山西省2024-2025学年高三上学期11月学情调研测试数学试卷

2024—2025学年第一学期高三年级学情调研测试试卷数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，则（）A． B． C． D．2．若，则（）A． B． C． D．3．设，则（）A． B． C． D．4．记无穷等差数列的公差为，前项和为．设甲：且；乙：有最小值，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件5．已知且，则（）A． B． C． D．6．已知向量满足，且与的夹角为，则（）A． B． C． D．7．已知函数有且仅有一个零点，则实数的值为（）A． B． C． D．8．已知四面体的顶点均在半径为3的球面上，若，则四面体体积的最大值为（）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知为空间内的一条直线，为空间内两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若∥，，则∥ B．若，则C．若∥，，则∥ D．若，，则10．已知，则（）A． B．C． D．11．已知函数的定义域为，若，则（）A． B．是偶函数C．以4为周期 D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知是奇函数，则的值为________．13．已知函数，若，且在区间上恰有两个极值点，则________．14．对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中，称为数列的阶差分数列，其中．已知数列满足，且为的二阶差分数列，则数列的前项和________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数的图象在点处的切线与直线平行．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求在区间上的最大值．（参考数据：）16．（15分）在△中，内角的对边分别为，已知．（Ⅰ）求；（Ⅱ）如图，为△内一点，且，证明：．17．（15分）如图，在以为顶点的五面体中，平面平面，∥∥，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．18．（17分）已知是首项为1的等差数列，其前项和为，为等比数列，．（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和；（Ⅲ）记，若对任意恒成立，求实数的取值范围．19．（17分）帕德逼近是法国数学家亨利·帕德发现的一种用有理函数逼近任意函数的方法．帕德逼近有“阶”的概念，如果分子是次多项式，分母是次多项式，那么得到的就是阶的帕德逼近，记作．一般地，函数在处的阶帕德逼近定义为：，且满足．注：．已知函数在处的阶帕德逼近为．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）当时，比较与的大小；（Ⅲ）证明：当时，．2024—2025学年第一学期高三年级学情调研测试试卷数学（A卷）答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678答案BCAACDCB二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分题号91011答案BCBCDABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．413．14．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．命题透析本题考查导数的几何意义、导数与函数的单调性和极值。解析（Ⅰ）．由题意知，即，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）知．当时，单调递减，当时，单调递增．所以在区间上的最大值为和中的较大者．因为，所以，即，故在区间上的最大值为．16．命题透析本题考查正余弦定理，三角形中的最值．解析（Ⅰ）∵，由正弦定理得，整理得．由余弦定理得又，∴．（Ⅱ）设．在△中，由余弦定理可得，∴，整理得，即在△中，∵，∴，即，∴，∴．故方程有唯一解，即．17．命题透析本题考查立体几何中面面垂直的性质定理，直线与平面所成的角．解析（Ⅰ）∵平面平面，平面平面，∴平面，又平面，∴．（Ⅱ）如图，过作∥交于点，作于点．由（Ⅰ）得平面，∵∥，∴平面，∴两两垂直，故以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，由条件可得，∴．设平面的法向量为，则可取．设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为．18．命题透析本题考查等差数列、等比数列的通项公式，并项求和，数列的单调性问题．解析（I）设的公差为．∵，∴，解得，∴．设的公比为，∵，∴．∴．（Ⅱ），当为偶数时，．当为奇数时，．∴（Ⅲ）∵，∴．令，则，当时，，当时，，∴的最大项为，．∵恒成立，∴，即实数的取值范围为．19．命题透析本题考查学生对新定义的理解，考查函数的导数、单调性、极值等知识．解析（1）由题意知，，即解得所以．（Ⅱ）设，则．记，则．当时，单调递增；当时，单调递减．所以当时，，所以，仅当时，，故在上单调递减．又因为，所以当时，，当时，，当时，