数学课件 6.3行列式的性质

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一、案例

二、知识要点

三、应用6.3行列式的性质计算行列式一、案例的值。（一）行列式的性质

从行列式的定义出发直接计算行列式是比较麻烦的，为了简化行列式的计算，下面我们给出行列式的一些基本性质．二、知识要点如果，则【性质1】

行列式与它的转置行列式相等，即说明：性质1说明行列式中行与列的地位是平等的，对行列式中行成立的性质，对列也同样成立，反过来也是对的，正因为如此，下面对行列式的讨论大多对行来进行．例如

上三角形行列式，其转置行列式为，显然，【性质2】互换行列式的两行（或两列），行列式变号.例如交换三阶行列式的第一行与第三行，由性质2有【推论1】

如果行列式有两行（或两列）的对应元素相同，则这个行列式等于零．例如【性质3】

n阶行列式等于它的任一行（或任一列）的每个元素与其对应的代数余子式的乘积之和．即【例题6.3.1】

计算行列式解按第一列展开，得性质3说明了行列式可按任一行（或列）展开．在具体计算时，只要行列式的某一行（列）的零元素多，我们就按该行（列）来展开，这样降低了行列式的阶数，从而简化运算．【练习6.3.1】

计算行列式解注意到第2列有4个零元素，可利用性质3按第2列展开（按第4行展开）（按第3列展开）【练习6.3.2】

计算行列式解【性质4】

n阶行列式中任意一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零．即【推论2】

如果行列式的某一行（或列）的元素全为零，则此行列式等于零．证明由性质3，按元素全为零的行（或列）展开，即得。【性质5】

行列式的某一行（或列）的所有元素都乘以同一个数k，等于用k乘以该行列式，即

这个性质也可叙述为：行列式中某一行（或列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边．

由此性质，容易得到如下推论：【推论3】

如果行列式有两行（或列）的元素对应成比例，则行列式等于零．【例题6.3.2】

计算行列式【练习6.3.3】

计算行列式【性质6】

如果行列式的某一行（或列）的元素都可表示为两数之和，那么这个行列式等于两个行列式之和，这两个行列式除该行（或列）的元素分别为这两数之一外，其余各行（或列）的元素都与原来行列式的对应行（或列）相同，即【例题6.3.3】

【性质7】

将行列式的某一行（或列）的元素都乘以同一个常数k后，再加到另一行（或列）的对应元素上，行列式的值不变，即

利用行列式的性质，可以简化行列式的计算，特别是利用这里的性质2和性质7，总

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