3.2空间向量与向量运算（2）课件高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

§2空间向量与向量运算

根据功的计算,我们定义了平面两向量的数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运算非常有用,它能解决有关长度和角度问题.1.了解空间向量夹角的概念及表示方法．2.掌握空间向量数量积的计算方法及应用;3.体会由平面向量的投影向量与投影数量的概念直接推广到空间向量.课标要求1.通过空间向量数量积及投影概念的学习，培养数学抽象素养．2.通过空间向量数量积的应用，培养数学运算素养.素养要求§2空间向量与向量运算第2课时空间向量的数量积OAB探究点1两空间向量的夹角

规定:零向量与任意向量垂直.注:①两个向量的数量积是一个实数，而不是向量.②零向量与任意向量的数量积等于零.探究点2两个向量的数量积探究点3空间两个向量的数量积性质注意：性质①是求两个向量的夹角的依据；性质②是求向量的长度(模)的依据；性质③是证明两向量垂直的依据.探究点4空间向量的数量积满足的运算律注意：向量的数量积运算类似于多项式运算,平方差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立.(2)对于向量

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成立吗？思考提示:(1)(2)都不一定成立，因为向量相等，需要大小相等，方向相同.探究点5投影向量与投影数量

图（1）图（2）图（3）A1B1BA思考：类比平面向量,你能说出a·b的几何意义吗?

数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影数量|b|cos<a,b>的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的投影数量|a|cos<a,b>的乘积(如图)．

练习1.判断正误:(1)量b向量a向上的投影数量等于向量a在向量b方向上的投影数量;(2)和向量(b+c)在向量a方向上的投影数量等于b,c在向量a方向上的投影数量之和.2.对于非零向量a,b,根据下列条件求<a,b>:(1)cos<a,b>=1;(2)cos<a,b>=−1;(3)cos<a,b>=0;(4)a·b=−|a||b|

D'ABDCA'B'C'第三题ABDCA'B'C'第五题1.两空间向量的夹角的概念.2.两个向量的数量积的概念3.两个向量的数量积的性质.4.空间向量的数量积满足的运算律.5.投影向量与投影数量.第2课时空间向量的数量积[目标导航]课标要求1.理解空间向量的夹角,知道空间向量的夹角的范围.2.掌握空间向量数量积公式,并能熟练运用.3.理解投影向量与投影数量,并能求解相关问题新知导学·素养启迪新知梳理2.规定:零向量与任意向量垂直.4.向量的数量积满足如下运算律(1)(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R);(2)a·b=b·a(交换律);(3)a·(b+c)=

a·b+a·c

(分配律).5.投影向量与投影数量(1)投影向量教材拓展数量积的性质设a,b都是非零向量,<a,b>=θ,(1)a∥b时,θ=0或π,θ=0时,a与b同向;θ=π时,a与b反向.(3)θ为锐角时,a·b>0,但a·b>0时,θ可能为0;θ为钝角时,a·b<0,但a·b<0时,θ可能为π.(4)|a·b|≤|a||b|,特别地,当θ=0时,a·b=|a||b|,当θ=π时,a·b=−|a||b|.(5)对于实数a,b,c,若ab=ac,a≠0,则b=c;对于向量a,b,c,若a·b=a·c,a≠0,却推不出b=c,只能得出a⊥(b−c).(6)a·b=0⇏a=0或b=0;a=0时,一定有a·b=0.(7)不为零的三个实数a,b,c,有(ab)c=a(bc)成立,但对于三个向量a,b,c,(a·b)c≠a(b·c),因为a·b是一个实数,(a·b)c是与c共线的向量,而a(b·c)是与a共线的向量,a与c不一定共线.小试身手1.已知a=3p−2q,b=p+q,p和q是相互垂直的单位向量,则a·b=

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解析:因为p⊥q且|p|=|q|=1,所以a·b=(3p−2q)·(p+q)=3p2+p·q−2q2=3+0−2=1.答案:12.已知|a|=13,|b|=19,|a+b|=24,则|a−b|=

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解析:因为|a+b|2=a2+2a·b+b2=132+2a·b+192=242,所以2a·b=46,|a−b|2=a2−2a·b+b2=530−46=484,故|a−b|=22.答案:224.已知正四面体ABCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD的中点,则EF的长为

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探究点一求投影向量与投影数量课堂探究·素养培育[例1]如图,在长方体ABCD−A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=3.[例1]如图,在长方体ABCD−A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=3.方法总结探究点二空间向量的数量积的运算

变式训练2−1:(变问法)在本例条件下,求证:EG⊥AB.变式训练2−2:(变问法)在本例条件下,求EG的长.变式训练2−3:(变问法)在本例条件下,求异面直线AG与CE所成角的余弦值.方法总结空间向量数量积的三个应用(2)求长度(或距离):运用公式|a|2=a·a,可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题.(3)解决垂直问题:利用a⊥b⇔a·b=0(a≠0,b≠0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.数学窗分类讨论思想在立体几何中的运用分类讨论思想是一种重要的数学思想方法.其基本思路是将