标原点).不妨令x=-3,则y=-4,知识点2

三角函数值的符号sinα,cosα,tanα在各象限的符号如下:记忆口诀:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”思考：终边在坐标轴上的三角函数值呢？（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）＋－-1OxyOxyOxy00101-100不存在0不存在＋－－－＋＋－－＋＋名师点睛正弦函数值的符号取决于角α终边上一点P(x,y)的纵坐标y的符号,点P在x轴上方为正,下方为负;余弦函数值的符号取决于点P横坐标x的符号,在y轴右侧为正,左侧为负;正切函数值符号取决于点P横、纵坐标符号,同号为正,异号为负.探究点二三角函数值符号的运用【例2】

(1)若sinαtanα<0,且

<0,则角α是(

)A.第一象限角

B.第二象限角C.第三象限角

D.第四象限角C解析

由sin

αtan

α<0可知sin

α,tan

α异号,从而α为第二或第三象限角.由

<0可知cos

α,tan

α异号,从而α为第三或第四象限角.综上可知,α为第三象限角.故选C.(2)判断下列各式的符号:①sin105°cos230°;解

∵105°,230°分别为第二、第三象限角,∴sin

105°>0,cos

230°<0,∴sin

105°cos

230°<0.规律方法判断三角函数值在各象限符号的攻略(1)基础:准确确定三角函数值中各角所在象限;(2)关键:准确记忆三角函数在各象限的符号;(3)注意:用弧度制给出的角常常不写单位,不要误认为角度导致象限判断错误.注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限的符号.变式训练2[北师大版教材习题]在单位圆中,确定下列三角函数值的符号:解

(1)因为151°角的终边在第二象限,所以sin

151°>0.(4)因为271°角的终边在第四象限,所以cos

271°>0.知识点3

诱导公式一(1)语言表示:终边相同的角的

三角函数的值相等.

(2)式子表示:①sin(α+k·2π)=

,

②cos(α+k·2π)=

,

③tan(α+k·2π)=

,其中k∈Z.

tan(α+k·π)=

,其中k∈Z.同一

sinαcosαtanαtanα角的同一三角函数值相同终边相同终边与单位圆交点坐标相同过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)一个三角函数值能找到无数个角与之对应.(

)(2)若两个角α,β的正弦值相等,那么α=β.(

)√×2探究点三诱导公式一的应用【例3】

求下列各式的值:(1)a2sin(-1350°)+b2tan405°-(a-b)2tan765°-2abcos(-1080°);解

原式=a2sin(-4×360°+90°)+b2tan(360°+45°)-(a-b)2tan(2×360°+45°)-2abcos(-3×360°)=a2sin

90°+b2tan

45°-(a-b)2tan

45°-2abcos

0°=a2+b2-(a-b)2-2ab=0.规律方法诱导公式一的应用策略(1)诱导公式一可以统一写成f(k·360°+α)=f(α)(k∈Z)或f(k·2π+α)=f(α)(k∈Z)的形式,它的实质是终边相同的角的同一三角函数值相等;(2)利用它可把任意角的三角函数值转化为0~2π范围内的角的三角函数值,以便实现把角大化小,负化正.变式训练3求下列三角函数值:本节要点归纳1.知识清单:(1)三角函数的定义及求法.(2)三角函数在各象限内的符号.(3)公式一:终边相同的角的同一三角函数值相等.2.方法归纳:转化与化归、分类讨论.3.常见误区:(1)三角函数值的大小只与角的大小有关,与终边上的点无关;成果验收·课堂达标检测12345B123452.若角α的终边过点(5,12),则cosα-sinα=(

)C123453.(多选题)若sinθcosθ>0,则θ是(

)A.第一象限角

B.第二象限角C.第三象限角

D.第四象限角AC解析

因为sin

θcos

θ>0,所以sin

θ<0,cos