3.3幂函数课件高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第三章函数的概念与性质3.3幂函数课程标准1.通过具体实例,了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式.2.结合幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=的图象,理解它们的变化规律.3.能利用幂函数的基本性质解决相关的实际问题.前面学习了函数的概念，利用函数概念和对函数的观察，研究了函数的一些性质.本节我们利用这些知识研究一类新的函数.先看几个实例.

活动1：请观察（1）—（5）中的函数解析式，讨论它们有何共同特征.

知识点1

幂函数的定义一般地,函数

叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.

α可取任意实数,但现在只研究α为有理数的情形名师点睛幂函数的特征(1)xα的系数为1;(2)xα的底数是自变量x,指数α为常数;(3)项数只有一项.符合以上三个特征的函数才是幂函数.y=xα过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)函数f(x)=x2与函数f(x)=-x2都是幂函数.(

)(2)所有二次函数都是幂函数.(

)2.下列所给的函数中是幂函数的为(

)A.y=2x5 B.y=x3+1C.y=x-3

D.y=3x×C×探究点一幂函数的概念【例1】

函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且在区间(0,+∞)上单调递增,试确定m的值.解

根据幂函数的定义,得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2.当m=3时,f(x)=x2在区间(0,+∞)上单调递增;当m=-2时,f(x)=x-3在区间(0,+∞)上单调递减,不符合要求.故m=3.变式训练1如果幂函数y=(m2-3m+3)的图象不过原点,求实数m的取值.解

由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件;当m=2时,m2-m-2=0,函数为y=x0,

其图象不过原点,满足条件.综上所述,m=1或m=2.

知识点2

幂函数的性质与图象1.在同一平面直角坐标系中,幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1的图象如下图所示.思考：结合以往学习函数的经验，你认为应该如何研究这些函数？定义域、图象、值域、单调性、奇偶性2.幂函数的性质

幂函数y=xy=x2y=x3y=y=x-1定义域RRR

(-∞,0)∪(0,+∞)值域R

R

(-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性

奇函数既不是奇函数,也不是偶函数

单调性在R上单调递增在[0,+∞)上单调递增,在(-∞,0]上单调递减在R上单调递增在[0,+∞)上单调递增在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递减公共点(1,1)[0,+∞)[0,+∞)[0,+∞)奇函数

偶函数

奇函数

思考：观察5个函数图象，哪个象限一定有幂函数的图象，哪个象限一定没有幂函数的图象？这些函数有公共点吗？幂函数的图象一定会在第一象限，一定不在第四象限

过关自诊1.如图所示,图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象,已知n取±2,±四个值,则曲线C1,C2,C3,C4对应的n依次为(

)B解析

根据幂函数y=xn的性质,在第一象限内的图象,当n>0时,n越大,y=xn递增速度越快,探究点二幂函数的图象【例2】

下列关于函数y=xα与y=αx的图象正确的是(

)C解析

函数y=xα是幂函数,而y=αx是一次函数.选项A,直线对应函数为y=x,曲线对应函数为y=x-1;选项B,直线对应函数为y=2x,曲线对应函数为y=

;选项C,直线对应函数为y=2x,曲线对应函数为y=x2;选项D,直线对应函数为y=-x,曲线对应函数为y=x3,故C正确.探究点三利用幂函数的单调性比较大小【例3】

比较下列各组中两个数的大小:规律方法1.比较幂大小的三种常用方法

2.利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题比较大小的两个实数必须在同一个函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小.变式训练3比较下列各组数的大小:探究点四幂函数性质的综合应用【例4】

函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,且在区间(0,+∞)上单调递减,则实数m为(

)A.1 B.-1 C.2 D.-1或2B

变式训练4[2023湖南常德期末]已知幂函数f(x)=xa的图象过点(2,4).(1)求函数f(x)的解析式;(2)设函数h(x)=2f(x)-kx-1在区间[-1,1]上是单调函数,求实数k的取值范围.解

(1)因为幂函数f(x)=xa的图象过点(2,4),代入解析式有4=2a,解得a=2.所以函数f(x)=x2.本节要点归纳1.知识清单:(1)幂函数的定义.(2)几个常见幂函数的图象.(3)幂函数的性质.2.方法归纳:待定系数法、数形结合法.3.常见误区:(1)对幂函数形式的判断易出错,只有形如y=xα(x是自变量,α为常数)的函数为幂函数,其他形式都不是幂函数;(2)对于幂函数的图象,一般只考虑第一象限的情况,忽略其他象限可能的情形.成果验收·课堂达标检测12341.已知幂函数y=(k-1)xα的图象过点(2,4),则k+α等于(

)D解析

∵幂函数y=(k-1)xα的图象过点(2,4),∴k-1=1,2α=4,∴k=2,α=2.∴k+α=4,故选D.12342.下列函数是幂函数且在(0,+∞)上单调递减的是(

)D123412344.[2023山西大同期末]已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)x-m-1(m∈R)为偶函数.(1)求

的值;(2)若f(2a+1)=f(a),求实数a的值.解

(1)因为f(x)是幂函数,所以m2-5m+7=1得m=