《大学文科数学》 第3章 第1节不定积分

《大学文科数学》第二章

一元函数积分学第一节

不定积分问题的提出微分学积分学

F

(

x)

f(

x)

F

(

x)

f(

x)

(sinx

C

)

=

cos

x.(sinx)

=

cosx已知F

(

x)

求f

(

x)已知f

(

x)

求F

(

x)例如 已知cos

x，求哪个函数的导数是它( ？ )例如 已知sin

x，求它的导数,

(sin

x)

cos

x.

定义若在某区间上F

(

x)

f

(

x)，则称F

(

x)为f

(

x)在该区间上的一个原函数.(sinx)

=

cosx

sin

x是cos

x在区间(

,

)的一个原函数.(sinx

C

)

=

cos

x

sin

x+C也是cos

x在区间(

,

)的原函数.可见，原函数不唯一.一、原函数与不定积分若F

(

x)

f

(

x) 即F

(

x)是f

(

x)的一个原函数则F

(

x)

C也是f

(

x)的原函数.G(

x)

F

(

x)+C

.关于原函数的说明因此，F

(

x)

C是f

(

x)的全部原函数.

G(

x)

F

(

x)

C若G

(

x)

f

(

x) 即G(

x)也是f

(

x)的一个原函数则

G(

x)

F

(

x)

G

(

x)

F

(

x)

积分常数积分号被积函数被积表达式

cos

xdx

sin

x

C

e

x

dx

e

x

C

.不定积分的定义函数f

(

x)的原函数全体F

(

x)

C，称为f

(

x)的不定积分.

记为

f

(

x)dx，即定义

f(

x)dx

F

(

x)

积分变量C

.解(

cos

x)

sin

x

sin

xdx

例1

求

y

sin

x ,

y

2

x的不定积分.

2

xdx

x2

C

.(

x2

)

2

x不定积分的几何意义积分曲线族中各曲线在横坐标相同的点处的所有切线都是彼此平行的.不定积分与导数或微分的关系

f

(d

f

(结论求导数（或微分）的运算与求不定积分的运算是只差一个常数的互逆运算.启示可以根据求导公式得出积分公式.

f(

x),

f(

x)dx,

f

(

x)dx

f(

x

df(

x)

f(

x(2)

x dx

(3)x

1

C (

1).

1

dx

ln

x二、基本积分公式(1)

kdx

kx

C(k是常数).xx

0时x

x

dx

ln(

x)

C

,x总之

dx

ln

|

x

|

C

.

1

dx

ln

x

C

,x

0时,

[ln(

x)]

1

(

(6)

cos

xdx

sin

x

C

.(7)

sin

cos(4)

e

x

dx

e

x

C

.(5)

a

x

dx

a

xln

aC

.(8)tan

x

C

.

dx

sec2

x(9)cos2xdxsin2

x

csc2

xdx

cot

x

C

.1(10)1

x2

dx

arctanx

C1(11)

arcsi

arccot

x

C

.

arccos

x

C

.例2

求

x2xdx.解

x2725x dx

x

2

dx

C

.1例3

求

x2 x

dx.解1

x

523

3

x 2dx

x2

C

.

x dx

1

Cx

1

性质1三、不定积分的性质性质2

[

f

(

x)

g(

x)]dx

f

(

x)dx

g(

x)dx;

kf

(

x)dx

k

f

(

x)dx.（k

是常数，（性质1可推广到有限多个函数之和差的情况）例4

求

2x

3sin

x

dx.解

2x

3sin

x

dx

2x

dx

3

sin

xdx1ln

22x

+C(

cos

x

C2

)ln

2x

23cos

x

C

.例5

求

(

x

1)2dxx解

xdx

2dx

dx1x

(

x

1)2dxx2

x

2

x

1dxx212

x

2x

ln

x

C

(x

2

1)dxx

f

(

x)dx

g(

x)

dx=

f

(

x)dx

g(

x)dx例6

求

tan2

xdx解

tan2

x

dx

sec2

x

1

dx

sec2

x

dx

dx

t

x

C

1 例7

求

sin2

x

cos2

xdx.解dxsin2x

cos2

xsin2x

cos2x

1dx

sin2x

cos2

x

cos2

x1

1 dx

tan

x

cot2

x2例8

求

1

x2

dx解

2

x21

x2dx

2

x

1

121

x21dx

21

2(

x

arctan

x)

C

.问：设置中间变量，令

t

12t

122

xe

C

e

C

.已知(e2

x

e

x

dx

e

x

C

e2

x

dx

e2

x

+C ?

e2

x

dx

e2

x

+C2

xe dx

12

t

e

dt

2e2

x

e2

x则x

t2dx 1

dt.2三、换元积分法问题的提出

f[

(x)]

(x)dx

定理u

(x)可导，则

f

(x)

d

(x)

F

(x

e

x

dx

e

x

c

e2

x

d

2

x

e2

x

c例1求

e2

x

dx解2 2法2若

f

(u)du

F

(u)

C1.第一类换元法2

e2

x

dx

e2

x

1

d

2

x

1

e2

x

d

2

x

1

e2

x

C

.令u

2

x

1

eudu

1

eu

C

1

e2

x

C

.2 2 2例9 求

3e3

x

1dx.解

3e3

x

1dx

e3

x

1

(3

x

1)

dx

e3

x

1d

(3

x

1)

令u

3

x

1

eudu

eu

C

e3

x

1

C

.2

x

adx.例10 求

2

x

adx

x

1x dx

1

C(

1)

解3

13(2

x

a)2

C

.2

x

a

1

d

(2

x

a)令u

2

x1

1 22 33u

du

u2

C例11

求

sin3

x

cos

xdx解

sin3x

co4sin14

3

sin x

d

sin

x例12求

tan解

sin

x

cos

xdx

dcos

x

cos

x

lncosx

C

.

