3.1.1椭圆的定义及标准方程课件高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.1椭圆及其标准方程

蔡丽四川省安岳中学天宫3号飞船运行轨迹准备一条细绳（无弹性）、两个图钉和一支笔；实验2：(1)用图钉将绳子的两端固定在画板上的F1和F2两点，并使绳长大于F1和F2的距离；(2)用笔尖（动点M）将绳子拉紧，笔尖在画板上慢慢移动一周，观察所画出的图形数学实验探究1：动点M在形成椭圆的过程中，满足了哪些条件？实验1：当两个图钉重合在一点时，用图钉将绳子固定，拉紧绳子，画出的图形是什么？（圆）（椭圆）问题2：在作图的过程中，绳子长度变了没有？问题1：在作图过程中，细绳的两端F1和F2位置是固定的还是运动的？固定的两个定点F1和F2绳子长度为定值实验

2问题3：在作图过程中，笔尖（动点M）到两个定点F1和F2的距离与绳子长度有什么关系？绳子长度

=|MF1|+|MF2|常数问题4：在作图的过程中，|MF1|+|MF2||F1F2|（比较大小）>思考：你能尝试说一说椭圆的定义吗？椭圆的定义

平面内到两个定点F1、

F2的距离之和为常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆．

如果动点M满足到两定点F1

、F2的距离之和为一个定值，且该定值大于两定点间的距离，即|MF1|+|MF2|=2a>|F1F2|（a为大于零的常数），那么动点M的轨迹是椭圆．

若|MF1|+|MF2|=|F1F2|，那么动点M的轨迹是什么？

若|MF1|+|MF2|<|F1F2|，那么动点M的轨迹是什么？1.改变两点F1,F2之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？2．绳长能小于两点F1,F2之间的距离吗？

思考：动点M的轨迹是线段F1F2

；动点M没有轨迹.用椭圆的定义判断下列动点M的轨迹用是否为椭圆。(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹。(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹。(3)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为3的点的轨迹。反馈练习1：是不是

线段F1F2

不是

无图形探究2：如何求椭圆的标准方程？新知讲解问题1：求方程的一般步骤是什么？①建系、②

设点③列式④化简⑤证明想一想：（1）圆的方程是怎么求出来的？

（2）椭圆方程怎么求？研讨探究推导方程

yxOr设圆上任意一点P(x，y)

以圆心O为原点，建立直角坐标系

两边平方，得1.建系2.设坐标3.发现等式4.代坐标方法步骤：5.化简方程（1）圆的方程的推导。问题2：椭圆是否具有某种对称性？

你能猜想出椭圆的对称轴吗？问题3：如何选取坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？♦探讨建立平面直角坐标系的方案OxyOxyOxyMF1F2方案一F1F2方案二OxyMOxy原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.)(对称美、“简洁美”)解：以F1、F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距2c(c>0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a(2a>2c)

，则F1、F2的坐标分别是(

c,0)、(c,0).xF1F2M0y（问题：下面怎样化简？）（现）由椭圆的定义得：代入坐标椭圆的标准方程的推导两边再平方，得移项，再平方因为a2(a2－c2)

≠0，所以两边同除以a2(a2－c2)得：

问题4：你能从右图中找出表示

的线段吗？

令，可得

式椭圆方程为，F1F2yxOMacb代数a,b,c的几何意义：直角三角形OMF2的三边长，满足：上述过程可以看到，椭圆上任一点的坐标都满足方程方程

的解对应坐标的点都在椭圆上则方程

为椭圆的标准方程。

它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是

，中心在坐标原点的椭圆方程,其中

问题5：如果椭圆的焦点在y轴上,那么椭圆的标准方程又是怎样的呢?如果椭圆的焦点在y轴上（选取方式不同，调换x,y轴）如图所示,焦点则变成只要将方程中的调换，即可得也是椭圆的标准方程。F1F2方案二OxyM知识小节共同点：(1)椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；

方程左边是平方和，右边是1;(2)椭圆标准方程中三个参数a,b,c关系：a²

=

b²＋c²（a最大，b,c不确定）；不同点：x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上：x2项分母较大，焦点在x轴上；y2项分母较大，焦点在y轴上，

图形方程焦点a,b,c之间的关系定义12yoFFMx1oFyx2FM|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c>0)1、已知椭圆的方程为，请填空：(1)a

=__，b=__，c=__，焦点坐标为___________，焦距等于__.(2)若C为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，并且CF1=2,则CF2=___.

5436(-3,0)、(3,0)8小试牛刀2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点的坐标分别是（4,0）（-4,0），椭圆上一点到两焦点距离的和等于10.变式一：将上题焦点改为(0,4)（0，-4），结果如何？变式二：将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10，结果如何？3.判断下列方程哪些表示椭圆？若是，求出和焦点坐标.（）（）（）（）是是不是不是

（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1（3）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。（2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上。1、椭圆的定义：2、求解曲线方程的步骤：3、椭圆的两个标准方程：焦点在x轴：焦点在y轴:列等式代坐标

化简建系设点归纳小结

分母哪个大，焦点就在哪个轴上平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹标准方程不同点相同点图形焦点坐标定义a、b、c的关系焦点位置的判断♦再认识！xyF1F2POxyF1F2PO1、复习今天所学的知识2、思考：当m取什么值时，方程能够构成椭圆？当m取什么值时，椭圆的焦点在x轴上？当m取什么值时，椭圆的焦点在y轴上？形成概念例1.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点,求它的标准方程.解法一:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为由椭圆的定义知所以又因为,所以因此,所求椭圆的标准方程为例1.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点,求它的标准方程.解法二:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为①②联立①②,因此,所求椭圆的标准方程为2、已知方程表示焦点在x轴

上的椭圆，则m的取值范围是

.(0,4)变式：已知方程

表示焦点在y轴上的椭圆