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文档简介
一、案例
二、知识要点
三、应用1.3函数的极限考虑一个人沿直线走向路灯的正下方时其影子的长度.若目标总是灯的正下方那一点,灯与地面的垂直高度影子长度越来越短,当人越来越接近
时,其影子的长度越来越短,逐渐趋于0
(
)。为H。由日常生活知识知道,当此人走向目标时,其目标案例1[人影长度]
一、案例在某一自然保护区中生长的一群野生动物,其群体数量会逐渐增长,但随着时间的推移,由于自然环境保护区内各种资源的限制,这一动物群体不可能无限地增大,它应达到某一饱和案例2[自然保护区中动物数量的变化规律]
状态,如右图所示.饱和时野生动物群的数量.状态就是时间xmtx0x0二、知识要点定义1
设函数y=f(x),如果存在常数A,,(或)当x的绝对值无限增大时,函数f(x)无限接近于A则称当x→∞时,函数f(x)以A为极限。记作:(1.3.1)、当x→∞时函数f(x)的极限其中“lim”代表极限(limit),极限符号下面的表示自变量x的绝对值无限增大时.
可以观察出,当自变量与0无限接近,所以x→∞时,定义2
设函数y=f(x),如果存在常数A,当x→+∞(x→-∞)时,,(或)
函数f(x)无限接近于A,则称当x→+∞(x→-∞
)时,函数f(x)以A为极限。记作:,(或)或注意(1)当x→∞时函数f(x)以A为极限存在的充分必要条件:(2)而A≠B,或者A,B中至少有一个不存在,则不存在。(二)、当x→x0时,函数f(x)的极限例题2
考察函数的变化情况。1、当x→x0时函数的极限定义3设函数y=f(x)在x0的某邻域内有定义(在x0点可以没有函数f(x)无限接近于A,则称当x→x0时,函数f(x)以A为极限。记作:定义),如果存在常数A,当x无限接近于x0(x≠x0)时,)或(为了正确理解函数极限的概念,下面就函数极限说明两点(1)
x趋近于x0的方式是任意的,即x既可能从x0的左侧趋近于x0,也可能从x0的右侧趋近于x0,而相应的函数值都应无限接近于A.
有定义无关.
(2)与函数f(x)在x0处是否2、当时函数的左、右极限设函数y=f(x)在点x0的左邻域(或右邻域)有定义,如果存在一个常数A,当自变量x从x0的左侧(右侧)
无限趋近于x0时,相应的函数值f(x)无限接近于常数A,则称A为函数f(x)在x0处的左(右)极限,记作:
定理1当x→x0时函数f(x)以A为极限存在的充分必要条件是
例题4讨论函数在x=0处的极限是否存在?(三)、函数极限的性质【性质1】(唯一性)若极限存在,则其极限值唯一。
【性质2】(局部有界性
)若极限存在,则函数f(x)在x0的某去心邻域内有界。
【性质3】(局部保号性
)若极限则在x0的某去心邻域内恒有f(x)>0(或f(x)<0)。【推论】
若极限则在x0的某去心邻域内恒有说明:上述性质当x→∞时也成立。【性质4】(夹迫定理)
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