tan

xdx例13

求

cos2

xdx2=

1+

cos

2

x

dx解

cos2+

d

(2

x)cos

2

x2 41212

dx+cos

2

xdx

x

12 2

221

cos

2

xcos x

2 4

x

+

1

cos

2

xd

(2

x)

x

+

sin

2

x

C

.12

正弦、余弦三角函数积分，偶数次幂化倍角降幂.例14

求

x 1

x2dx

21

x2dx

x1

x2d 1

解

x1

2

12

2321 22 31

x2d

1

x2

1

x

C

323

1

1

x2C

.1例15

求

a2

x2

dx.解111

x2

dxa221

1

ad

x

a

1arctanx

C

.a a

1

1

x2dx

arctanx

C

x

u

x a21

1 dua 1

u

a

1

arcta1

a2

x2dx

a2

1a

解

x

21

a

x

a

arcsin C

.1

x2

arcsinx

C

1

dxa1dx.a2

x2例16 求

a2

x2

1 dx

1

dx

a

1

a

d

x

x

2例17解 1 求

a2

x2

dx.1a2

x2

1dx

dx(a

x)(a

x)11

2a

1

1

1

dx2a

dx

lnx

C

x1

2a

a

a

x

1

d(a

x)

d(a

x)

1

lna

x

lna

x

C

1

lna

x

C

.2a 2a a

x解dx 1

cos

x

1

1

sin2

x1du1

u2d(sin

x)

令

u

sin

x

1112

1ln1

u

C2 1

u例18求

sec

xdx.

cos

xcos2

xdxsecxdx

1ln1

sin

x

C

ln

sec

x

t2 1

sinx1a2

x2

2adx=

1

lna

x例19

求

sin

x

cos

xdx.解法1

12sin

2

xdxsin

x

cos

xdx

4

1

cos

2

x

C

.法2

sin

x

cos

xdx

sin

xd2

1

sin

x

2

C;法32

sin

x

cos

xdx

cos

xd

(cos

x)

1

cos

x

2

C14sin

2

xd

(2

x)

2.第二类换元法定理

设x

(t

)单调可导，f

[

(t

)]

(t

)有原函数F

(t

),则x

(t

)

f(

x)dx

f

[

(t

)]

(t

)dt

F

(t

)

C

F

1

(

x)

C

.x解2x

1

x

dx

2tdt

,令

t

例20

求

x

1

dx.t

x

121

t

2

1

2tdt

21

dtt

1

2(t

arctanx)

C

2( x

1

ar（将t

x

1代回）解

令dxx(1

3x

)

6t

5dtt

3

(1

t

2

)

t

2

6

dt1

t

22

1

6

t1

61

x

6arctan

6x

C

.x(1

3x

)例21

求

dx .x

t

6

dx

6t

5dt,

6

t

arctan

t

C

6

6解a2

x2

dx (a

0).例22 求

2a2

x2dx

a

c2a2arcsin2a2

三角代换xata2

x2x

a

sin

t,

t

dx

a

co2

a

cos

tdt

a2

1

cos

22 2a

2 a

2x 1a 2

x a2

x2

C

.2 2a2sin

2t

t

C

t

sin

t

cos

t

C例23解(a

0).x2

a2求

dx x2

a22a

sec

t

se

lnsect

ttaxx2aa

lnx

x

a2 2C2

ln

x+

x三角代换令

x

a

tan

t

dx

a

sec2

tdt2

a

sec

tdt

dx

a

sec

tdta2tan2t

a2启示考虑利用两个函数乘积的求导法则.五、分部积分法问题的提出考虑积分

x

cos

xdx

?被积函数是两种不同类型的函数的乘积的情形.特点

uv

dx

(uv)

dx

u

vdx,

udv

uv

vdu称为分部积分公式.即下面利用两个函数乘积的求导法则，推出求积分的另一基本方法——分部积分法.设u

u(

x)与v

v(

x)是可微函数,则(uv)

u

v

uv

uv

(uv)

u

v,对此等式两边求不定积分

udv

uv

vdu,例24

求

xcos解若令u

cos

x,

xdx

2x2cos

x显然，u,

dv选择不当，积分更难进行.

d

s

d

1

1

2

x

cosxdx

cosxd

x2

x

cos

xdx

xd

sin

x

x

sin

x

sin

xdx

x

sin

x

cos

x

C

.22

xsin

xdx.令u

x, cos

x如果u和dv选取不当，就求不出结果，因此应用分部积分法时，恰当选取u和dv是一个关键.选取u和dv一般要考虑下面两点：注意v要容易求得；

vdu要比

udv容易积出.解例25

求

xe

x

dx.u

x, e

x

dx

dv

d

xe

x

dx

xde

x

xe

x

e

x

dx

xe

x

e

x

C

.

udv

uv

vdu例26

求

x

ln

xdx解21

2

xdu

ln

x,

xdx

dv

xln

xdx

212x ln

x

21

2

ln

x

dx12

2dx1xx

4

1

x2

C

.

1

x2lnx

1

xdx

1

x22 2例27

求

x

arctan

xdx解

2

1x2arctanx

1

x22 1

x2

dx2 221

2

xxarctan

xdx

arctan

xd212

x arctan

x2112

1

dx1

x2

1x2arctanx

1x

1arctanx

C

.例28求

ln

xdxx解

lnxdx

xln

x

x

1

dx

x

ln

x

x例29求

arctan

xdx解xdx1

x2

arctan

xdx

x

arctan

x

x

a21 d

(

x

1)

2 1

x2

2

x

arctan

x

1

ln(

x2

1)

C

.例30 求

x2e

x

dx.解

x2e

x

dx